江苏省普通高校“专转本”统一考试数学模拟试卷与解析(一)

1、江苏省普通高校“专转本统一测试模拟试卷(一)解析 高等数学 考前须知： L考生务必将密封线内的各项填写清楚. 2 .考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上,写在草稿纸上无效. 3 .本试卷五大题24小题,总分值150分,测试时间120分钟. 一、 选择题(本大题共6小题,每题4分,共24分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的,请把所选项前的字母填在题后的括号内)o 1、工=0是/(不)=5抽的() X A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点 2、假设x=2是函数y=xln(g+or)的可导极值点,那么常数a=() A、-1B、-C、D、1 22 3、假设Jf

2、(x)dx=F(x)+C,那么jsin(cosx)dx=() A、F(sinx)+CB、-F(sinx)+C D、F(cosx)+C 4、设区域.是xoy平面上以点4(11)、为顶点的三角形区域,区域 是.在第一象限的局部,那么：|(xy+cosxsinyylxdy=( D A、2jj(cosxsiny)dxdy C、4JJxy+cosxsiny)dxdy 5、设(x,y)=arctanv(x,y)=hiyjx2+y2,那么以下等式成立的是() Adudvcdudv A、=B、= dxdydxdx C、F(cos)+C B、2,xydxdy A D、0 三、计算题(本大题共8小题,每题8分,共

3、64分). f/(x)+2sinx 13、设函数/(x)=v八在(TO,一)内连续,并满足：/(0)=0、 ax=0 f(0)=6,求“. AW,所确定,求4 y=sin/-rcosrdxdx c6Gv、a, C、=D、= dydxdy8x 6、正项级数(1)Z%、(2),那么以下说法正确的选项是() /r-l;r-l A、假设(1)发散、那么(2)必发散B、假设(2)收敛、那么(1)必收敛 C、假设(1)发散、那么(2)不定D、假设(1).(2)敛散性相同 二、填空题(本大题共6小题,每题6分,共24分,请把正确答案的结果添在划线上工 7、 ,一一2工 lim J.x-sinx 8、 9、

4、函数f(x)=Inx在区间I,上满足拉格朗日中值定理的J= p有+1 Li+x2- 10、设向量a=3,4,-1、4=21次：且夕、夕互相垂直,那么：= 11、交换二次积分的次序dx：fy)dy= 12、 事级数f(2-1)/的收敛区间为W-1 14、设函数y=y(x)由方程 15i|Jtan3x-secxdx( 16计算卜rctanxdj ao2 17、函数z=/(sinx,)2),其中有二阶连续偏导数,求三、_L_dxdxoy 18、求过点A(34-2)且通过直线L:=三的平面方程. 521 19、将函数/(X)=：r展开为X的靠级数,并写出它的收敛区间. 2-x-x*20、求微分方程W+

5、y-e=0满足yk=e的特解. 四、证实题(每题9分,共18分) 21、证实方程：/-3工+1=0在_口上有且仅有一根, 22、设=其中函数到外在工=0处具有二阶连续导数,且 1,%=0, 奴0)=0,.(0)=1,证实：函数/(x)在x=0处连续且可导.五、综合题(每题10分,共20分) 23、曲边三角形由y2=2x、x=0、y=l所围成,求: (1)、曲边三角形的面积; (2)、曲边三角形饶X轴旋转一周的旋转体体积c 24、设/(幻为连续函数,且2)=1,/()=心,/必工,(ii1)(1)、交换一()的积分次序; (2)、求尸(2),江苏省 2021年普通高校“专转本统一测试模拟试卷解析

6、一 高等数学 一、选择题本大题共6小题,每题4分,共24分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合要求的,请把所选项前的字母填在题后的括号内o 1x=0是/x=xsin,的 x A、可去间断点B、跳跃间断点C、第二类间断点D、连续点 解析：函数/X在/处连续的定义为上丫=/.实际上包含三个条件 1函数fx在小处必须有定义： 2函数/x在/处的极限存在： 3函数/外在见处的极限值必须等于函数值： 当上述三个条件不全满足时的点即为函数/ X的间断点.而初等函数在定义区间之内均是连续的,所以,没有定义的点一定是间断点,分段函数的分段点是可能的间断点. 根据点X.处的极限情况来加以分类: 假设有

7、一个为 8：无穷间断点 均不为无穷,函数不停振荡：振荡间断点 ifijlimfx=limx-sin-=0,即函数在x=0处没有定义,但左右极限均存在且相等,故XTOx-MJ% 此题答案选A 2、假设x=2是函数y=xln+ai的可导极值点,那么常数“= 2 A、-1B、-C、-1D、1 22 解析：该题考察函数/X极值点的必要条件,假设x=%处可导且为极值点,那么/=, 故此题/2=0即1下上一12=0,于是.=,故此题答案选C ,-+ax2 2 左右极限均存在：第一类 相等：可去间断点 不相等：跳跃间断点 左右极限至少有一个不存在: 第二类 3假设J/(x)c/x=+C,贝iJsinV(co

8、sx)dx=() B、-F(sinx)+C D、-F(cosx)+C 解析：该题考察不定积分的根本概念以及凑微分法. 求/(X)的不定积分就是找那些导数为一(X)的所有函数全体,不定积分求解正确与否,只要反过来求导是否为被积函数即可. JsinA/*(cosx)dx=-j/(cosxdcosx=-F(cosx)+C故此题答案选D 4、设区域.是xoy平面上以点A.)、.(一1,一1)为顶点的三角形区域,区域R 是.在第一象限的局部,那么：|(xy+cosxsinylxdy=(D 设积分区域.关于x轴对称, (1)假设/(x,y)关于y是奇函数,那么有 fjf(x,y)dc-f(x9y)d( (

9、r, i)i) )i 其中是.的上半区域. 类似的,假设积分区域.关于y釉对称, (1)假设/(x,y)关于天是奇函数,那么有 JJ7(x,J)drJJ7(x,J)dr- -2jj7(x,y)db,2jj7(x,y)db, I) )i) )i 其中A是.的右半区域. A、F(sinx)+C C、F(cos)+C A、2.(cosxsinydxdy C、4JJ(xy+cosxsiny)dxdy D 解析：该题考察函数奇偶性(对称性) B、2,xydxdy A D、0 的二重枳分在对称区域上的积分性质. (2)假设/(x,y)关于),是偶函数,那么有 (2)假设/(x,y)关于天是偶函数,那么有

10、5、 x 设y)=arctan ,v(x,y)=hiylx2+y2,那么以下等式成立的是() A、 du_dv dxdy B、 du_dv dxdx C、 dudf dydx D、 dud 解析：该题考察二元显函数偏导数的求法,偏导数的本质就是将其中一个变量当作常量对另一个变量的导数. du1 -=T-7,V(x,y)=Indx2+y2=-ln(x2+), y尸+厂2 aa. 内24尸.2户春7即黄=康故此题答案选A dv11 dx jj(xy+cosxsiny)dxdyi) =jjxydxdy+JJcosxsinjclxdj+JJxydrdj+|cosxsinjcLrdj DIJD2 =1J

11、Jcosxsinjdrdj, 故此题答案选A 如图将D分为4局部Q,2,.3,.4,那么: X 6、正项级数1Z*、2,那么以下说法正确的选项是 /r-l/r-1 A、假设1发散、那么2必发散B、假设2收敛、那么1必收敛 C、假设1发散、那么2不定D、假设1、2敛散性相同 解析：该题考察正项级数的收敛性质,比拟审敛法. 假设正顶级数“收敛,那么攵1一定收敛,由于当足够大时,n-1n-1 .Xx00 由比拟审敛法知：收敛假设正项级数发散,那么攵1的敛散n-1n-1n-l 性不能确定.如%=3与=二.请读者自行验证 3773 故此题答案选C其它选项可以举反例 二、填空题本大题共6小题,每题6分,共

12、24分,请把正确答案的结果添在划线上, 7、HnjUx 1.x-sinx 08 解析：求极限时,先判断极限类型,假设是丫或一型可以直接使用罗比达法那么,其余类型可 0O0 以转化为9或二型.罗比达法那么求极限的好处主要有两方而,一是通过求导降阶,二是通0s 过求导将难求极限的极限形式转变为容易求极限的形式.不过,在求极限时应灵活使用多种方法,特别是无穷小量或是无穷大量阶的比拟,使用等价无穷小或是等价无穷大的目的是将函数转换为基的形式,方便判别阶数. =lim=lim+屋)=2 .DX.1)8、函数/x=Inx在区间I上满足拉格郎日中值定理的J=： 解析：在江苏省“专转本测试中,微分中值定理考察

13、的层次为识记与理解.主要考察罗尔定理与拉格朗日定理的条件与结论,定理的条件是充分的,但不必要.假设遇到证实至少存在 一点g的表达式,特别是带有导数的,一般都是利用罗尔定理构造辅助函数证实. 1 呼 FTlFWErT 即 1, 一尸 2 /.-川=八处1,即:=工e-i 又ra1,所以:V 11, 于是=二1,得4=6-1. 解析：该题考察奇偶函数的定积分在对称区间上的积分性质. o,/X为奇函数 L仆仆=|2心J为偶函数 -1/Tc、7C =2arctanx；=2(-0)= 10、设向量2=3,4,1、4=2,1/：a、/互相垂直,那么&=: 解析：该题考察向量的根本运算一一数量积运算

14、.两向量数量积为对应分量乘积之和,结果是一个数量.两向量垂直的充要条件是数量积为0.平行的充要条件是向量积为0向量或分量对应成比例 由条件aP=3,4,1,2,1,&=6+4女=0,得女=10. rT 11、交换二次积分的次序=: 解析：二重积分问题是很多“专转本同学的难点.首先要理解二重积分的几何意义,特别是对称型简化积分计算. 在直角坐标系下,首先要画出积分区域,然后根据被积函数的特点与区域的形状选择适当的积分顺序. 一IWO i_转化为.：x+/必. 9、 有+1 l-U+x2 fl7TX+1_plnx L1+x2-J-l1+x2 1八1 7=0+27 -1l+x2Jol+x2

15、积分区域 D: 7t11c =-In2 42 17、函数z=/sinx,y2,其中/有二阶连续偏导数,求三、二dxdxdy 解析：该题型是几乎每年必考,需要认真掌握.第一步：变量的关系网络图 H 小.一力一公一力 cost-cost+tsint =T T 弋 其中1,2分别表示sinx,y2 第二步：寻找与x对应的路径(v),计算的过程可以总结为“路中用乘,路间用加 18、求过点A(3,l-2)且通过直线L:=-的平面方程.521 解析：求平面方程,根本方法是使用点法式,求出平而上的一个定点和法向量 平而上的定点A(3,l,2),又直线 ：=1=过点8=4,3,0,其方向向 量法向量1=5,2

16、,1,瓶=1,T.2；故 一ijk n=sxAB=521=8,-9,-22) 1-42 平面点法式方程为：8(x-3)-9(y-l)-22(z+2)=0,即8x-9y-22z=59. 19、把函数/(X)=：r展开为X的靠级数,并写出它的收敛区间.2-x-x* 解析：函数展开成事级数是很多同学在解题时遇到的一个很棘手的问题,大家普遍反映这个很难.此处给予较详细的讲解： 00 函数/(X)展开成卷级数,一种是在x=o展开,展开成形如Z/的事级数. /r-0 还有一种是在X=N)展开,展开成形如Z/(x-Xo)的事级数/|-0 X 其中展开成形如的事级数是最根本的,解题之前,需熟记以下常用展开式

17、/r-0dx d2z dxdy =COSA/；2-2y=2ycosV12 厂XX (1)CX=1+X+H+ 2!3!n OXoO 12)=1+x+x+x+x+一1x1 1-x 将上式中X换成-X,那么上式变为 1 1-(一) =1一X+(-X)2+(r)3+(_幻1+X + dx=ln(l+x)+c,+x 匕I 4个a=ln(l+x)对上式两边积分可得 ln(l+x)的基级数展开式 r2v3r4丫川 (3)ln(l+x)=x+(-)+一vx4 234+1 (4) sinx=x-+(-1)- 3!5!(2/1+1)! 由于(sinx)=cosX,对上式两边关于x求导可到下式 XXY- (5)CO

18、SX=1一一+一一+(-1)-+一 2!4!(2)！ 综上,对于需要熟记的几个常用的初等函数的事级数展开式,如果学得灵活,只需熟记(1)、(2)、(4)即可.其他的可通过积分或是求导的方法得到. 如果以上五个函数需要展开成形如工45-%)的呆级数,只需将式子中的x换成工-%/F-0 例如：=1+(XX.)+(X%0),+(XX.)+(X尤0)+ l-(x-x0) 将函数展开成事级数,首先是将需要展开的函数分解为以上五个函数的形式,然后使用已有的函数展开式. X211X21r21 解法：/(%)=(+)=+ 32+x1-x6tx31-x 1+ 2 V28 =yS D=0 (一1) 2+i +1收敛域为1VXV1.这里用到 =1+X+X-+X,+x+1Xc11-x l-M) =l+(ax)+(o ) +(ax)3+-+( %)+1ax1 关于函数展开成幕级数的几点说明： 1、 函数展开成基级数,首先需要将函数通过分解,拼凑,求导或是积分等手