简单计数问题

1、第一章4简单计数问题 学习目标 1.进一步理解计数原理和排列、组合的概念.2.能够运用原理和公式解决简单的计数问题.栏目索引 CONTENTS PAGE 1 知识梳理 自主学习2 题型探究 重点突破3 当堂检测 自查自纠4 4简单计数问题知识梳理 自主学习知识点一排列组合综合题的一般解法排列组合综合题的一般解法一般坚持先组后排的原则，即先选元素后排列，同时注意按元素性质分类或按事件的发生过程分步.5 4简单计数问题知识点二解决受限制条件的排列、组合问题的一般策略1.特殊元素优先安排的策略；2.正难则反，等价转化的策略；3.相邻问题捆绑处理的策略；4.不相邻问题插空处理的策略；5.定序问题除法处

2、理的策略；6 4简单计数问题6.“小集团”排列问题中先整体后局部的策略；7.平均分组问题，除法处理的策略；8.构造模型的策略. 7 4简单计数问题题型探究 重点突破题型一排列与组合的简单应用例1(1)5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放1个球，共有多少种放法？解由于球都相同，盒子不同，每盒至多放一个球，所以，只要选出5个不同的盒子，就可以解决问题.这是一个组合问题.8 4简单计数问题因此，5个相同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有C 56种选法.9 4简单计数问题(2)某项化学实验，要把2种甲类物质和3种乙类物质按照先放甲类物质后放乙类物质的顺序，依次放入某种液体中，

3、观察反应结果.现有符合条件的3种甲类物质和5种乙类物质可供使用.问：这个实验一共要进行多少次，才能得到所有的实验结果？10 4简单计数问题因此，共要进行360次实验，才能得到所有的实验结果.11 4简单计数问题反思与感悟(1)解简单的排列、组合应用题时，首先要判断它是排列还是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关.(2)要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类和分步时，一定要注意有无重复或遗漏.12 4简单计数问题跟踪训练1(1)5个不同的球，放入8个不同的盒子中，每盒至多放一个球，共有_种放法.解析由于球与盒

4、子均不同，每盒至多放一个球，所以这是一个排列问题.可直接从8个不同的盒子中取出5个盒子进行排列(即放球)，6 72013 4简单计数问题(2)从1,2，1，2，3中任取不同的3个数作为二次函数yax2bxc的系数a，b，c，其中表示开口向上的抛物线的条数为_.解析a0，2414 4简单计数问题题型二有限制条件的排列、组合问题例2将5个不同的元素a，b，c，d，e排成一排.(1)a，e必须排在首位或末位，有多少种排法？解按首位是a还是e分类计数.第一类：a排在首位，那么e必须排在末位，中间三位是把b，c，d进行排列，一共有A 3216种排法.15 4简单计数问题第二类：e排在首位，那么a必须排在

5、末位，中间三位是把b，c，d进行排列，一共有A 3216种排法.根据加法原理，a，e必须排在首位或末位，一共有6612种排法.16 4简单计数问题(2)a，e既不在首位也不在末位，有多少种排法？解按照先排首位和末位，再排中间三位分步计数.第一步：排出首位和末位.由于a，e既不在首位也不在末位，那么首位和末位是在b，c，d中选出两个进行排列，一共有A 326种排法.第二步：排出中间三位.17 4简单计数问题由于在a，b，c，d，e 5个元素中，已经有2个元素排在了首位和末位，因此，中间三位是把剩下的3个元素进行排列，一共有A 3216种排法.根据乘法原理，a，e既不在首位也不在末位，一共有663

6、6种排法.18 4简单计数问题(3)a不排在首位，e不排在末位，有多少种排法？解按照a是否排在末位分类计数.第一类：a排在末位，此时e不排在末位，故一共有A 432124种排法.第二类：a不排在末位，此时可按照先排a，再排e，最后排b，c，d分步计数：19 4简单计数问题第一步：a排在中间，有A 种排法.第二步：e排在除末位及a所占位置外的其余位置，有A 3种排法.第三步：b，c，d排在其余位置，有A 3216种排法.20 4简单计数问题根据乘法原理，第二类有33654种排法.最后，根据加法原理，a不排在首位，e不排在末位，一共有245478种排法.21 4简单计数问题反思与感悟排列与组合的综

7、合问题，首先要分清何时为排列，何时为组合.对含有特殊元素的排列、组合问题，一般先进行组合，再进行排列.对特殊元素的位置有要求时，在组合选取时，就要进行分类讨论，分类的原则是不重、不漏.在用间接法计数时，要注意考虑全面，排除干净.22 4简单计数问题跟踪训练2现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是()A.152 B.126 C.90 D.5423 4简单计数问题答案B24 4简单计数问题例3用0,1,2，9这10个数字.

8、(1)可以组成多少个5位数？解第一步：首位数字可以在19这9个数字中选取，有9种可能.第二步：其他4个数位可以在09这10个数字中选取，由乘法原理有10101010104种可能.最后，根据乘法原理，用0,1,2，9这10个数字，一共可以组成910490 000个5位数.25 4简单计数问题(2)可以组成多少个没有重复数字的5位数？解采用分步计数的方法，先确定首位数字再确定其他数位.第一步：首位数字，可以在19这9个数字中选择，有9种可能.第二步：其他4个数位，可以在剩下的9个数字中选择，有A种可能.根据乘法原理，用0,1,2，9这10个数字，一共可以组成9 A 27 216个没有重复数字的5位

9、数.26 4简单计数问题(3)可以组成多少个没有重复数字且能够被5整除的5位数？解能够被5整除的数，末位有且仅有0或5两种可能，分两类进行计数.第一类：末位是0，由于没有重复数字，所以其他4个数位共有A 种可能.第二类：末位是5，对其他4个数位进行分步计数：第一步：由于首位不能为0，首位有C 种选择.27 4简单计数问题因此，用0,1,2，9这10个数字，一共可以组成5 712个没有重复数字且能够被5整除的5位数.28 4简单计数问题反思与感悟解决数字问题时，应注意题干中的限制条件，恰当地进行分类和分步，尤其注意特殊元素“0”的处理.解决该类问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优

10、先满足特殊位置，若一个位置安排的元素影响到另一个位置的元素个数时，应分类讨论.29 4简单计数问题跟踪训练3在当年甲型流感流行的情况下，某医院将6名医生分到4所学校进行防治工作，每所学校至少1名医生，则不同的分配方案种数是_.解析先将6名医生按要求分成4组，分组形式只能是1,1,1,3和1,1,2,2两种，30 4简单计数问题根据分步乘法计数原理，共有分配方案65241 560(种).答案1 56031 4简单计数问题 当堂检测 自查自纠1.某电视台连续播放5个广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的全运会宣传广告，要求最后播放的必须是全运会宣传广告，且2个全运会宣传广告不能连续播放，则不同

11、的播放方式有_种.解析先安排后2个，再安排前3个，由分步乘法计数原理知，共有 (种)不同的播放方式.3632 4简单计数问题2.9名学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中某两人必须排在一起且在同一排，则排法种数是_.解析利用“分类法”和“捆绑法”.即有70 560种方法.70 56033 4简单计数问题3.5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1,2号中至少有1名新队员的排法有_种.(用数字作答)34 4简单计数问题共有361248(种).答案4835 4简单计数问题4.把9个相同的小球放入编号为1,2,3的三个箱子里，要求每个箱子放球的个数不小于其编号数，则不同的放球方法共有多少种？解分两步第一步让编号为1,2,3的箱子里分别放入1,2,3个球，放法只有一种.36 4简单计数问题第二步把剩余的三球分类放入.第一类，每个箱子再放入1球有一种放法；第二类，有一个箱子放入两球一个箱子放入一球，有放法A 种；第三类，将剩余三球放入一个箱子有三种放法