向量背景下的轨迹问题

1、小议向虽背景下的轨迹问题向量是沟通代数、几何与三角函数的工具，有着丰富的实际背景。本文就轨迹问题谈之。、中点问题例1已知A(2,0)、B(2,0)，点C、点D满足|AC|TT(AB+AC)。(I) 求点D的轨迹方程；过点A作直线l交以A、B为焦点的椭圆于M、N两点，线段MN的中点到y，4轴的距离为一，且直线l与点D的轨迹相切，求该椭圆的万程。5解：(I)设点C(x。，y。)，D(x,y)，则AC=(x十2,y。)，TAB=(4,0),一-1xnAB+AC=(x+6,y),AD=(AB+AC)=(或+3,T又AD=(x+2,y)区+3=x+2故！2y3=yXo=2x-2解得0=2y1将其代入|A

2、C|=J(+2)2+y2=2得2工2x+y=1(II)易知直线l与x轴不垂直，设直线l的方程为,即为所求点D的轨迹方程。y=k(x2)椭圆方程为22xya2a2-4,2、=1(a4)。将代入，整.，一2.2.因为直线l与圆x+y=1相切，故理得(a2k2+a24)x2十4a2k2x十4a2k2a4+4a2=0，而k2=：,即2_22342(a-3)xaxa4a=0设M(x，y)，n(x2,V2)2ma则xi+x2=一-厂二a-3由题意有一2=2乂一(a3),解得a=8。a-35经检验，此时0。22故所求的椭圆方程为xy=1。84、角问题例2如图1,已知两定点A(-c,0),B(2c,0)(c0

3、)，在AMB中，设向量ffAM,BM与AB的单位向量分别为一1。(I)求顶点M的轨迹方程，并画出方程的曲线;(II)自古代开始，数学家就想只用圆规和直尺三等分任意角，但一直没有成功。直到十九世纪，其不可能性才被Galois的方程论证明。但是若利用所求方程的曲线、圆规和直尺，则我们可以三等分任意角。请三等分图中的ZADB,并证明。图1解：(I)设/MBA=叵,/MAB=凹，由题设co%=2cOS2臼一1=cos2耳,当|x2c时，有tan:2tan:1tan2：设点M(x,y),当点M在x轴上方时，将ytan:=yx-2c22xy整理碍二-土=1;当点M在x轴下万时,c3c,ytan:x2cta

4、nP=代入，x+ctan6=L,仍有x+c22xy-12一c21c3c注意到当x=2c时，亦满足方程。22xy故所求的轨迹万程是双曲线-y-=1(XAC)的右支，但不包括X轴上的点,c3c图形如图1。22(II)如图1,作ADB的外接圆与双曲线与匕=1(Xc)交于点C(C是不c3c在圆弧ADB上的点)。连AC,CB,CD,则有/ADC=四，/BDC=E，由叵三理得ZBDC=ZADB。三、垂直问题ff例3如图2,P(3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，且AP，AQ=0在困的延长线上取-点M,使|QM|=2|Aq|。(I)当A点在y轴上移动时，求动点M的轨迹C的方程;(II)已知i=(0

5、,1),j=(1,0)经过(1,0)以ki+j为方向向量的直线0与轨迹C交于E、F两点，又点D(1,0)，若ZEDF为钝角时，求k的取值范围。解：(I)设A(0,7|)、Q(x0,0)、M(x,y)，则AP=(-3,y|),AQ=(x,y)oTT又|apaq=o所以-3x*(-y)(-y)=0所以|y2=3x|又|6M|=2|AQ|所以xx=3Cy+2y0.3xx=3y=T2将代入，得y2=4x(x,0)(II)ki+j=k(0,1)+(1,0)=(1,k)则l:y=k(x+1)，此与y2=4x联立得k2x2(2k2-4)xk2=04-2k2xx2=2k,xg=10时，kw(1,0)U(0,1

6、)fff?又DE=(x一1,y),DF=g-1,y?),若ZEDF为钝角，则DEDF0fT而DEDF=(x11)(x2-1)+y1y2=x1x2(x1+x2)+k(x1+1)k(x2+1)+1(I) 222=(k21)x1x2(k21)(x1x2)k21：0将代入，整理得|4k-20所以由题知k乒0,故k=(-返，0)U(0,笠)22四、平行四边形问题例4一椭圆中心在原点，右焦点为F(2,0),离心率为3TT过F作弦AB，使|OA=BP|,求点P的轨迹方程；OAPB是不是矩形，如果是，写出相应的直线AB的方程，如果不是，说明理由。解：c=2,，=如a3所以a?=6,b2=622=222所以椭圆

7、方程为七+匕=1设P（x,y）为轨迹上一点，由题设得平行四边形OAPB，其对称中心为（&,M|）设|A（x，y）,B（x2，y2），则|x2+3y；=6和x；+3y；=6,两式相减，得(Xi+X2)(X1X2)+3(y+y2)(y一y2)=。|,即|x+3ykAB=6kAB；-2yx4将其代入上式，整理得(x-2)2+3y2=4(x=0),即为所求点p的轨迹方程。(II)若AB侦轴，得|AB|=2值#4,相应的设AB:y=k(x-2),与x2+3y2=6联立，得_22_2_2_(1+3k2)x2-12k2x+12k2-6=0OAPB不是矩形x12k213k2xx212k2-613k2因为OAOB,所以x1x2+y1y2=x1x2