平面向量的数量积及运算律二

1、课题：平面向虽的数虽积及运算律（二）教学目标：1. 掌握平面向量数量积运算规律；2. 能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题；3. 掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.教学重点：平面向量数量积及运算规律.教学难点：平面向量数量积的应用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质.教学过程：一、复习引入：1. 两个非零向量夹角的概念已知非零向量a与b,作=a,OB=b，则ZAOB=。（OVOV

2、兀）叫a与b的夹角.平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b,它们的夹角是0，则数量|a|b|cos叫a与b的数量积，记作ab,即有ab=|a|b|cos,（ovev兀）.并规定0与任何向量的数量积为0。.“投影”的概念：作图定义：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影。投影也是一个数量，不是向量；当为锐角时投影为正值；当为钝角时投影为负值；当为直角时投影为0;当=0时投影为|b|;当=180时投影为|b|。4. 向量的数量积的几何意义：数量积ab等于a的长度与b在a方向上投影|b|cos的乘积。5. 两个向量的数量积的性质：设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量。1ea=

3、ae=|a|cos;2abab=03当a与b同向时，ab=|a|b|;当a与b反向时，ab=|a|b|。特别的aa=|a|2或|a|=JOTab4cos=|a|b|；5|ab|<|a|b|7.判断下列各题正确与否：1 若a=0,则对任一向量b,有ab=0。(V)2 若a0,则对任一非零向量b,有ab0。(X)3 若a0,ab=0,贝Ub=0。(x)4 若ab=0,贝Ua、b至少有一个为零。(x)5 若a0,ab=ac,贝Ub=c。(x)6 若ab=ac,贝Ub=c当且仅当a0时成立。(x)7 对任意向量a、b、c,有(ab)ca(bc)。(x)对任意向量a,有a2=|a|2。(V)二、讲

4、解新课：平面向量数量积的运算律1.交换律：ab=ba证：设a,b夹角为，贝Uab=|a|b|cos,ba=|b|a|cosab=ba.数乘结合律：(a)b=(ab)=a(b)证：若0,(a)b=|a|b|cos,(ab)=|a|b|cos,a(b)=|a|b|cos,若0,(a)b=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos,(ab)=|a|b|cos,a(b)=|a|b|cos()=|a|b|(cos)=|a|b|cos。.分配律：(a+b)c=ac+bc在平面内取一点O,作=a,AB=b,OC=c,a+b(即OB)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即|a+b|

5、cos=|a|cos1+|b|cos2-1c|a+b|cos=|c|a|cos+|c|b|cos2c(a+b)=ca+cb即：(a+b)c=ac+bc说明：(1)一般地，(a-b)c乒a(b-c)a-c=b-c,c乒0a=b有如下常用性质：a2=IaI2,(a+b)(c+d)=a,c+a,d+b,c+b,d.22_2(a+b)=a+2a，b+b三、讲解范例：7a5b垂直，a4b与7a例1已知a、b都是非零向量，且a+3b与垂直，求a与b的夹角。15b2=0a30ab+8b2=0解：由(a+3b)(7a5b)=0=7a2+16ab,、一一、-_2(a4b)(7a2b)=0n7a两式相减：2ab=

6、b2代入或得：a2=b2设a、b的夹角为，贝Ucosb2|a|b|2|b|2=60例2求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和。AC=ABAD解：如图：ZZ7ABCD中，AB=DC,AD=BC,.22-1AC|2=|ABAD|=ABAD2ABAD而BD=AB-AD-1BD|2=|AB-ADI2=AB2AD2ABAD22、222222.|AC|+|BD|一2AB2AD一|AB|BC|DC|AD|例3四边形ABC畔，AB=a,BC=b,CD=c,DA=d，且a,b=bc=cd=da，试问四边形ABCO什么图形？分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.

7、解：四边形ABCO矩形，这是因为：一方面：a+b+c+d=0,-，一、.-、2,一、2.a+b=(c+d),-(a+b)=(c+d)即Ia|2+2ab+|b|2=|c|2+2c-d+|d|2由于ab=cd,Ia|+|b|=|c|+|d|同理有IaI2+IdI2=Ic|2+|bI2由可得Ia|=|c|,且|b|=|d|即四边形ABCtM组对边分别相等.四边形ABCO平行四边形另一方面，由ab=bc,有b(ac)=0,而由平行四边形ABCD可得a=c，代入上式得b,(2a)=0即ab=0,a±b也即ABLBC综上所述，四边形ABCO矩形.评述：(1)在四边形中，AB,BC,CD,DA是顺

8、次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a+b+c+d=0,应注意这一隐含条件应用；(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.四、课堂练习：1. 下列叙述不正确的是()A.|汀呈1勺数旦积浅足.史佳律B舟主白数豆枳泮足肝.律2. C.向星的数昼积淌足始合律D.ab是一个实数已知|a|=6,|b|=4,a与b的夹角为60°,贝U(a+2b)-(a-3b)等于()A.72B.-72C.36D.-363.|a|=3,|b|=4,，一3.3.、一一向重a+b与ab的位置关系为(44:)A.平行B.玉直C.夹角为-3D.不平行也不垂直4. 已知|a|=

9、3,|b|=4,且a与b的夹角为150°,贝(a+b)2=.5. 已知|a|=2,|b|=5,a-b=-3,则|a+b|=,|a-b|=.6. 设|a|=3,|b|=5,且a+入b与a-入b垂直，贝U入=.3参考答案：1.C2.B3.B4.25.-1+25.23寸356.±-5五、小结通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.1. 六、课后作业已知|a|=1,|b|=,且(a-b)与a垂直，贝Ua与b的夹角是()A.60：B30：C.135：iD.45°2. 一，一、.一兀一，一已

10、知|a|=2,|b|=1,a与bN间的夹角为&，那么向重m=a-4b的模为()3. A.2B2C.6D.12已知a、b是非零向量，贝U|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的()A.充分但不必要条件B.必要们不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 一，一“一兀一已知向重a、b的夹角为,|a|=2,|b|=1,则|a+b|-|a-b|=.5. 已知a+b=2i-8j,a-b=-8i+16j,其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a-b=.6. 已知a±b、c与a、b的夹角均为60°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,则(a+2b

11、-c)已知|a|=1,|b|=,(1)若allb,求a-b;(2)若a、b的夹角为60°,求|a+b|；(3)若a-b与a垂直，求a与b的夹角.7. 设m、n是两个单位向量，其夹角为60°,求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.8. 对于两个非零向量a、b,求使a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.参考答案：1.D2.B3.C4.而5.-636.117.(1)-(2)J3+V2(3)45；8.120°9.90七、板书设计(略)八、课后记及备用资料：1. 常用数量积运算公式在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方和(差)公式在解题中的应用较为广泛.即(a+b)2=a2+2a-b+b2,(ab)2=a2-2a-b+b2上述两公式以及(a+b)(a-b)=a2-质这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用.2. 应用举例例1已知|a|=2,|b|=5,ab=3，求Ia+b|,|a-b|.解：|a+bI2=(a+b)2=a2+2ab+b2=22+2x(3)+52=23.Ia+bI=<23(Ia-b|)2=(ab)2=