平面向量心问题

1、平面向量和三角形的“四心”问题例1、（1）点P是ABC所在平面上一点，若凡瓦二瓦虱二瓦.瓦，则？是左ABC的（）.（2）已知0是/ABC内的一点，若=OC则0是/ABC的（）（3）点0为ABC所在平面内一点，如果OAOB=OBOC=OC0A,贝（。必为zxab®（）（4）已知。为ABC所在平面内一点，且满足222222oa|+|bc|=|ob|+网=|oc|+网，则点。是ABC（）（5）点P在ABCrt一点，使AP2+BP2+CP2取得最小值时，点PAABCS（）A.夕卜心B.内心C.重心D.垂心例2、点0是平面上一定点，AB、C是平面上不共线的三点，则动点P满足下列条件时，P的轨迹

2、一定通过ABC的（）（1）动点P满足：。尸二。+力（朋；ABAC、（2）动点P满足0P=0A*（=）ABAC*（0.+*）?,，-ABAC一（3）动点P满足0*"辛+辛），（0"）；AB(4)动点P满足OP=OA+"AC+)ABlsinBACsinC.（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心例3、已知O为ABC的夕卜心）求证："OAsinBOC+OBsinAOC+OCsinAOB=0分析构造坐标系证明.如图3,C(x3,y3)Bg,y2)X以A为坐标原点，B在x轴的正半轴，C在x轴的上方.SwOB=1X2y。,2直线BC的方程是y3x+（X2-0y-X2

3、y3=0,由于点A与点O必在直线BC的同侧，且乂2尸3<°,因E匕有X）y3为尸0十乂2尸0X2y3<。,得c1,、SABOC=匚以3尸0+X2y3X°y3X2y0）.2直线AC的方程是yXXy=0，由于点（1,0）与点O必在直线AC的同侧，且尸3尺1X3X0A0,因E匕有X0y3X3y°A0,得，aoc=；（X°y3X3y°）于是，容易验证，OASboc+OBSAOCOCSaAOB-0,乂ciLKeSaboc弓|OB|OC|sinBOC,Sea=1|OB|OA|sinAOB,SAao1|OA|OC|sinAOC，乂|OA|=|OB

4、|=|OC|,贝1所22证成立.例4、AABC的外接圆的圆心为。，两条边上的高的交点为H,4T4OH=m（OA+OB+OC），则实数m=.分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观.解法如下，由已知，有向量等式ah：Bc=0,将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有(OH-OA)HOC-OB)=0,将已知代入，有4414Tm(OA+OB十OC)OAQ；OCOB)=0,即m(O?-OB)+(m-1)OAC=0,由。是夕卜心，得(i)oA_b=0,由于aabc是任意三角形，则OAjBC不恒为0,故只有m=1恒成立.或者，过点O作OM_LBC与M

5、,则M是BC的中点，有OM=：(OB+OC*)；H是垂心，贝UAH_LBC，故AH与OM共线，设AH=kOM,贝UOH=OA+AH=OA+3(OB+OC),乂OH=m(OAOB+OC),故可得一kk(m-1)OA+(m-/OB+(m一五)。=0,佰m_1=m-；=0，彳寸m=1.到三角形的重心坐标公式，设三角形的重心为G,。是平面内任一点，均有TT1OAOBOCOG=由题意,题目显然叙述根据已知式子OH=m(OA+OB+OC)中的OA+OB+OC部分，很容易想的是一个一般的结论，先作图使问题直观化，如图1,由图上观察，很容易猜想到HG=2GO,至少有两个产生猜想的诱因，其一是，BF,OT均与三

6、角形的边AC垂直，则BF/OT；其二，点G是三角形的中线BT的三等分点.此时，会先猜想BHGszXTOG,但现在缺少一个关键的条件，即BH=2OT,这样由两个三角形的两边长对应成比例，同时，夹角对应相等可得相似.当然，在考试时，只需大胆使用，也可利用平面几何知识进行证明.本题结论是关于三角形的欧拉定理,即设。GH分别是ABC的外心、重心和垂心，UQGH三点共线，且OGGH=1：2,利用向量表小就是oh=3OG.例5、已知向量o?,op2,op3满足条件凉+B+op3=0,|。引=|。已|=|我|,求证：prp3是正三角形.分析对于本题中的条件茄闩OP?|=|甜=1，容易想到，点O是AFIP2P3的外心，而另一个条件o?+op2+op3=0表明，点。是P1P2P3的重心.故本题可描述为，若存在一个点既是三角形的重心也是外心，则该三角形