jz03图书工具书i002待归类漫谈高数版

1、一、高等数学干吗要研究级数问题?请标明本文 CU blog 出处是为了把简单的问题弄复杂来表明的高深? No，是为了把各种简单的问题，他们的求解过程用一种通用的方法来表示。提一个问题，99*99 等于多少? 相信我们傻到列式子去算，口算也太难了而是会做一个迂回的方法， 99*(1001) ， 这样更好算。那995*998 呢? 问题更复杂了， (10005)*(10002)，式子比直接计算要复杂，但是口算却成为了可能。归纳一下，x*y 这样的乘法运算或者幂次运算，如何直接计算很麻烦的话，我们可以用因式分解的方法(中学生都能理解)来求解。但是因式分解仍然不够通用，因为我们总是需要通过观察&quo

2、t;特定"的待求解式子，找到一种规律，然后才能因式分解，这是我们从小学到中学数学方法的全部: 特定问题特定的解答方法。那，到了高等数学，怎办? 研究之四海皆准的，通用的方法。级数的物理意义是什? 就是把g(x)=0 的解，写成曲线的形式看看和 x轴有什交点。例如 f(x)=x2=5 等价于 g(x)=x25=0 和 x 轴的交点。而这个曲线交点可以用直线切线的逼近方法(迭代法)来实现，这就是级数的物理意义: 点+一次切线+2 次切线+.+N 次切线。每次切线公式的常数，就是级数第 N 项的常数。OK，从级数的以看到，为了保证两边相等，且取 N 次导数以后仍然相等，常数系数需要除以 n

3、!，因为 xn 取导数会产生 n!的系数。级数，就是切线逼近法的非跌代的，展开式。公式怎 来的，其实根据逼近法就可以得到从 1 阶一直可以推导到 N 阶。假设f1(x)=f(x)f(a)，由逼近法有 f1(x)=f'(a)(xa)+o(xa)2，所以 f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+o(xa)2同理，假设 f2(x)=f(x)f(a)f'(x)(xa)，两边求导,f2'(x)=f'(x)f'(x)f''(x)(xa)=f''(a)(xa)再求不定f2(x)=(1/2)f''(a)(xa)2+

4、C，C 就是那个高阶无穷小(需要证明)所以 f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+f''(a)(xa)2+o(xa)3 依次类推，最后就有了公式。另一种证明过程干脆就 是先写出 来 g(x)=a0+a1(xa)+a2(xa)2+.+an(xa)n ，然后 从等式序列 ，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),.g'''''(a)=f'''''(a).就得到所有的 a0an 的展示系数了。级数展开函数，能做什？对于特定的 x 取值，可以求它附近的函数。y=x100 展开以

5、后可以求 x=1 附近的 0.9999 的 100 次方等于多少，计算过程和结果不但更直观，而且可以通过舍弃一些高阶项的方法来避免不必要的精度计算，简化了计算，节省了计算时间(如果是计算机计算复杂数字的话)。在图像处理的计算机软件中，经常要用到开方和幂次计算，而 Quake III 的源代码中就对于此类的计算做了优化，采用技术展开和保留基本项的办法，比纯粹的此类运算快了 4 倍以上。还可以做什呢? 对于曲线交点的问题，用求解的办法有时候找不到，太复杂解不出来，那用级数的办法求这个交点，那交点的精度要提高，相当于级数的保留项要增加，而这个过程对应于的迭代过程，曲线交点的精度要求确定的情况下，有了

6、被求出的可能。看到了吧，技术用来求解高问题，是一种通用的方法，而不是像那样一种问题一种解决办法，高等数学之所以成为"高等"，就是它足够抽象，抽象到外延无穷大。那，更感的一个问题是，对于高阶的微分表达的问题，怎求解呢?级数，就要到级数变换变化。这几个工具广泛用于各个领域的数学分析，从信号到数理的求解。中学数学数学最大的区别是什? 中学数学研究的是问题，例如根号 4 等于2。高等数学研究什呢它包含了不问题的求解，例如用一个有限小数位的实数来表示根号 5 的值。我们用级数展开求出的根号 5 的近似值，无论保留多少位小数，它都严格不等于根号 5，但是实际应用已经足够了。不可解的问题

7、，用高等数学的通解办法，可以求出一个有理数的近似解，它可以无限接近于上帝给出的那个无理数的。通解可行性的前提是，我们要证明这种接近的收敛性，所以我们会看到高等数学上册的里面，不厌其烦的，一章接一章，一遍又一遍的讲，一个函数，在某个开区间上，满足某个条件，就能被证明收敛于某种求和式子。初等数学求的是，那如果没有呢? 高等数学可以求近似解。就是切线逼近法的始祖。例如求解一般的 3 次的根，求解公式可以是形式:()。但是问题是根号内的无理数仍然无法表示出来。那逼近法求一个数的N次方根就派上用场了。fm=m(k+1)=m(K)+A/m2.(k)m(k)1/n.n 是，A 被开方数。例如，A=5，5 介

8、于 1 的 3 次方至 2 的 3 次间。我们可以随意代入一个数 m，例如2，那：第一步，2+5/（2×2）2×1/3=1.7;第二步，1.7+5/(1.7×1.7)1.7×1/3=1.71;第三步，1.71+5/(1.71×1.71)1.71×1/3=1.709;每次多取一位数。公式会自动反馈到正确的数值。具体的求解过程：先说说级数：一个，f(x)=0，求解 x，它唯一对应 xf(x)二维图像上的一条曲线。那x 的求解过程可以用逼近法求得(迭代)。例如 x2=5可以看成 f(x)=x25=0 的求曲线和X 轴的交点迭代法可以用来求解

9、线性的近似解。那如何求解非线性呢? f(x)用级数展开，取前 N 项(通常 N=2)，得到一个线性的方程，这个相当于是原来的曲线在求解点附近做了一条切线，其求解过程和迭代法等价。迭代次数越多，越接近非线性。用级数来分解 sin(t)，把一个光滑的函数变成一些列有楞有角的波形的叠加。用级数来分解方波，把有楞有角的波形变成一些光滑曲线的集合。但是级数舍弃项的时候，会产生高频的毛刺(上升下降的边沿，赫里条件不符合)。局部的收敛性不如级数展开因为级数展开有逐项衰减的常数因子。举个例子，用级数求解公式。没有公式，就没有变换，就没有变化，就不能把高阶导数到 e 的倒数上面，也就无法把微分等价为一个限行方程

10、。公式有什用? 它把实数的三角运算变成了复数的旋转运算，把指数运算变成了乘积运算，把纯微分的求解过程变成了指数的求解过程，大大简化了运算。推广一下。怎分析一个函数?怎分析一个几何的相交问题?怎解决一个的问题?初等的方法是根据函数或者图形的几何性质，去凑当然大部分情况是凑不到的，因为能凑到是因为问题/题目给出了一些特殊的数学关系以使得我们恰好能凑到!例如一个圆球在正方体里面，求通过某个顶点的切面或者距离什的，我们可以通过做辅助面求得。但是这个求解太特殊了，对于普通的点，例如切面13x+615y+72z2=0 这样的，初等方法就为力了。说白了初等方法就是在<<自然哲学的数学原理>

11、>提到的几何方法，并没有把微上升到的思想。普通数学分析则提出了的代数运算思想，把具体的问题用通用的方式来求得，而问题的题设只是一种把函数的实际参数带入形式参数的过程，使得问题可以形式化了如果数学问题不能形式化就不能通过状态机来求解，试想，计算机怎会画辅助线呢? 几何图形是有意义的，但是形式求解本身没有意义，它必须把实际的"意义"问题变成代数运算，例如求最大值最小值变成导数=0。电路分析当中的模型是什 ? 就是数学建模。因为电压和电流是可以测量的量，那 我们就要看什 量是不变量/变量，什 量是自变量/因变量。如果电压是不变量，我们认为是理想电压源；如果电流是不变量就是理

12、想电流源，如果电压电流的比例不变就是恒定电阻；如果电压电流乘积不变就是理想功率源。把电路作为一个整体，那电压/电流电压/电流，作为一个黑盒，对外的特性就是电压转移系数，电流转移系数，转移电阻和转移电抗。在物理学的电场分析当中电压/电势是一个矢量，但是到了集总电路分析的领域就成了一个标量。对于复杂问题的分析，好比物理学当中的动量/能量守恒，电路分析是以电流守恒为基础的，于是就有了节电电流法和环路电压法的概念。这些概念的建立都是为了分析的目的而存在的，是分析工具。我们首先得到一个工具，当直接分析很的时候，我们采用逼近的方法来解决因为极限就是我们所求的。正是因为的思想是一种通用的求解方式，爱因斯坦在

13、晚年才会追求 4 大场的统一理论，当然他忽略了这个""的形式系统本身在量子的尺度上失效了，忽略了不确定性和概率的影响，令人惋惜。说的，里面为什有那多种正交展开?级数，级数，级数其实就是因为初等的方法无法精确分析出，那就去寻找一种"不断逼近"的方法来求解。复变函数研究的就是如何用幂级数不断的逼近原函数这个基本命题。是怎想出来的?为什级数，级数，这些展开式都可以写成某个通项公式的和呢? 是不是真理都是简单的美的，就像所设想的一样? 这个观点也许搞反了因果的方向。我们看一下级数是怎 得到的。假设 f(x)=f(a)+f'(x)(xa)+o(xa)2，这

14、个是公式可以推出来的，那 有了一次项以后，如何继续逼近? 方法类似，一次的求g1(x)=f(x)f(a)=f'(x)(xa)，那 可以写出 g2(x)=f(x)f(a)f'(x)(xa)两边对 x 求导再求不定，就得到了 2 阶的级数。依次类推，可以得到 N 阶的级数。由于每一阶的推导过程是"相似"的，所以项数的子项肯定也就具有了某种形式意义上的相似性。说白了，不是因为客观存在某种规律使得函数可以展开有通项公式的幂级数，而是为了把函数展开有通项公式的幂级数再去看每个子项应该等于什，然后为了保证严格再给出收敛以及一致收敛的条件。不是客观存在某种"简单

15、而且美"的真理，而是主体把某种"简单而且美"的形式强加给客观，再看客观在"强加"语境下的特性如何。级数的思想，频率分析的思想，和这个相似，是把我们心中的某个概念赋予外界的实在，按主管意识的想法来拆借外界只有这样，思想才能被理解。当然，实数范围的级数和级数展开的条件仍然比较严格，复变函数引入了对应的级数和变换，通用性强多了。说白了，复变函数就/是函数逼近论。为了解决初等思想没法解决的不可能想明白的问题而引入的高等方法。逼近思想的一个应用就是理解曲率的公式 A=|y''|/sqrt(1+y'2)。画出逼近图形就可以理解了，用

16、两个相似三角形就可以证明这个公式。复 变 函 数 说 白 了 就 是2维 正 交 元 素 组 成 的 数 域 。(1+i)i=exp(iLn(1+i)=exp(iLn|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi)=exp(Pi) (1/4+2k)*(cosln2/2+isinln2/2)，是一个正交的表，它保留了两个的分量，使得 2 维分析变得可能。这样一来，高等数学当中的曲线，的变量不再是 x 和y 而是只剩下了 z，形式上简单多了。假设曲线S1=S(Pdx+Qdy)其中 Q=x22xyy2,P=x2y2+2xy，显然满足公式。然 后 负 数) 。 而S(z2)dz=S(x2+2xyiy2)d

17、(x+yi)=S(x22xy)dx+(y22xy)dyS(x2+2xyiy2)d(x+yi)实部=S(x2y2)dx2xy2dy，虚部=S(2xydx+(x2 y2)dy)，实部和虚部相加就是 S1，也就是说，S 是 S1(曲线和路径无关)的复数形式。我们可以验证 S(z2)dz 沿不同路线从起点到终点的结果。z2=(x2y2)+i2xy，显然满足条件。于是它和实数的公。实际的模型总是难以精确的解释的,所以我们创造一些理想模型去逼近现实。当然，两者相等，但是只要误差在容许的范围之内，我们认为数学的分析就了。这就是一切数学建模的思想。工科电子类的专业课，第一门数学建模的课程就是电路分析。这里传输

18、线的问题被一个等效电路替代了。实际电源被一个理想的电压源加上一个电阻替代了，三级管放大电路的理论模型就是电流的电流源。一切都是为了分析的方便。只要结果足够近似，我们就认为的理论是有效的。出了这个边界，理论就需要修正。理论反映的不是客观实在，而是我们"如何去认识"的水平，理论是一种的存在，当实际情况可以影射到同一种理论的时候，我们说理论上有了一种的"普遍"，就像电路分析和网络流量的拓扑分析有很多共同点。这种普遍不是客体的属性，只和主体的观点有关。说点题外话，对于工科电子类/计算机类的学生来说，我们学习了太多了经过精简压缩贯通的课程，以至于不知道了这些理论原

19、有的面貌。有一种趋势就是把重要的思想性的原理性的东西去掉只留下工程实用性的内容下来。于是工科学生学到的都是""过的科学与技术缺少的学问是无法用来做研究的。下面是课程的对应关系:1. 高等数学(工科)2 个学期<> 数学分析+几何+微分几何(5 个学期)数学系专业课2. 线性代数(工科)1 个学期<> 高等代数(2 个学期)+矩阵论(1 个学期)数学系专业课3. 数理方法(工科)1 个学期<> 常微分+偏微分+算子理论(3 个学期)_数学系专业课4. 离散数学(工科)12 学期<> 形式逻辑+数理逻辑+集合论+近世代数+组合数筹

20、学+拓扑学(N 个学期)_数学系专业课5. 信号系专业课(工科)1 个学期 <> 复变分析+实变分析+分析+理论+._数学没有强大的数学基础，所谓的"科研"，只能是某种一边发明数学一边凑的抓狂，只能是空谈。还是老老实实的做项目，搞软硬件研发，开发市场，做技术支持，写报告，等等。二、，空间和矩阵的关系一. 矩阵和空间的思想我在这里，把线性代数归于高等数学的范畴，因为它的理论适用于很多高等数学求解的领域，例如多项微分它。组的求解，离不开组，有什物理/几何的意义吗? 有，就是一种关系。下图中，左图代表了 2 维到 2 维的一一，注意，Ax=0 只有 0 解代表对于是

21、2 维矩阵 A，0只能被到 1 维的情况，一个线段为0。右图代表 A 不，就到一个点，也就是存在一个""。换个角度，由于线性常常就是线性变换，也就是回本身的集合，所以 AX=B 也可以看成是某种交点的性质。根据之间相交的情况区分，(直线或面交于一点，1 和 2 中的交点)，无穷解(直线平行或面多面共线，这个线就。1 种的红黄色重合线和 3 中的共线)，或者无解(平行或面没有公共交点，1 中的平行线和 4 中的平行交线)。如下图所示。符号系统还有什作用？性代数和微分里面的算子x=(a-1)*b，理论就是符号系统的一种形式。如果 ax=b 有解，那其中|a|=0，我们可以推出对

22、阵组 Ax=B 有确，,那这个是 x=(A-1)*b。这里-1 表示逆矩阵，*表示矩阵相乘，其中|A|!=0。这样的表示是正确的科学的，要做的事情就是看看 A-1 如何表示和得到。|A|不是绝对值而是行列式。A 此时称为可逆矩阵-这个相当于实数运算里面要保证分母!=0。是不是很相似？可逆有什性质：如果对一个矩阵做线性变换，使用一个的矩阵，那做变换的结果，秩不变。要注意，把矩阵当成算子的时候，乘法的交换律不一定成立。秩的加法律和乘法律 r(AB)>=r(A)+r(B),r(A+B)<=r(A)+r(B)。秩的性质类似于开根号。两个性质， (1)A*B=I，那 A 和B 都可逆。(2)

23、B 可逆，A2+AB+B2=0，那求证 A 和 A+B 可逆。证明： A(A+B)=-B2 。 |-B2|=(-1)n*|B|2!=0，所以 A 和 A+B 都可逆。什又是N 阶可逆矩阵呢？A*T(A)=I 的矩阵就是了。推广的说，把分块矩阵的元素可以看作普通的矩阵元素，那线性变换的结果相似，只是 4 则运算的从"1"变成了矩阵"I"。我们从一元得到类似的一元矩阵符号运算。的性质。说白了，代数意义上就是二. 矩阵运算的物理含义，举例如果把矩阵看成一个 2 维坐标系离散值的几何，那1. 矩阵加法 A+B 就是 A 的各个点作平移，平移的度量是 B 当中对应

24、的点。2. 矩阵乘法A*B 就是一种线性：如果 A 是x/y 坐标系，B 是y/z坐标系，那结果就是 x->z 的。举个例子，有 3 个，A 国有三个城市，B 国有三个城市，C 国有两个城市。他们之间的道路状况如下用矩阵表示->B1,B2,B3A1A2 A31,1,1,1,0,1,010->C1,C2;B1 1, 0;B2 1, 1;B3 0, 1那从A 国的每个城市出发经过B 到达 C 的每个城市，各自有多少条线路?就是A*B=(2,1),(1,1),(2,1)3. 我们深入的讨论一下""的概念。举实数为例，y=ax 是一个乘法，每一个 x 对应一个 y

25、。那如果知道y 求x 呢? x=a(-1)*y。这里影射函数 f(x)=ax 和反函数 g(x)=a(-1)x 互逆。那我们推广到 N 维坐标系空间里面就看到，矩阵就是一个 N*N 的坐标系。AX=B，把 B 看成 Y，那造的得到的A 的 1X=A(-1)*Y。前提是 A 的!=0。我们构就是它的行列式。那到底什是?尼茨说f(z)=z，在就是一组 2 元关系。在 1 维的时候表现为函数的形式的时候表现为矩阵的形式。1 维的多次表现为函数的嵌套(g o f)，的情形可以写成矩阵的乘法。当然，限制条件是，矩阵能表示的是一个离散值的集合。当然，方阵才有逆-方阵是维数不变的 N->N 的一一，所

26、以可能有且只有一个反，或者没有反。N->M 的不同维数无法得到反。4. 形式化的定义。我们如果把矩阵看成一个"算子"的话，矩阵的乘法就能看成一个状态机的推演，推算的过程就是一次算子入栈，反推的过程就是算子出栈。那显然就能够理解(AB)T=B(T)*A(T)以及(AB)-1=B(-1)*A(-1)，(AB)* = (B*)*(A*)。我们从伴随矩阵的性质 AA*=|A|E 得到 A(-1)=A*/|A|。矩阵左乘是行变换，右乘是列变换。把矩阵看成算子，同时可以把子矩阵看成算子，分块矩阵的相成和行列式求解也就很简单了。可以把小的矩阵当成一个数来角阵通过初等变换可以变成分块

27、阵。三5. 初等矩阵有 3 种，对应 3 种最基本的矩阵变换，也就是行列互换，行列数乘，一行/列数乘以后加到另一个行/列上面。初等矩阵都可逆。 线性变换的结果是"相抵"的。一个矩阵总是能等于一个初等变换矩阵，并且逆矩阵的属性不变。对于可逆矩阵 A，总有 P1P2P3.PnAQ1Q2.Qn=E。或者说存在可逆矩阵 P/Q 使得 PAQ=E。例如，如果A,B 和 A+B 都可逆，那A(-1)+B(-1)=B(-1)(B+A)A(-1)也是可逆的。6. 于是有了线性空间的概念：线性空间 V 就是一个集合，它同时满足 V 上的元素加法和对于数域 K 上面的乘法满足 8 条线性运算的

28、规则。7. 为什要讨论相似? 这里面包含了一种不变性，是研究变换的数学工具。实数变换可以拆分成复数变换，例如酉矩阵，在晶体学里，酉变换叫做正变换，也就是将空间（可以是任意维的）中一组基矢做一个旋转操作，不改变矢量的大小和内积。而在量子力学里面，这个用处就更大了，本质上就是量子力学所说的表象变换。是连接两个 表象的桥梁。矩阵代表了一种二元关系。函数是一种 1 维的二元关系，那矩阵就是一种N 维的二元关系。矩阵的方法就是一种的运算，之所以成为线形运算，是因为每一个投影都是具有拉伸和整体旋转的几何意义，相当于通过平面镜到一个投影平面上面的结果。这里只有平面镜和投影平面，没有哈哈镜和投影曲面。如果我们

29、把 2 元的对应关系写成复数形式 z=x+yi，那f(z)就是一种投影的关系，只不过 f(z)是直线的时候对应于一个等效的矩阵，f(z)如果不是直线，那就是一种非线性变换。线形变换有许多很好的性质，能够保持信息的数量和结构保持某种程度的不变性，同时使得结果方便理解和处理。还有一个性质，就是性。假设我们要研究 x/y 平面上面的x2-y2=c 和 xy=d 这两个双曲线之间的夹角，怎办? 我们可以用的办法(微分几何)来求出。但是这样当然很麻烦，而且是一题一解(喜欢这样做，但是这种解决方案)，不太符合公理系统和形式化推理的思想。考虑z1=x+yi,z2=y-xi,f(z)=z2费契数列的求解遇到过

30、这样的问题:一个数列a(-1)=1,a(0)=1,a(n+2)=a(n+1)+a(n)求an 的通项公式。用的眼光我们可以观察到，如果an 当n-& gt;无穷的时候，是个等比数列，显然符合递推公式。那我们就可以假设 an=入a(n-1) ， 那由递推公式我们就可以得到: 入2*a(n-1)= 入*a(n-1)+a(n-1)，求得入=(1+根号 5)/2(应为这个比值要>1)，那an=入n*a0。当然这个只是一个近似公式，结果确而且推导的过程不严格。那我们用大学的线形代数来求解。我们考虑修正方案构造一个等比数列， an+Aa(n-1)=B(a(n-1)+A(a(n- 2) ， 化

31、简得到an=(B-A)a(n-1)+Aa(n-2) ， 于是 B-A=1,AB=1 ， 解得 A/B=( 根号5+-1)/2Wiki(，剩下的可以参看一组A3%E5%A5%91%E6%95%B0%E5%88%97)。线形代数有什好处? 就是求解的过程本身可以一直保持变量的形式，可以最后一步才代入实际参数。我们写出一个矩阵形式的递推公式：a(n+1)=1,1a(_n_)=1,11,1a(n-1)=.=1,1na(0)a(_n_)=1,0a(n-1)=1,01,0a(n-2)=.=1,0a(-1)->乘也 就 是 我 们 假 设A=1,1,1,0 那就 有a(n+1),a(n)=An*a0,

32、a(-1)。于是我们可以通过求解 An 来得到通项公式。求出A 的特征值|A-入E|=0->|1-入,1|1,0-入|=入2-入-1=0，两个特征值分别是:入 1=(1+根号 5)/2，入 2=(1-根号5)/2。入 1 对应的特征|1-入 1,1|1,0-入 1|=|入 2,_1|0,-入 1|所以对应的特征: |A-入E|x=0->是(1,-入 2)。而入 2 对应的特征同样的求法得到(1,-入 1)。所以可逆矩阵P=1,1-入 2,-入 1，|P|=(-入 1+入 2)|=-根号 5。它的逆矩阵P(-1)=入 1,1-入 2,-1，除以根号 5。所以 A=P(-1)*B*P,

33、B 是 A 的特征值对角矩阵。所以a(n+1),a(n)=An*a0,a(-1)=P(-1)*Bn*P*a0,a1->a0=a-1=1 时an=(入 1(n+1)-入 2(n+1)/根号 5的当三. 具体的性质和计算1. 对于解分量的法则求解的过程，我们看到 Ax=0 的情况，对应于每个除法式，Xn=Dn/DA，Dn 矩阵中有一个全为 0 的列向量，那解求行列式的过程()结果肯定为 0，所以组至少有个就是0,0,0,.。这验证了我们前面说的，空间直线/面相交于原点的情况。2. 对于行列式除法，如果有分母等于 0 的情况，Ax=b 就“可能“对应于无穷个解。当然，解之间符合一定的数学约束关

34、系(例如 3 维空间中的某个直线)。举个例子，x=1,y=1,x-y=0 这 3 个平面交汇于直线(x=1,y=1)，那|1,0,0 |0,1,0 |1,-1,0|分母行列式些出来就是第三个行是冗余的，它的行列式0。为什说可能无穷个解(去穷个 z)，因为 b 不同，可能还会导致无解。那，我怎，如果有知道有解分母还是无解呢? 那就要求出所有除法式的同为 0 的情况，就是无解，例如 x=1,y=1,x-y=1 这 3 个平面两两相交，但是就是没有公共的部分，就是下面这个矩阵的行列式|1,0,0 |0,1,0 |1,-1,1|显然行列式=0。解法求z 分量的过程，法则提供一个同用的解的方法：我们不再

35、需要通过观察数字拼凑的方式来消元了。当然，直接用法则还是太复杂了。首先，随着维数的升高，计算复杂度指数增加 O(N!)，然后只有求出了所有的行列式才能是否有解，冗余度很高。所以我们需要进一步广义地研究矩阵的特性，矩阵的秩，特征矩阵/值，等等。我们需要从Ax=0 推理到 Ax=b。/3. 例子: 如果有电路如下，一共 5 个电阻，方括号中的是电阻值:|-1-2-|1|-2-1-|那如果电路左端是 1V 电压，电路右端接地，那流经每个电阻的电流是多少?我们可以假设流经每个电阻的电流是 x1,x2,x3,x4,x5(从上到下从左到右分别是 x1,x2,x5,x3,x4),电压有 4 个，电流分配有

36、2个，显然有一个是冗余的，没关系，联立求解就可以了。x1,x2,x3,x4 作为变量:x1+2x2=1 2x3+x4=1 x1+x4+x5=1 2x2+2x3-x5=1 x1-x2-x5=0x3-x4+x5=0120221100010 011101010002-1100-1 0 0 -10 1-1 1->102 0 00 2 1001-1-11110 :1 ->0 :00000-2 0 12 2 0-3 0 00 1-1->122221100000 011 :100000002-1-1110 :0-3 0 00 1-1->少一行1000020202201000-1-1-

37、111 :10 ->0-3 0 00 1-1->122321000 001000002000 1 :-10.5-111.501-1->1222100 0 01000002000-1-111 :1031-16 0->02210000220000010-10-17111 :03 :1-10 6->->02210000220000010-10-27111 :03 :2-20 6->->02210000220000010-10-27111 :-13 :0-30 6->->02210000220000010-10-23111 :-11 :0-3

38、0 0->x5=1/3->x4=1/9->x3=4/9->x2=2/9->x1=5/9验证一下，电压，电流的结果都是正确的。漫谈系列漫谈(一)级数展开 物理意义漫谈(二)，空间和矩阵的物理意义漫谈(三) 什 是线性相关 什 是秩漫谈(四) 特征的物理意义 矩阵分解漫谈(五) 从函数到定，曲线到环路漫谈(六) 芝诺悖论解决了吗漫谈(七) 正交和相关的物理意义漫谈(八) 二次型和几何漫谈(九) 线性代数的本质漫谈(十) 国际象棋的-从数论到代数三、线性相关和秩的物理意义什 是线性相关? 这两个矢量(计算机里面用数组表示)v1 和v2，如果 v2 可以从 v1 的某种乘

39、除运算(幅度拉伸，方向转换)，得到v2+K*v1=0，那我们认为 v2 和v1 线性相关。例如，两个直线，x+2y=0 和 2x+4y=0，他们的系数是(1,2)和(2,4)，显然，他们是同一条直线。也就是说(1,2)和(2,4)是线性相关的。同理，对于 3 维的情况，x=0,y=0,x=y 这 3 个平面相交于Z 轴，我们称这 3 个平面关于Z 轴线性相关，3 个平面的系数之间可以从其中的任意两个得到另外一个(1,0,0)+(0,1,0)=(1,1,0)。说的抽象一点，线性相关就是，对于N 个 m 维v1-vN，存在不全为 0 的一个系数K 使得 v1*k1+v2*k2+v3*k3+.+vN

40、*kN=0。换句话说，其中的某些，可以通过其他，对于其系数的四则运算和组合得到。如果3 个v1,v2,v3 是线性无关的(显然，v1,v2,v3 都不是全 0)，那v1+v2,v2+v3,v1+v3 这三个之间是什关系? 其中的任何一个不能通过其他的两个进行 4 则运算得到，所以仍然是一组线性无关的。用图形来表示线性相关的概念，上图的 3中，中a,b,c是 3 个不共线的，n 是垂直于a/b 所在平面的:(1)线性无关组线性空间，x/y/z空间，a/b/c 如果不共面的话也能空间。空间是有不重叠的"的。(2)a/b/c 虽然不两两垂直，但是保证不共面的情况下，仍然可以对其他做唯一的线

41、性分解(投影)(3)如果 a/b/c 不保证不共面，例如c 在 a/b的平面上，那这个组的秩 R=2，也就是这 3 个能表出某个 2的所有点集，但是 3 位空间中就有了很多点无法用 a/b/c 来线性表出，反映在组上就是无解。(4)axb 得到n，n 和a/b 所在面垂直这个可以理解为 n 是a/b 的正交补空间(高等代数)的一个"代表"(近世代数)。于是如果a/b/c 要能3 维的线性空间，就必须有 c 在n 上面的投影不为 0。此时c 所在的子空间就是a/b的子空间的补。(5)上面所谓的线性运算，也就是对+,*封闭，并且 0 元素的唯一。(6)所谓矩阵A 和 B 相抵，

42、也就是 A/B 之间能用初等变换来互相转化，相当于把一个点集用平面镜经过若干次的反射到另外一个位置。这个点集的拓扑性质保持完全不变。线性是，同坯，具有很好的"运算不变"特性。Ax=b 的解总是不多于 Ax=0 的解。这个很好理解: 例如，Ax=0 如果是对应 3 维组的话，就是 3 个平面在 3的交点。如果不是交与一条线，也不重合，那就交与原点(0,0,0)。好了，对于 Ax=b的情况怎理解呢? 也就是这 3 个平面都做了一定的平移。那如果平移的当，交点和原来一样，只是平移到了(a,b,c)，但是也有可能这 3 个面平移的不正好相交，变成无解了。这个分析的过程对应阵的增广矩

43、阵分析。如果矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，那相当于消元法的过程出现了 0=x(x 非 0)这样的谬，也就是组无解(没有交点)。如果两个秩相等，就相当于解的数量和原来一样。那，怎理解秩，通解和特解呢? 还是拿 3 维平面举例子(3维组)，如果系数矩阵的行列式为 0，说明可以通过消元法去掉至少一个，就像上面说的x=0,y=0,x-y=0 三个平面的情况一样，x=y 可以通过前面两个相减得到。系数矩阵的非相关个数=2，我们称秩(rank)=2。好了，这个组的无数个(整个Z 轴)，写成通解形式就是(x,y,z)=k(0,0,1)，k 是任意实数。如果组是Ax=b 呢，那交点相当于平移到了(a,b,c)

44、， 通解形式就是k(0,0,1)+(a,b,c)，这里(a,b,c)是特解，表示平移的基点。怎求这个特解? 随便代入一个 x 的值 x0，求出 y 和 z 的对应值，但是结果(x0,y0,z0)不等于(a,b,c)，不要紧，k(0,0,1)填补了(x0,y0,z0)和(a,b,c)之间的差。继续推广，前面说的Ax=b 都是齐次线性组，如果A 是非齐次的(m*n)呢，例4 个变量? 那如果r(A)=2，说明只有两个线性无关的矩阵，通解基的个数=max(m,n)-r(A)。这里，通解基个数=4-2=2。所以得到两个的时候，代入(x1,x2)=(1,0),(0,1)两个，求出通解 k1(x0,y0,

45、1,0)+k2(x1,y1,0,1)。当然， (x3,x4)=某个组合，效果一样，因为线性相关性是对称的。最后，求特解，代入一个任意的(x1,x2)组合求出特解(x,y,z,L)。再次推广，Ax=B，B 也是一个矩阵，有解吗? 只要保证r(系数矩阵)=r(增广矩阵)就可以了，也就是保证消元的过程，两边不出现 0=非 0 的悖论。好了，为了说明线性相关，秩，通解之间的关系，我举个例子。这个例子是线性代数的常明题：题目：已知 A 是 m*n 的矩阵，秩 r(A)=m，存在矩阵使得 AB=0 有解，通解矢量个数为n-m。求证，对于任何矢量 a 使得Aa=0，那必然有一个矢量 b 使得a=Bb。怎证明

46、呢? 要求证的东西其实就是，a 可以表示为 B 的列的某种线性组合->也就是求证 a 总是可以由B 的列线性表示。那既然a 是 Ax=0 的一个解，那就要求 B 的列必然是 Ax=0 的通解组成的矩阵，那必然有AB=0 的解的个数=n-r(A)=n-m，符合题设。倒过来写就是证明的过程。求线性组通解的缺点: 求秩的过程依然用到了消元法，没有对应的计算机方法人为观察。而且很多实际应用的情况下，组是没有精确解的，根本求不出秩，为了求得近似解，要引入奇异值分解的方法，而这个方法又引出了：特征矩阵，特征值，特征向量。 什是特征，特征值，矩阵分解1. 特征的数学意义我们先一种线性变化，例如 x,y

47、 坐标系的椭圆可以写为x2/a2+y2/b2=1，那坐标系关于原点做旋转以后，椭圆就要发生变换。我们可以把原坐标系的(x,y)乘以一个矩阵，得到一个新的(x',y')的表示形式，写为算子的形式就是(x,y)*M=(x',y')。这里的矩阵M 代表一种线性变换：拉伸，平移，旋转。那，有没有什样的线性变换 b(b 是一个)，使得变换后的结果，看起来和让(x,y)*b 像是一个数 b 乘以了一个数字 m*b? 换句话说，有没有这样的矢量 b，使得矩阵 A*b 这样的线性变换相当于A 在矢量b 上面的投影 m*b? 如果有，那b 就是 A 的一个特征，m 就是对应的一个

48、特征值。一个矩阵的特征可以有很多个。特征值可以用特征方程求出，特征可以有特征值对应的组通解求出，反过来也一样。例如，设 A 为 3 阶实对称矩阵，a1=(a,-a,1)T 是 Ax=0 的解，a2=(a,1,-a)T 是(A+E)x=0 的解，a2,则常数a=? 因为a1=(a,-a,1)T是 Ax=0 的解,说明 a1=(a,-a,1)T 是 A 的属于 0 的特征，a2=(a,1,-a)T 是(A+E)x=0 的解，说明 a2=(a,1,-a)T 是 A 的属于-1的特征。实对称矩阵属于不同特征值的特征式正交的，所以a2-a-a=0,a2,所以a=0。还是太抽象了，具体的说，求特征的关系，

49、就是把矩阵A所代表的空间，进行正交分解，使得 A 的集合可以表示为每个向量a 在各个特征上面的投影长度。例如 A 是m*n 的矩阵,n>m，那特征就是 m 个(因为秩最大是 m)，n 个行在每个特征E 上面有投影，其特征值v 就是权重。那每个行现在就可以写为Vn=(E1*v1n,E2*v2n.Em*vmn)，矩阵变成了方阵。如果矩阵的秩更小，矩阵的还可以压缩。再: 由于这些投影的大小代表了 A 在特征空间各个分量的投影，那我们可以使用最小 2 乘法，求出投影能量最大的那些分量，而把剩下的分量去掉，这样最大限度地保存了矩阵代表的信息，同时可以大大降低矩阵需要的维度，简称 PCA方法。举个例

50、子，对于 x,y 平面上的一个点(x,y)，我对它作线性变换，(x,y)*1,0;0,-1，分号代表矩阵的换行，那得到的结果就是(x,-y)，这个线性变换相当于关于横轴 x 做镜像。我们可以求出矩阵1,0;0,-1的特征有两个，1,0和0,1，也就是 x 轴和y 轴。什意思呢? 在x 轴上的投影，经过这个线性变换，没有改变。在y轴上的投影，乘以了幅度系数-1，并没有发生旋转。两个特征说明了这个线性变换矩阵对于 x 轴和y 轴这两个正交基是线性不变的。对于其他的线性变换矩阵，我们也可以找到类似的，N 个对称轴，变换后的结果，关于这 N 个对称轴线性不变。这 N 个对称轴就是线性变换A 的N 个特

51、征。这就是特征的物理含义所在。所以，矩阵A 等价于线性变换 A。对于实际应用的矩阵算法中，经常需要阵的逆：当矩阵不是方阵的时候，无解，这是需要用到奇异值分解的办法，也就是A=PSQ，P 和Q 是互逆的矩阵，而S 是一个方阵，然后就可以求出伪逆的值。同时，A=PSQ 可以用来降低 A 的维度，只要P 是一个是瘦长形矩阵，Q 是宽扁型矩阵。对于 A 非常大的情况可以降低量好几个数量级。2. 物理意义特征有什具体的物理意义? 例如一个驻波通过一条绳子，绳子上面的每个点组成一个无穷维的，这个的特征就是特征函数 sin(t)，因为是时变的，就成了特征函数。每个点特征值就是每个点在特定时刻的 sin(x+t)取值。再如，从太空中某个角度看地球自转，虽然每个景物的坐标在不断的变换，但是这种变换关于地球的自传轴有对称性，也就是关于此轴的平移和拉伸的坐标变换不敏感。所以地球自转轴，是地球自转这种空间变换的一个特征向量。的 PageRank，就是对 www关系的修正邻接矩阵的，主要特征的投影分量，给出了页面平分。有什特性呢? AB 和BA 有相