观察最小二乘多项式的数值不稳定现象

1、数值实验二实验目的:观察最小二乘多项式的数值不稳定现象实验内容：1在-1,1区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上ex的值做为数据样本，以1,x,X2，xl为基函数作出l=3,5,7,9,11,13,15次的最小二乘多项式，画出ln(cond(A)2)l之间的曲线，其中A是确定最小二乘多项式的系数矩阵。计算出不同阶最n小二乘多项式给出的最小误差仃(1)=£(y(Xi)-yi)21 12在-1,1区间上取n=20个等距节点，计算出以相应节点上ex的值做为数据样本，以1, R(x),P2(x)，R(x)为基函数作出l=3,5,7,9,11,13,15次的最小二乘多项式，其中，Pi

2、(x)是勒让德多项式。画出ln(cond(A)z)l之间的曲线，其中A是确定最小二乘多项式n的系数矩阵。计算出不同阶最小二乘多项式给出的最小误差仃(l)=£(y(xi)-yi)2,把结果与1比较实验1结果:设拟合多项式为Sl(x)=a0alxa2x2.qxlMatlab程序x=-1:2/19:1;y=exp(x);acond=zeros(1,7);delta=zeros(1,7);forl=3:2:15A=zeros(l+1);B=zeros(l+1,1);fori=1:l+1forj=i:l+1A(i,j)=x人(i-1)*(x.%j-1),;(j,i)=A(i,j);endB(i

3、,1)=x.A(i-1)*y'endc=(AB)'yf=0;fori=1:l+1yf=yf+c(i)*x-(i-1);enddelta(l-1)/2)=sum(yf-y).A2);acond(l-1)/2)=cond(A);endl=3:2:15;plot(l,log(acond);xlabel(T);ylabel('ln(Cond(A)_2)');图1以1,x,x2，xl为基函数条件下ln(Cond(A)2)l关系曲线图2以1,x,x2，x1为基函数条件下Variables-delta值根据图2,列出以1,x,x2，1X1为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出

4、的最小误差ncr(1)=£(y(xi)-yi)2,如表1所示。i413579111315讥1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132,2582e-185.0499e-245.2194e-235.0101e-21表1以1,x,x2，1X1为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差6(1)实验1结论：从图1可看出，A的条件数随着最小二乘多项式的阶数的增加而增加。从表1可看出，起初最小二乘多项式给出的最小误差随其阶数的增加而减少，但当阶数达到一定值(13及以上)时，最小误差反而增加。实验2结果:设拟合多项式为S/x)=a0B(x)+a1P(x)+a2F2(x)

5、+a1P(x)1 dn其中，Po(x)=1,Pn(x)=-X(x2-1)n(n=1,2,).2 n!dxMatlab程序x=-1:2/19:1;y=exp(x);acond=zeros(1,7);de1ta=zeros(1,7);|P=zeros(16,20);forn=0:15Pt=1egendre(n,x);|P(n+1,:)=Pt(1,:);endfor1=3:2:15A=zeros(1+1);B=zeros(1+1,1);fori=1:1+1forj=i:1+1A(i,j)=P(i,:)*P(j,:)'endB(i,1)=P(i,:)*y'endc=(AB),;yf=c

6、*P(1:l+1,:);delta(l-1)/2)=sum(yf-y).A2);acond(l-1)/2)=cond(A);endl=3:2:15;plot(l,log(acond);xlabel('l');ylabel('ln(Cond(A)_2)');图3以勒让德多项式p"x)为基函数条件下ln(Cond(A)z)l关系曲线图4以勒让德多项式pi(x)为基函数条件下Variables-delta值根据图2,列出以勒让德多项式R(x)为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最n小误差仃(l)=£(y(Xi)-yi)2,如表2所示。i1135

7、791113156(1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132.2582e-184.4161e-241.4807e-299.7307e-29表2以勒让德多项式pi(x)为基函数条件下不同阶最小二乘多项式给出的最小误差6(1)实验2结论：从图2可看出，A的条件数随着最小二乘多项式的阶数的增加而增加。从表2可看出，起初最小二乘多项式给出的最小误差随其阶数的增加而减少，但当阶数达到一定值(15)时，最小误差反而增加。实验1、2对比：211、对比以1,x,x,，X和以勒让德多项式Pi(x)为基函数条件下1n(Cond(A)2)1关系曲线。图51n(Cond(A)2)1关系曲线对

8、比2、对比以1,x,x2，4和以勒让德多项式Pi(x)为基函数条件下不同阶最小二乘多项n式给出的最小误差5(1)、仃2(1)。其中仃(1)=£(y(x)-yi)2,1=3,5,7,9,11,13,15。i1135791113155(1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132,2582e-185.0499e-245.2194e-235.0101e-2102(1)3.1369e-042.2457e-084.0116e-132.2582e-184.4161e-241.4807e-299.7307e-29表3不同阶最小二乘多项式给出的最小误差6(1)对比实验1、2对比结论：从图5可看出，以1,x,x2，xl和以勒让德多项式R(x)为基函数条件下，A的条件数均随着最小二乘多项式的阶数的增加而增加，但以勒让德多项式pi(x)为基函数时的条件数小于以1,x,，x1为基函数时的条件数。从表3可看出，次数1E9时两种