均值不等式应用及例题解析(PPT教案)

1、均均 值值 不不 等等 式式基本不等式基本不等式abba2均值定理：均值定理：当且仅当当且仅当a=b时，式中等号成立。时，式中等号成立。两个正实数的两个正实数的算术平均值大于算术平均值大于或等于它或等于它的几何平均值的几何平均值(0,0)2a babab称为它们的称为它们的几何平均数几何平均数ab2ab称为正数称为正数a、b的的算术平均数算术平均数2212( ,)abab a bR定理 （重要不等式）,aabb令22abab定 理均 值 不 等 式上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想上述推导体现了数学中由一般到特殊的思想2abab* 均值不等式给出了两个正实数的算术平均数与几何平均数的关系，

2、这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立呢？(前述称为基本均值不等式也称二元均值不等式)33abca b c?如何证明这个猜想呢类比思想应用类比思想应用定理定理3 三元均值不等式：三元均值不等式：a、b、cN*当且仅当当且仅当a=b=c时，式中等号成立。时，式中等号成立。语言表述：语言表述：三个正实数的算术平均值大于或等三个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值于它的几何平均值2220abcabbcca3322xyxyxx yy3322333xyxx yxyy.,等等号号成成立立时时当当且且仅仅当当那那么么已已知知cbaabccbaRcba 3333同理三元均值不等式

3、也可由同理三元均值不等式也可由 换元得换元得到，到， 只要证明以下不等式成立：只要证明以下不等式成立： cabcabcbacba 222 abccabbabaabccba33333223333 因为证明 abcabbacba3332233 cbaabccbabacba 322 . 021222 accbbacba abcbcacbabacba32222 1212nnnaaaa aanbaababbaba222221、四个均值不等式链平方平均数平方平均数 算数平均数算数平均数 几何平均数几何平均数 调和平均数调和平均数2、正数a1,a2, ,an(多元均值不等式)0,(22bababa如常见变式

4、：)0,(222baabba如常见变式：2:,01baabab求证、已知例当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用当两项之积为一个常数直接用均值不等式，用a、b代换两数（有积定直接用均值不等式）代换两数（有积定直接用均值不等式）当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不当一个两项之积与另一个两项之积的积是个常数直接用均值不等式等式a、b代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来代换每项内两数，再用不等式两边相乘的基本定理来解（积积定值直接用）解（积积定值直接用）直接用三元均值不等直接用三元均值不等式来解式来解练习练习4：已知已知:a,b,c均为正数均为正数,求证求证:3bcac

5、ababcabc 21:, 0. 2xxx求证已知例246aa24求证0,已知a:练习二项之积为一个常数直接用二项之积为一个常数直接用均值不等式均值不等式a、b代换即可代换即可.baabbaba22,. 3为正数，求证：已知例abba22baab22技巧技巧（构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构构造法），当不等式左边含有元数时，我们采用构造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。造不等式来证明，再不等式两边相乘或相加原理求解。由基本不等式推出的几个常用构造不等式：由基本不等式推出的几个常用构造不等式：带常数不等式带常数不等式两边乘上两边乘上a或或b都可以构造带都可以构造带元数的不

6、等式元数的不等式cbaaccbbacba222,求证：为正数，练习：已知证明证明：因为因为所以：两边相加所以：两边相加利用带元数的构造不等式，利用带元数的构造不等式，构造出不等式左边各项所构造出不等式左边各项所带元数，再利用不等式两带元数，再利用不等式两边相乘或相加求解。边相乘或相加求解。abccbaaccbbaRcba222222:,:.4求证已知例不等式分母和右不等式分母和右边交换，构造不边交换，构造不等式相加等式相加用求差法证明例用求差法证明例4：求差法常用来证明不等式，一般需配求差法常用来证明不等式，一般需配项化为平方差的连加形式，因为项化为平方差的连加形式，因为abc都大于都大于0

7、，这种式子最终都大于，这种式子最终都大于0的的。两个两个正数正数的积为的积为常数常数时，它们的和有最小值；时，它们的和有最小值；两个两个正数正数的和为的和为常数常数时，它们的积有最大值。时，它们的积有最大值。)0, 0(2baabba均值不等式均值不等式 即：积定和最小，和定积最大，可用于即：积定和最小，和定积最大，可用于最值求解。最值求解。在求最值时必须强调的三个条件：一正，二定，三相等，缺一不可注意：注意：”一正二定三相等一正二定三相等”是指利用均值不等式是指利用均值不等式 证明或求最值必证明或求最值必 须强调的三个特殊要求：须强调的三个特殊要求：)0, 0(2baabba（1）一正）一正

8、：各项都为正数（：各项都为正数（a、b0，由，由ab做成的两项也需做成的两项也需0）（2）二定：）二定：两项积两项积为定值，和有最小值为定值，和有最小值 两项和两项和为定值，积有最大值为定值，积有最大值（3）三相等：求最值时一定要考虑不等式）三相等：求最值时一定要考虑不等式是是 否否能取能取“”，取的值是否在已知的区间内，取的值是否在已知的区间内，否则否则会出现错误会出现错误注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是注：用不等式证明和求最值是必须每步验证是否符合否符合的取值范围则，为正数，且，、已知例abbaabba35的取值范围则，为正数，且，练习：已知babaabba3ab9a+b6解：解：

9、例例6、（、（1）一个矩形的面积为）一个矩形的面积为100m2，问，问这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周这个矩形的长、宽各为多少时，矩形的周长最短？最短周长是多少？长最短？最短周长是多少？（2）已知矩形的周长为）已知矩形的周长为36m，问这个矩，问这个矩形的长宽各是多少时，它的面积最大？最形的长宽各是多少时，它的面积最大？最大面积是多少？大面积是多少？解：设矩形长为解：设矩形长为a,宽为宽为b 则则S=ab=100，L=2（a+b） 因为因为a+b =20 当且仅当当且仅当a=b=10,a+b=20 所以所以L 40，当，当a=10,b=10时时L最短，为最短，为40.解：设矩形长为解：设矩

10、形长为a,宽为宽为b 则则S=ab，L=2（a+b）=36 因为因为a+b =18 当且仅当当且仅当a=b=9,axb=81 所以所以S 81，当，当a=9,b=9时时S最大，为最大，为81.例例6解：解：利用均值不等式求函数最值的步骤利用均值不等式求函数最值的步骤:练习练习1)1)若若x0,f(x)= x0,f(x)= 的最小值为的最小值为_;_;此时此时x=_.x=_.xx31212f(x)3xx 解解: :因为因为x0 x0, , 若若x x 0)的单调性的单调性.1ytt 5/2(x=0)三不等，改用三不等，改用“单调性单调性”变形变形: :上的值域。，在）求函数（的最小值；）求函数（

11、的最小值；）求函数练习：（321131sin5sin21512222xxyxxyxxy例例 1 1:解解:, 01xmax2422 ,.327xx xy当时31224()2327xxx21(1)(22 )2yxxxxx 构造三构造三个数相个数相 加等于加等于定值定值.用三元均值不等式用三元均值不等式求最值求最值42(2)(02)yxxx2 函数的最大值？422yxx解：2221422xxx3222142322327xxx22max2342,33227xxxy当且仅当即A、6B、C、9D、1266 （）C232233112333123922222yxxxxxxxx解析：21223xx当且仅当时上

12、式取等号即3x9miny例例13 求函数 的最小值)3(31xxxy调的作用。解题时不能忽视函数单、三相等”原则严格遵循“一正、二定求函数最值时，提醒：在用基本不等式小结：小结：利用均值不等式利用均值不等式求最值时注意：求最值时注意：2、不能直接利用定理时、不能直接利用定理时，注意拆项、配注意拆项、配项凑定值的技巧项凑定值的技巧1、一正、二定、三相等；、一正、二定、三相等；缺一不可缺一不可（拆项时常拆成两个相同项）（拆项时常拆成两个相同项）。 阅读下题的各种解法是否正确，若有错，阅读下题的各种解法是否正确，若有错， 指出有错误的地方。指出有错误的地方。1121.abRabab1.已知 ，且，求

13、的最小值. 2411,1222)11)(2(11,12的最小值为、及解法二：由baababbababaRbaba五、错五、错题辨析题辨析223当且仅当当且仅当baab2即即:ba2时取时取“=”号号122baba而222221abbbaaba22baab23正解正解即此时即此时223minz 2 、求函数 的最小值下面甲、 乙、丙三为同学解法谁对？试说明理由) 0(322 xxxy甲：由 知 ，则 0 x03,022 xxxxxxxy623223222 2333min3332,2 62 1822xxyx当且仅当即时2231222yxxxxx乙：332432123yxxx(错解原因错解原因是是1/x=2/x无法无法解等号解等号取不到取不到)(错解原因是错解原因是不满足积定不满足积定)丙：, 023, 022xxxxxxxy232323222时，上式取等号即当且仅当3243232xxx33min3623293y332293232323yxxx构造三个构造三个数相数相 乘乘等于定值等于定值.注：拆项注：拆项时一般拆时一般拆成二个相成二个相同的项同的项一正一正二定二定三相等三相等2.若若x0,当当x= 时时,函数函数 有最有最 值值 .xxy943.若若x4,函