实验导数及偏导数计算

1、实验3导数及偏导数计算实验i的1 .进一步理解导数概念及其几何意义.2 .学习matlab的求导命令与求导法.实验内容1.学习matlab命令.建立符号变量命令sym和syms调用格式：x=sym('x'),建立符号变量x;symsxyz,建立多个符号变量x,y,z;matlab求导命令diff调用格式：diff(函数f(x),求f(x)的一阶导数f'；diff(函数f(x),n),求f(x)的n阶导数f(n)(x)(n是具体整数)；fdiff(函数f(x，y)，变量名x),求f(x，y)对x的偏导数ex;；：nfdiff(函数f(x，y),变量名x,n)，求f(x，y

2、)对x的n阶偏导数铲；matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式：jacobian(函数f(x,y,z)；函数g(x,y,z)；函数h(x,y,z)】,x,y,z】)给出矩阵：旦-:y-:g一-:y.:h一-:y2f.:x-:g一.:h一,fcz包cz鱼礼2.导数概念.导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率(1)点导数是一个极限值.例3.1.设f(x)=ex,用定义计算f(0).解：f(x)在某一点x0的导数定义为极限f(x°x)-f(x°)x我们记h=Ax,输入命令symsh;limit(exp(0+h)-exp(0)/h得结果：ans=1.可知

3、f'(0)=1(2)导数的几何意义是曲线的切线斜率.例3.2.画出f(x)=ex在x=0处(HQD)的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.解:在曲线y=芋上另取一点M(h,eh)，则pm的方程是：y-1_eh-1x-0h-0.即y=x1,h取h=3,2,1,O.1,0.01,分别作出几条割线.h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;plot(x,exp(x),'r')holdonfori=1:5;plot(h(i),exp(h(i),'r.')plot(x,a(i)*x+1)endaxissquare作出

4、y=ex在x=0处的切线y=x+1plot(x,x+1,'r')从图上看，随着M与P越来越接近，割线PM越来越接近曲线的割线.3 .求一元函数的导数.(1)y=f(x)的一阶导数.sin(x)例3.3.求x的导数.解：打开matlab指令窗，输入指令：dy_dx=diff(sin(x)/x)得结果：dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/xA2.matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示Vx.例3.4.求y=ln(sinx)的导数.解：输入命令：dy_dx=diff(log(sin(x).得结果：dy_dx=cos(

5、x)/sin(x).在matlab中，函数lnx用log(x)表示，而log10(x)表示lgx例3.5.求y=(x2+2x)2°的导数.解：输入命令:dy_dx=diff(xA2+2*x)A20).得结果：dy_dx=20*(xA2+2*x)A19*(2*x+2).注意2x输入时应为2*x.例3.6.求y=xx的导数.解：输入命令：dy_dx=diff(xAx).得结果：dy_dx=xAx*(log(x)+1).利用matlab命令diff一次可以求出若干个函数的导数例3.7.求下列函数的导数：1y1=Vx2-2x+52. y2=cosx2+2cos2x.3. y3=4sinx.4

6、y4=lnlnx解：输入命令：,cos(xA2)+2*cos(2*x),4A(sin(x),-2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x)，1/x/log(x).a=diff(sqrt(xA2-2*x+5)log(log(x).得结果：a=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2)4Asin(x)*cos(x)*log(4)dy1_dx=a(1).dy1_dx=1/2/(xA2-2*x+5)A(1/2)*(2*x-2).dy2_dx=a(2).dy2_dx=-2*sin(xA2)*x-4*sin(2*x).dy3_dx=a(3).dy3_dx=4Asin(x)*cos(x)*

7、log(4).dy4_dx=a(4)dy4_dx=1/x/log(x).由本例可以看出，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量.(2)参数方程所确定的函数的导数.；x=x(t)dyy*(t)设参数方程y=y(t)确定函数y=f(x),则y的导数dx一x(t).；x=a(tsint)dy例3.8.设W=a(1-cost),求液.解：输入命令：dx_dt=diff(a*(t-sin(t);dy_dt=diff(a*(1-cos(t)dy_dx=dy_dt/dx_dt.得结果：dy_dx=sin(t)/(1-cos(t).其中分号的作用是不显示结果.4 .求多元函数

8、的偏导数.例3.9.设u=；x2+y2+z2求u的一阶偏导数.解：输入命令：diff(xA2+yA2+zA2)A(1/2),x).得结果：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*x.在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*y.也可以输入命令：jacobian(xA2+yA2+zA2)A(1/2),xy).得结果：ans=1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*x,1/(xA2+yA2+zA2)A(1/2)*y给出矩阵改：y.例3.10.求下列函数的偏导数，y、z1=arctg()1. x.2. z2=Xy.解：输入命令：di

9、ff(atan(y/x).得结果：ans=-y/xA2/(1+yA2/xA2)输入命令：diff(atan(y/x),y).得结果：ans=1/x/(1+yA2/xA2).输入命令:diff(xAy,x).得结果：ans=xAy*y/x输入命令:diff(xAy,y).得结果：ans=xAy*log(x).使用jacobian命令求偏导数更为方便.输入命令:jacobian(atan(y/x),xAy,x,y).得结果：ans=-y/xA2/(1+yA2/xA2),1/x/(1+yA2/xA2)xAy*y/x,xAy*log(x)5 .求高阶导数或高阶偏导数.例3.11.设f(x)=x2e2x

10、,求f(20)(x).解:输入指令：diff(xA2*exp(2*x),x,20).得结果：ans=99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*xA2*exp(2*x)f2zf2zf2z例3.12.设z=x6-3y4+2x2y2求欲2,句2，欲制解:输入命令:diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2f2z可得到-x2:ans=30*xA4+4*yA2f2z将命令中最后一个x换为y得匀2：ans=-36*yA2+4*xA2.输入命令:diff(diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2”z可得汶:y:-2_一-z同学们可自己计算g比较

11、它们的结果.注意命令：diff(xA6-3*yA4+2*xA2*yA2,x,y),是对y求偏导数，不是求牧印.求隐函数所确定函数的导数或偏导数ydy例3.13.设Inx+ex=e，求dxy解：F(x,y)=Inx+ex-e，先求FJ,再求Fy.输入命令:df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x)得到Fx：df_dx=1/x+y/xA2*exp(-y/x)输入命令:df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y)得到Fy:df_dy=-1/x*exp(-y/x)输入命令:dy_dx=-df_dx/df_dy可得所求结果：dy_dx=-(-

12、1/x-y/xA2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x).；:z；z例3.14.设sin(xy)+cos(yz)+tg(xz)=0，求exy解:F(x)=sin(xy)cos(yz)tg(xz)输入命令:a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(z*x),x,y,z)可得矩阵Fx,Fy,Fza=cos(x*y)*y+(1+tan(z*x)A2)*z,cos(x*y)*x-sin(y*z)*z-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x.输入命令:dz_dx=-a(1)/a(3)得：dz_dx=(-cos(x*y)*y-(1+tan(z*x)A2)*z)

13、/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x)输入命令:dz_dy=-a(2)/a(3)得：dz_dy=(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(z*x)A2)*x)练习1.求下列函数的导数.y=(,x1)(I-1)y=2sin2土(3)x2求下列参数方程所确定的函数的导数"x=t4(1)、y=4t(2)(2)y=xsinxlnxy=ln(x-”x2a2)”x=ln(1+t2)、y=t_arctgtarctgy=lnx2y2xxy=yx2. 求下列隐函数的导数.3. 设y=excosx，求y(4).4. 验证y=exsinx满足关