解超定方程组的矩阵形式为

1、第六章习题解答与问题、习题解答1.用最小二乘法求解超定方程组2x+4y=113x-5y=3x+2y=64x+2y=14解：超定方程组的矩阵形式为4【-522-11136J41将方程两端同乘以系数矩阵的转置矩阵，可得正规方程组303x_93I1349y|69解之，得x=2.9774,y=1.2259。2.观测一个作直线运动的物体，测得以下数据:时间t00.91.93.03.95.0距离S010305080110在表中，时间单位为秒，距离单位为米。假若加速度为常数，求这物体的初速度和加速度。解：设物体运动的初速度和加速度分别为vo和a,初始时刻距离为0,则距离函数为1 2S(t)=v0tat22用

2、后5个点的数据作曲线拟合t0.91.93.03.95.0S10305080110可得，V0=10.6576,a=4.6269Rx3.用最小二乘法求一个形如y=Ae的经验公式，使与下列数据相拟合x1234y60302015解：令z=Iny,则z=InA+Bx。数据变换如下x1234z=Iny4.09433.40122.99572.7081由最小二乘法作线性拟合得，InA=4.4409,B=-0.4564。所以A=84.8528。故，所求经难公式为=84.25e0.4564x。4已知实验观测数据(xi,yi)(i=1,2,m)。令.,、,.1m中0(x)=1,印i(x)=x-EXimi4取拟合函数

3、为(x)=a0o(x)百i(x)试利用曲线拟合的最小二乘法确定组合系数a。，ai(推导出计算公式)。解：记0="(xi)0(x2)0(xm)T1 =1(x1)1(x2)i(xm)Ty=yiy2ymT显然，行0是元素全为“1”的列向量。将所有实验数据的X坐标代入拟合函数，并令其分别等于实验数据的Y坐标值，得超定方程组1a0y目将方程组两端同乘以矩阵%辑二得正规方程组；(%,%)(%,行1)1同1(行0,万忖，%)(叽口10)a"此，y)1m记x=1£xi,由于系数矩阵中两个非对角兀素为mi1mm(0,1)=(1,0)='(xi-x)='xi-mx-0

4、i1iW(-0，y)(1，y)瓦"Fa1.再可所以xm,通常取平均值作为所a0=5 .对某个物体的长度测量n次后，得n个近似值x1,x2,求长度的值。试用最小二乘法原理说明其理由。解：利用最小二乘原理，设物体的长度为x,记a=xxk(k=1,2,m)则残差平方和为mS(x)="(x-xj2kd为了求上面函数极小值，由极值必要条件，令S'(x)=0,得my(x-Xk)=0kT由此得1、mxxkmk16 .求f(x)=ex在区间T,1上的三次最佳逼近多项式。解：利用勒让德多项式作基函数，即P(x)=a0p0(x)+a1p1(x)+a2p2(x)+a3P3(x),其P0(

5、x)=1,pi(x)=x,、32P2(x)=2x-,P3(x)=二x22利用正交性，得系数为(Pn,f)2n1an(Pn,Pn)1Pn(x)f(x)dx(n=0,1,2,3)1xPo(x)f(x)dx=edx=e_e1P1(x)f(x)dx=xexdx=2e1P2(x)f(x)dx二1(x1)edx=e-7eP3(x)f(x)dx二1(_x_1_x)edx=37e-5e所以,a0a21M25x2(e-e)：1.1752,1、(e-7e).1)0.3578,a3ca12e：1.1036,1 271-、3(37e-5e)：0.07052、.321、.533、P(x)=1.1752+1.1036x+

6、0.3578(x)+0.0705(xx)2222=0.9963+0.9978x+0.5367x2+0.1762x317.在著名的高次插值的龙格反例中,f(x)=2在区间巧，5上的10次拉格朗日插5x值出现振荡现象。为了使插值余项极小化，可以利用切比雪夫多项式的极性。试推导切比雪夫多项式零点所对应书，5的上的插值结点。解：由11次切比雪夫多项式零点，得2k1二xk=5cos()(k=0,1,2,10)11211次X1234Y10305080二、例题1.已知实验数据如下:._一一2求二次多项式拟合函数P(x)=a+bx2.利用数据表t2-1012yyk-2yk-1ykyk+1yk+2定方程组并导出

7、对应的正规方程组(不用求解正规方程组)O构造五点二次拟合函数P(t)=ao+a1t+a2t2时，需求超定方程组的最小二乘解,试列出超解：超定方程组为:一1111:1-2-10121?2_|4yk，Yk，yk41_yk¥-5010a。1b正规方程组为：0100a1=b210034仙21R其中，bi=yk-2+yk-i+yk+yk+i+yk+2,b2=-2yk-2-yk-i-yk+i+2yk+2,b3=4yk-2+yk-i+yk+i+4yk+23 .求区间-i,i上的二次正交多项式4 .正交化过程5 .练习题i.设B点是线段AC上的一点，记AB长为Xi,BC长为X2,经测量得数据如下:AB=i5.5,BC=6.i,AC=20.9试用最小二乘原理计算出Xi,X2的长度。/222 .求a,b