巧用导数知识妙解参数问题

1、巧用导数知识，妙解参数问题厦门市禾山中学林日平导数，作为解决与高次函数有关问题的一种工具，有着无可比拟的优越性。也越来越受到高考命题专家的“青睐”。其中，利用导数求参数的取值范围，更是成为近年来高考的热点。，甚至很多省份都安排在倒数第一、二题的位置上！现以近几年的高考题为例，探讨一下用导数求参数范围的几种常见题型及求解策略。策略一：分离变量法所谓分离变量法，是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同，解决有关不等式恒成立、不等式存在(有)解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知解决问题的关键：分离变量之后将问题转化为

2、求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下结论均为已知x的范围，求a的范围：结论一、不等式f(x、g(a)恒成立仁f(x)'芝g(a)(求解f(x)的最小值)；不等式f(x)玄g(a)恒成立uf(x)】maxg(a)(求解f(x)的最大值).结论二、不等式f(x)Zg(a)存在解uf(x)】max芝g(a)(求解f(x)的最大值)；不等式f(x)g(a)存在解uf(x)】min<g(a)(即求解f(x)的最小值).结论三、方程f(x)=g(a)有解ug(a)的范围=f(x)的值域(求解f(x)的值域).3案例1、(2009福建卷)若曲线f

3、(x)=ax+lnx存在垂直于y轴的切线，贝U实数a取值范围是.一.1，一分析：f(x)=2ax(x0)x11依题意万程2ax+=0在(0,e)内有解，即a=(x0)na(工0)12案例2、(2008湖北卷)右f(x)=-x+bln(x+2)在(-1,+°°)上是减函数，则b的取值范围是()A.T,二)B.(-1，二)C.(-二，TD.(-二，T)b分析：由题启、可知f(x)=x+壬0,在xu(1,*°)上恒成立，x2即b<x(x+2)=(x+1)2-1在xw(一1,E)上恒成立，由于x。一1,所以b壬1,案例3、(2008广东卷)设a在R,若函数y=eax

4、+3x,xwR有大于零的极值点，则()_1A.a-3B.a-3C.aD.a：.33分析：f'(x)=3+aeax,若函数在xwR上有大于零的极值点，即f'(x)=3+aeax=0有正根。当有f'(x)=3+aeax=0成立时，显然有a<0,此时x=ln(°),aa由x0得a<3案例4、(2008江苏卷)设函数f(x)=ax33x+1(xwR)，若对于任意的xL1,1都有f(x)N0成立，贝U实数a的值为解：当x=0，则不论a取何值，f(x)70显然成立；31当0<x苴1时，f(x)=ax3x+1芝0可化为，a>-23xx令g(x)=g-

5、二则g(x)=”)xxx1上单调递减,_2所以g(x)在区间10,1'上单调递增，在区间j1,1'-因此gXmax=g1,-1=4，从而a芝4；2当一1x<0时，f(x)=ax33x+1N0可化为aMg-】，g(x)='"4之乂)0xxxg(x)在区间1,0)上单调递增，因此g(xman=g(1)=4，从而a玄4,综上a=4分离变量法是近几年高考考查和应用最多的一种。解决问题时需要注意：(1)确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一类；(2)确定是求最大值、最小值还是值域.高三复习过程中，很多题目都需要用到分离变量的思想，除了基础题目可以使用分离变量，很

6、多压轴题也开可以用这种方法去求解。'2'''案例5、(2005湖北卷)已知向量a=(x,x+1),a=(1x,t),若f(x)=a，b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.232解析：由向重的数重积7E义，f(x)=x(1X)+(X+1)t=-X+x+tx+1一._2_-f(x)=3x+2x+1.若f(x)在区间(-1,1)上是增函数，则有f'(x)>0-2=t>3x-2x在(-1,1)上恒成立.若令g(x)=3x2-2x=-3(x-)2-3在区间-1,1上，g(x)=g(1)=5,故在区间(-1,1)上使t>g(x)恒成立，m

7、ax只需t>g(-1)即可，即t>5.即t的取值范围是5,8).利用导数与函数单调性的关系求解参数问题的题型，是高考命题的一种趋势，它充分体现了高考“能力立意”的思想。对此，复习中不能忽视。策略二：主次元变换法案例6、.(2009北京卷)设函数f(xxekx(t0)(I)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(n)求函数f(x)的单调区间；(山)若函数f(x)在区间(-1,1)内单调递增，求k的取值范围.分析：本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I)(口)题略，对于题(m),若借助()的结论入手，1,1一，一、

8、，、八，一一须分-上<_1或上N1两种情况求解，学生不一定能考虑得很全面；通过思考，不kk妨变换一下主次元，转化为一次函数的问题求解。(m)解：由题意f(x)=(1-kx)ekx一0在x(-1,1)上恒成立即1+kx堕0®xw(-1,1)上恒成立,1+k(-1)0<1J+k1芝0>-1又k=0k的取值范围是【一1,0侦0,1.本题通过变换主元的思想，巧妙地应用函数的单调性，避免了对k的讨论，简化了问题的求解。策略三、极值法有些函数问题，若能适时地借助函数的图象，巧妙地利用函数的极值来求解，可使问题豁然开朗。案例7、(07全国卷二)已知函数f(X)=X，X.求曲线y=

9、f(x)在点M(t,f(t)处的切线方程；(2)设a0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：a<b<f(a)解：(1)略y=(3t21)x2t3.(1) 如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b=(3t21)a2t3.若过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，则方程2t33at2+a+b=0有三个相异的322头数根.记g(t)=2t-3at+a+b，贝Ug(t)=6t6at=6t(ta).当t变化时，g(t),g'(t)变化情况如下表：t(q,0)0(0,a)a(a,+七)g'(t)+00+g(t)增函数极大值a+b减函数极小值bf(a

10、)增函数如果过(a,b)可作曲线y=f(x)三条切线，即g(t)=2t33at2+a+b=0有三个相异的实数根,ab0则有*即a<b<f(a).b-f(a)：0.本题的求解，充分利用函数的极值，把原本复杂的问题转化为极值的正负问题，使问题变得更加直观、充分体现了导数的优越性案例8、(2009陕西卷)已知函数f(x)=x33ax1,a#0(I)求f(x)的单调区间；(II眉f(x)在x=T处取得极值，直线y=m与y=f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。解析：(1)略(2)因为f(x)在x=T处取得极大值，2所以f(T)=3(-1)2-3a=0,a=1.所以f(x)=x3-

11、3xT,f(x)=3x2-3,由f(x)=0解得x=1,X2=1。由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x=1处取得极大值f(1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=3。因为直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点，由f(x)的单调性可知，mw(3,1)案例9.(2008四川卷).已知x=3函数f(x)=aln(1+x)+x2-10x的一个极值点。(I)求a;(n)求函数f(x)的单调区间；(山)若直线y=b与函数y=f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围。分析：(I)(H)略(山)由(H)知，f(x)在(-1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3,心)上单调增加，且

12、当x=1或x=3时，f(x)=0所以f(x)的极大值为f(1)=16ln29，极小值为f(3)=32ln221因此f16=162-101616ln2-9=f1-2-fe-1：211=-21f：3所以在f(x)的三个单调区间(1,1),(1,3)(3，心)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f3：b：f1因此，b的取值范围为(32ln221,16ln29)。充分利用函数的极值和数形结合的思想，把问题转化为极值问题，进一步分体现了导数在解题中的作用。策略四、零点法32案例10、(2009浙江又)已知函数f(x)=x+(1-a)x-a(a+2)x+b(a,bR).(I) 若函数f(x

13、)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3,求a,b的值；(II) 若函数f(x)在区间(-1,1)上不早调，求a的取值范围.解析：(I)略(n)f(x)=3x22(1-a)x-a(a2)函数f(x)在区间(-1,1)不单调，等价于导函数f'(x)在(-1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数即函数f'(x)在(-1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有f(_1)f(1)<0,即：3+2(1a)a(a+2)32(1a)a(a+2)<0，,一2整理得：(a+5)(a+1)(a1)<0,解得5<a<1案例11、(2004新课程卷)若函数y=l

14、x3ax2+(a1)x+1在区间32(1,4)内为减函数，在区间(6,+00)内为增函数，试求实数a的取值范围.解：f(x)=x2-ax(a-1)=(x-1)k-(a-1)1令f(x)=0,解得x=1或x=a-1，并且a乒2,否则f(x)在整个定义域内单调。由题意，函数f(x)的图象应有三个单调区间且先增后减再增，而已知f(x)在(1,4)内为减函数，在区间(6,+00)内为增函数，可知函数f(x)在x=1处取得极大值，在x=a-1处取得极小值。4<a-1M得5<aV7所以a的取值范围是5,7应用函数的零点问题，解决相关的问题，也能取到意想不到的功效。策略五、构造新函数法对于某些不

15、容易分离出参数的恒成立问题，可利用构造函数的方法，再借助新函数的图像、性质等来求解，可以开拓解题思路、化难为易。案例12、(2007全国卷一)设函数f(x)=exe"(I)证明：f(x)的导数f'(x)>2;(n)若对所有x>0都有f(x)>ax,求a的取值范围.解：(i)f(x)的导数f'(x)=ex+e".而ex+e“芝2texe"=2,故f'(x)»2.(当且仅当x=0时，等号成立).()法一：令g(x)=f(x)ax,于是不等式f(x)>ax成立即为g(x)>g(0)成立.则g'(x)

16、=f(x)a=ex+ea,由(i)可知g(x)=exe-a2a,由2a-0=a壬2.当a2时，g(x)在(0,心)上为增函数,从而有x>0时，g(x)>g(0),即f(x)>ax.案例13、(2006全国卷II)设函数f(x)=(x+1)ln(x+1),若对所有的x>0,都有f(x)>ax成立，求实数a的取值范围.解：令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax(x>-1)于是不等式f(x)>ax成立即为g(x)>g(0)成立.对函数g(x)求导数：g'x)=ln(x+1)+1a令g'x)=0,解得x=ea'1当xeaJL1

17、时，g'x)>0,g(x)为增函数，当1<x<ea1,g'x)v0,g(x)为减函数，所以要对所有x>0都有g(x)>g(0)等价条件为ea-1-K0.由此得av1,即a的取值范围是(一叫1.通过适时构造新的函数，简化了问题，把求参数的范围转化为函数的最值问题，对解题起到了画龙点睛的作用。策略六、二次函数法某些函数可转化为二次函数的模型，则可利用二次函数的性质来求解。案例14.(2008天津卷)已知函数f(x)=x4+ax3+2x2+b(xR)，其中a,bR.10(i)当a=-一时，讨论函数f(x)的单倜性；3(n)若函数f(x)仅在x=0处有极值

18、，求a的取值范围；(川)若对于任意的aw_2,2,不等式f(x)<1在-1,1上恒成立，求b的取值范围.分析：本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、函数的最大值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力.(I)略(n)解：f(x)=x(4x2+3ax+4)，显然x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根.为使f(x)仅在x=0处有极值，必须4x2+3ax+4芝0成立，即有A=9a264壬0.88解些不等式，碍一一玄a一.这时，f(0)=b是唯一极值.33因此满足条件的a的取值范围是-8,8.33(川)解：由条件aW2,2,可知A=9a264<0，从而4x2+3ax+40恒成立.当x<0时，f'(x)<0;当x>0时，f'(x)A0.因此函数f(x)在-1,1上的最大值是f(1)与f(1)两者中的较大者.，一，一f(1V：1r为使对任意的aw2,2,不等式f(x)<1在-1,1上恒成立，当且仅当I，即f(1)5b_-2-a,，在aw_2,2上恒成立.b