全程视频课程1电子课件第14章

1、学堂电路精品课-基础篇主编：学堂电气教务组参考：电路邱关源第5版以精益求精的学堂精神，为同学打造最优秀的课程！学堂，必属精品 第十四章：线性动态电路的复频域分析拉斯变换的定义拉斯变换的基本性质拉斯反变换的部分分式展开目录/Catalog运算电路应用拉斯变换法分析线性电路网络函数咨询西交电气群：924570591咨询西交电气群：924570591学堂1拉斯变换的定义咨询西交电气群：924570591 拉式变换法拉氏变换法是一种数学变换，其是把时间函数𝑓(𝑡)与复变函数𝐹(𝑠)起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时域的高阶微分

2、方程变换为频域的代数方程以便求解。应用拉氏变换进行电路分析称为电路的复频域对应𝑓(𝑡)(时域原函数)(𝑠)(频域象函数) 拉式变换的定义对于定义在0，)区间函数𝑓(𝑡)，+= 𝑓(𝑡)𝑒𝑠𝑡 d𝑡，拉式正变换为：𝐹 𝑠01𝑐+𝑗𝑠 𝑒𝑠𝑡 d𝑠，拉式反变换为：𝑓

3、𝑡 =𝑐𝑗2𝜋𝑗，𝑓 𝑡= 𝐿1简写为𝐹 𝑠 = 𝐿，𝑓 𝑡𝐹 𝑠其中𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔是复数，称为复频率。咨询西交电气群：924570591 𝑀𝑒𝑐𝑡 ，之后假设我们研究的所有时间函数一个函数具有拉式变换应满足一定的条件，即都满

4、足这个条件。𝑓 𝑡域都从0取到。象函数𝐹(𝑠)一般用大写字母表示，原函数𝑓(𝑡)一般用小写字母表示。 常见函数的拉式变换+0+= 𝛿(𝑡)𝑒𝑠𝑡 d𝑡 = 𝛿(𝑡)𝑒𝑠𝑡 d𝑡 = 𝑒𝑠0冲激函数：𝐹 𝑠 = 𝐿𝑡&

5、#120575; 𝑡= 100+1= 𝜀(𝑡)𝑒𝑠𝑡 d𝑡 = 𝑒𝑠𝑡|= 1阶跃函数𝜀： 𝐹 𝑠 = 𝐿𝑡𝜀 𝑡00𝑠𝑠1𝑠𝛼1𝑠𝛼指数函数𝑒𝛼𝑡： 𝐹⻕

6、0;𝛼𝑡𝑠𝑡 d𝑡 = 𝑒 𝑠𝛼 𝑡|𝑠 = 𝐿= =00咨询西交电气群：924570591注意：学堂2拉斯变换的基本性质咨询西交电气群：924570591 线性性质= 𝐹1 𝑠 ， 𝐿= 𝐹2 𝑠 ，若𝐿𝑓1 𝑡𝑓2 𝑡则𝐿𝐴1&

7、#119891;1 𝑡 + 𝐴2𝑓2 𝑡= 𝐴1𝐹1 𝑠 + 𝐴2𝐹2 𝑠根据拉氏变换的线性性质，求函数与常数相乘及几个函数相加减的象函数时，可以先求各函数的象函数再进行相乘及加减计算。 例求𝒇的象函数。𝒕= 𝐬𝐢𝐧𝝎𝒕12𝑗𝑒𝑗𝜔𝑡 Ү

8、90;𝑗𝜔𝑡解：𝐹𝑠 = 𝐿sin 𝜔𝑡= 𝐿1𝜔=𝑠2+𝜔2𝑠𝑗𝜔𝑠+𝑗𝜔咨询西交电气群：924570591 微分性质= 𝐹 𝑠 ，若𝐿𝑓 𝑡d𝑓 𝑡则𝐿= 𝑠

9、19865; 𝑠 𝑓 0d𝑡根据拉氏变换的微分性质，可以看出原函数的导数经过拉式变换后包含了𝑓因此可用它求解电路的全响应。0，即电路的初始储能，性质= 𝐹 𝑠 ，若𝐿𝑓 𝑡𝑡= 1 𝐹 𝑠则𝐿𝑓(𝜀) d𝜀0𝑠拉氏变换的性质在电路中应用较少，因为换的微分性质进行求解。性电路的计算中即使有运算，也转咨询西交电气群：9245705

10、91 频域位移特性= 𝐹 𝑠 ，若𝐿𝑓𝑡𝑒𝛼𝑡则𝐿𝑓 𝑡= 𝐹 𝑠 + 𝛼𝜔𝑠+𝛼例如：𝑒𝛼𝑡 sin， 𝑒𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡 𝜔𝑡 2+𝜔22+

11、20596;2𝑠+𝛼𝑠+𝛼 时域位移特性（延迟性质） ，若𝐿𝑓 𝑡= 𝐹 𝑠则𝐿𝑓 𝑡 𝑡0 𝜀 𝑡 𝐹𝑠若电路的换路在𝑡 = 𝑡0时刻进行，则会用到此性质。咨询西交电气群：924570591 卷积定理= 𝐹1 𝑠 ， 𝐿，若𝐿&#

12、119891;1 𝑡𝑓2 𝑡= 𝐹2𝑠则𝐿𝑓1 𝑡 𝑓2 𝑡= 𝐹1𝑠𝐹2 𝑠记做：时域卷积，频域相乘。 常用拉式变换表F (s)1111S 21+ a )n+1+ a(SSS1n!d (t )e-a ttne-attf (t )1(t ) w S + a(S + a )2 + w 2Sw(S + a )2+ w 2F (s)+ w 2S 2+ w 2S 2sin wtco

13、swtcos wtf (t )e-a te-a tsin wt咨询西交电气群：924570591学堂3拉斯反变换的部分分式展开咨询西交电气群：924570591 由象函数求原函数的方法1𝑐+𝑗𝑠 𝑒𝑠𝑡 d𝑠 。利用公式： 𝑓 𝑡 =𝑐𝑗2𝜋𝑗对简单形式的象函数𝐹(𝑠)可以查拉式变换表得原函数。部分分式展开，把象函数𝐹(𝑠)分

14、解为简单项的组合：𝐹 𝑠 = 𝐹1 𝑠 + 𝐹2 𝑠 + 𝐹𝑛 𝑠 𝑓 𝑡 = 𝑓1 𝑡 + 𝑓2 𝑡 + 𝑓𝑛𝑡 部分分式展开法线性电路的频域响应结果一般为实系数多项式，设有理分式函数：𝑁 𝑠𝑎0𝑠𝑚 + 𝑎1&#

15、119904;𝑚1 + + 𝑎𝑚𝐹 𝑠 = 𝐷=𝑏 𝑠𝑛 + 𝑏 𝑠𝑛1 + + 𝑏𝑠01𝑛式中𝑚和𝑛都是正整数，且𝑛 𝑚用部分分式展开有理分式𝐹 𝑠 时，需要把有理分式化为真分式：若𝑛 > 𝑚，则𝐹w

16、904; 为真分式；+ 𝑁0 𝑠 ，其中𝐴是一个常数，它对应的原函数为𝐴𝛿 𝑡，余数项𝑁0 𝑠 是真分式。若𝑛 = 𝑚𝐷 𝑠𝐷 𝑠咨询西交电气群：924570591部分分式展开真分式时，需要对分母多项式作因式分解，求根和重根几种情况。根可以是单根、共轭复 1.单根若𝐷 𝑠 = 0有𝑛个单根，设𝑛个单根分别是&#

17、119901;1、𝑝2、 𝑝𝑛，利用部分分式可将𝐹 𝑠分解为：𝐾1𝐾2𝐾𝑛𝐹 𝑠=+ +𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2𝑠 𝑝𝑛= 𝐾1𝑒𝑝1𝑡 + 𝐾2𝑒𝑝2𝑡 + + 𝐾w

18、899;𝑒𝑝𝑛𝑡 𝑓 𝑡分母均为待定常数。咨询西交电气群：924570591𝑁 𝑠=𝐾1𝐾2𝐾𝑛𝐹 𝑠=+ +𝐷 𝑠𝑠 𝑝1𝑠 𝑝2𝑠 𝑝𝑛待定常数的确定：方法1：𝑠 𝑝𝑖 |

19、9904;=𝑝𝑖，𝑖 = 1、2、3、 、𝑛𝐾𝑖 = 𝐹 𝑠𝐾2𝐾𝑛𝑠 𝑝𝐹 𝑠= 𝐾 + 𝑠 𝑝+ +111𝑠 𝑝2𝑠 𝑝𝑛令𝑠 = 𝑝1即可求出𝐾1方法2：𝑁

20、19904;𝑝𝑖 +𝑁 𝑠 = 𝑁 𝑝𝑖 𝑁 𝑠 𝑠𝑝𝑖 𝑠利用求极限的方法，𝐾 = lim𝑖𝐷𝐷𝑠𝑝𝑖𝑠𝑝𝑖𝑠𝑝𝑖咨询西交电气群：924570591𝟒𝒔

21、;+𝟓求𝑭𝒔=𝒔𝟐+𝟓𝒔+𝟔咨询西交电气群：924570591 2.共轭复根若𝐷𝑠 = 0有一对共轭复根𝑝1 = 𝛼 + j𝜔、 𝑝2 = 𝛼 j𝜔𝑁 𝑠𝑁 𝑠𝐹 𝑠 = 𝐷=𝑠𝑠 𝛼

22、 j𝜔𝑠 𝛼 + j𝜔 𝐷𝑠1𝐾1𝐾2𝑁1 𝑠+=+𝑠 𝛼 j𝜔𝑠 𝛼 + j𝜔𝐷1 𝑠𝑁 𝑠𝐾1,2=𝐹 𝑠𝑠 𝛼 j𝜔= 𝐷|𝑠=𝛼

23、±j𝜔𝑠=𝛼±j𝜔𝑠注意𝐾1、𝐾2也是一对共轭复数。𝑒j𝜃， 𝐾2 =𝑒j𝜃设： 𝐾1 =𝐾𝐾𝛼+j𝜔𝑡 + 𝐾2𝑒𝛼j𝜔 𝑡𝑒j𝜃𝑒 𝛼+j

24、20596; 𝑡𝑒j𝜃𝑒𝑓 𝑡 =𝐾1𝑒+ 𝑓1 𝑡=𝐾+𝐾𝑡𝑒𝛼𝑡𝑒j 𝜔𝑡+𝜃 + 𝑒j 𝜔𝑡+𝜃𝑒𝛼𝑡 cos 𝜔𝑡 + 

25、0579;=𝐾+ 𝑓1 𝑡 = 2 𝐾+ 𝑓1 𝑡咨询西交电气群：924570591很多时候，象函数也可写成这种形式：𝑎𝑠 + 𝑏𝐹 𝑠 =2 + 𝜔2𝑠 + 𝛼计算时还可按如下方式：+ 𝑏 𝑎𝛼 𝜔𝑏 𝑎𝛼 𝜔𝑎 𝑠

26、; + 𝛼𝑎𝑠 + 𝑏𝑎 𝑠 + 𝛼=𝜔=+𝜔𝑓 𝑡 =2 + 𝜔22 + 𝜔22 + 𝜔22 + 𝜔2𝑠 + 𝛼𝑠 + 𝛼𝑠 + 𝛼𝑠 + 𝛼= 𝑎𝑒𝛼𝑡 cos &

27、#120596;𝑡 + 𝑏 𝑎sin 𝜔𝑡 例𝒔+𝟑求𝑭 𝒔的原函数。=𝒔𝟐+𝟐𝒔+𝟓咨询西交电气群：924570591 3.重根𝑠 = 0有重根，则含有 𝑠 𝑝1 𝑛的因式若𝐷𝑎0𝑠𝑚 + 𝑎1𝑠𝑚

28、1 + + 𝑎𝑚𝐹 𝑠=𝑛𝑠 𝑝1𝐾11𝐾12𝐾1𝑛1𝐾1𝑛=+ +2𝑛1𝑛𝑠 𝑝1𝑠 𝑝1𝑠 𝑝1𝑠 𝑝1dd𝑠𝑛𝐹𝑛𝐹|，𝐾

29、9870;=𝑠 𝑝𝑠=𝑠 𝑝𝑠|1𝑛1𝑠=𝑝11𝑛11𝑠=𝑝1d𝑛1𝑛𝐹 𝐾11𝑠 𝑝1𝑠|𝑠=𝑝! d𝑠𝑛11咨询西交电气群：924570591𝟏求𝑭的原𝒔=𝟑

30、19956;𝟐𝒔+𝟏咨询西交电气群：924570591𝟐= 𝒔 +𝟗𝒔+𝟏𝟏求𝑭𝒔𝒔𝟐+𝟓𝒔+咨询西交电气群：924570591学堂4运算电路咨询西交电气群：924570591 基尔霍夫定律的运算形式基尔霍夫定律的时域表示： 𝑖 𝑡 = 0， 𝑢𝑡 = 0根据拉式变换的线性性质得KCL、KVL的

31、运算形式：对任一结点 𝐼 𝑠对任一回路 𝑈 𝑠= 0咨询西交电气群：924570591 电路元件的运算形式 .电阻R的运算形式时域形式：𝑢 = 𝑅𝑖，𝑖 = 𝐺𝑢取拉式变换：𝑈 𝑠 = 𝑅𝐼 𝑠𝐼 𝑠 = 𝐺𝑈 𝑠其中𝑍= 𝑅，Y𝑠

32、𝑠= 𝐺𝐼i(t)+RRuR(t)-咨询西交电气群：924570591 2.电容C的运算形式时域形式：𝑖 = 𝐶 d𝑢d𝑡取拉式变换，由微分性质得： 𝐼 𝑠 = 𝑠𝐶𝑈 𝑠 𝐶𝑢0𝐼 𝑠𝑢=+0则𝑈 𝑠𝑠𝐶𝑠= 1 ，Y其中

33、9885;𝑠𝑠= 𝑠𝐶𝑢0𝑠𝐶𝑠1/sCI(s)+-+U(s)1/sCCi(t)+-u(t)Cu(0-)+-咨询西交电气群：924570591 3.电感L的运算形式时域形式：𝑢 = 𝐿 d𝑖d𝑡取拉式变换，由微分性质得：𝑈𝑠 = 𝐿𝑠𝐼 𝑠 𝑖 0= 𝑠𝐿

34、9868;𝑠 𝐿𝑖0𝑈 𝑠𝑖=+0则𝐼 𝑠𝑠𝐿𝑠1𝑠𝐿其中𝑍= 𝑠𝐿，Y𝑠𝑠=𝐿𝑖-0sLI(s)+U(s)sL-Li(t)+u(t)-𝑖 0𝑠+U(咨询西交电气群：924570591 4.耦合电感的运算形式时域形式：d𝑖1 + &

35、#119872; d𝑖2𝑢= 𝐿11d𝑡d𝑡d𝑖2 + 𝑀 d𝑖1𝑢= 𝐿22d𝑡d𝑡取拉式变换，由微分性质得：𝑈1𝑠 = 𝑠𝐿1𝐼1 𝑠 𝐿1𝑖1𝑠 = 𝑠𝐿2𝐼2 𝑠 𝐿2

36、9894;20 + 𝑠𝑀𝐼2 𝑠 𝑀𝑖20 + 𝑠𝑀𝐼1 𝑠 𝑀𝑖100𝑈2其中互感运算阻抗为𝑍𝑀i2= 𝑠𝑀，𝑌𝑀 𝑠𝑠= 1/𝑠𝑀sM𝐼1i1M+u1_+*L1*L2sL1-sL2-𝐿2w

37、894;2+𝑈2 𝑠u_𝑠𝐿1𝑖11200-+-群：9- 24570+591西交+电气咨询𝑀𝑖2 0𝑀𝑖1 0 5.受控源的运算形式时域形式：𝑖1 = 𝑢1/𝑅，𝑖2 = 𝛽𝑖1取拉式变换：𝐼1𝐼2𝑠𝑠= 𝑈1 𝑠 /𝑅= 𝛽

38、19868;1𝑠𝐼1𝑠𝐼2𝑠i1i2+u2_Ru𝑈1 𝑠_𝑈𝑠2b i_1𝛽𝐼1𝑠咨询西交电气群：924570591+R1_I (s) RLC串联电路的运算形式i+R拉氏变换LU (s)sL1/sC-时域电路：𝑡d𝑖1𝑢 = 𝑖𝑅 + 𝐿 d𝑡 + 𝐶 𝑖

39、9888; d𝑡0运算电路：1𝑠 + 𝑠𝐶 𝐼1𝑅 + 𝑠𝐿 + 𝑠𝐶𝑈𝑠= 𝐼𝑠 𝑅 + 𝑠𝐿𝐼𝑠 = 𝐼 𝑠= 𝐼 𝑠𝑍 𝑠1= 𝑅 + 𝑠𝐿 +

40、1 是电路的运算阻抗其中𝑍 𝑠 =𝑌 𝑠𝑠𝐶𝑈 𝑠= 𝑍 𝑠 𝐼 𝑠= 𝑌 𝑠 𝑈 𝑠运算形式的欧姆定律：𝐼 𝑠咨询西交电气群：9245705911. 𝑢𝑐 0= 0，𝑖𝐿 0= 0运算电路：1𝑢𝑐 0+Ү

41、80;𝑠 = 𝐼 𝑠 𝑅 + 𝑠𝐿𝐼 𝑠1 𝐿𝑖0+𝐼 𝑠𝑠𝐶+ 𝐿𝑖𝑠𝑢𝑐 0𝐼𝑠𝑅 + 𝑠𝐿 += 𝐼 𝑠𝑍 𝑠= 𝑈⻖

42、4;0𝑠𝐶𝑠Ri+RU (s)拉氏变换Lu (t)𝑢0- 𝑐 𝑠-Li(0 )C-1/sC-+-咨询西交电气群：9245705912. 𝑢𝑐 0 0，𝑖𝐿 0 0 例给出图示电路的运算电路模型。50V20W-+iL5W+0.5HuC1F10W-10W咨询西交电气群：924570591学堂5应用拉斯变换法分析线性电路咨询西交电气群：924570591 运算法的具体步骤由换路前的电路计算𝑢𝑐 0 、 

43、9894;𝐿 0 。画运算电路模型，注意运算阻抗的表示和附加电源的作用。应用前面各章介绍的各种计算方法求象函数。反变换求原函数咨询西交电气群：924570591 例电路原处于稳态，𝒕 = 𝟎时开关闭合，试用运算法求电流𝒊𝒕 。i1H+1W1V1F1W-咨询西交电气群：924570591 例𝒕 = 𝟎时打开开关，求电感电流和电压。2W3Wi10.3Hi2+10V-0.1H咨询西交电气群：924570591学堂6网络函数咨询西交电气群：924570591 网络函数𝑯(&#

44、119956;)的定义线性时不变网络在单一电源激励下，其零状态响应的象函数与激励的象函数之比定义为该电路的网络函数𝐻 𝑠 。零状态响应LL= L𝑟 𝑡𝑅 𝑠𝐻 𝑠 = 𝐸激励函数𝑒 𝑡𝑠L由于激励𝐸(𝑠)可以是电压源或电流源，响应𝑅(𝑠)可以是电压或电流，故𝑠域网络函数可以是驱动点阻抗(导纳)、转移阻抗(导纳)、电压转移函数或

45、电流转移函数。若𝐸 𝑠 = 1，响应𝑅 𝑠 = 𝐻(𝑠)，即网络函数是该响应的象函数。网络函数的原函数是电路的冲激响应 𝑡 。𝐻𝑠 和冲激响应一对拉式变换对。线性时不)一定是有理式，与输入无关。咨询西交电气群：924570591注意： 例图示电路，𝒊𝒔，响应为𝒖𝟏、𝒖𝟐，求阶跃响应𝑺𝟏、𝒕 。𝒕

46、= 𝜺𝒕𝒕𝑺𝟐+ 2Wu1+i (t)S1/4F2H咨询西交电气群：924570591 网络函数𝑯(𝒔)的应用可以通过求网络函数𝐻(𝑠)与任意激励的象函数𝐸(𝑠)之积的拉氏反变换求得该网络在任何激励下的零状态响应。𝑅 𝑠 = 𝐻 𝑠 𝐸 𝑠 例图示电路𝒖𝒔 = 𝟎. ҷ

47、88;𝒆𝟐𝒕，= 𝟓𝒆𝒕，求𝒖𝒄冲激响应𝒉 𝒕。𝒕+uC-C咨询西交电气群：924570591线性无源 网络函数的极点和零点𝑁 𝑠𝐻0 𝑠 𝑧1𝑠 𝑧2 𝑠 𝑧𝑚=𝐻 𝑠𝐷 𝑠𝑠 &#

48、119901;1𝑠 𝑝2 𝑠 𝑝𝑛𝑚𝑠 𝑧𝑖= 𝐻0𝑖=1𝑛𝑠 𝑝𝑗𝑗=1当𝑠 = 𝑧𝑖时，𝐻𝑠 = 0，称𝑧𝑖为零点； 𝑧𝑖为重根，称为重零点。当𝑠 = 𝑝w

49、895;时，𝐻𝑠 ，称𝑝𝑗为极点；𝑝𝑗为重根，称为重极点。复平面𝑠 = 𝜎 + 𝑗𝜔 𝑧𝑖，𝑝𝑖 为复的极点用“ ×”表示，零点用“。”表示。jw零、极点分布图o´sO西交电气咨询群：924570591 例𝟐𝒔𝟐𝟏𝟐𝒔+𝟏𝟔已知

50、𝑯𝒔 =𝒔𝟑+𝟒𝒔𝟐+𝟔𝒔咨询西交电气群：924570591 例已知网络函数有两个极点为𝒔 = 𝟎、𝒔 = 𝟏，一个单零点为𝒔 = 𝟏，且有𝒍𝒊𝒎 𝒉𝒕𝒕 = 𝟏𝟎，求阶跃响应咨询西交电气群：924570591 极点、零点与冲激响应

51、若网络函数为真分式且分母具有单根，则网络的冲激响应为：𝑛𝑖=1𝑛𝐾𝑖= L1= L1= 𝐾 𝑒𝑝𝑖𝑡 𝑡𝐻 𝑠𝑖𝑠 𝑝𝑖𝑖=1𝑝𝑖为𝐻 𝑠 的极点，且𝑝𝑖仅由电路的结构及元件值确定，因而𝑝Ү

52、94;称为电路变量的固有频率或自然频率。电路的固有频率就是该电路所有变量的固有频率。极点位置不同，响应性质不同，自由分量的变化规律。咨询西交电气群：9245705911.当𝑝𝑖为负实根时，为衰减的指数函数；当𝑝𝑖为正实根时，𝑡 为增长的指数函数。𝑡jw1=𝑠 𝛼𝐻𝑠1𝐻𝑠=𝑠 + 𝛼´´sO咨询西交电气群：924570591讨论：2.当𝑝

53、𝑖为共轭复数时， 𝑡 为衰减或增长的正弦函数。𝜔𝜔𝐻𝑠=𝐻𝑠=𝑠 2 + 𝜔2𝑠 + 𝑎jw´´sO´´稳定电路不稳定电路咨询西交电气群：9245705913.当𝑝𝑖为虚根时，𝑡 为纯正弦函数；当𝑝𝑖为零时，为实数。𝑡𝜔= 𝑠2 +

54、20596;21= 𝑠jw𝐻𝑠𝐻𝑠´´O´s一个实际的线性电路是稳定电路，其网络函数的极点一化规律可以预见时域响应于左半平面。根据极点分布情况和激励变咨询西交电气群：924570591𝒔 = 𝑼𝒄 𝒔 的极点分布情况分析𝒖RLC串联电路接通恒定电压源𝑼 ，根据网络函数𝑯𝒔𝒄𝑼𝒔 𝒔咨询西交电气群：924570591 极点、零点与频率响应令网络函数𝐻 𝑠 中复频率𝑠 = 𝑗𝜔，分析𝐻 𝑗𝜔 随𝜔变化的特性，根据网络函数零、极点的分布可以确定正弦输入时的频率响应。对于某一固定的角频率𝜔：𝑚𝑗𝜔 𝑧