选修2-2：第一章++导数及其应用+单元同步测试(含解析)

1、第一章测试(时间：120分钟，总分值：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给 出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1. 设函数y= f(x)在(a, b)上可导，那么f(x)在(a, b)上为增函数是f (x)>0 的()A .必要不充分条件B. 充分不必要条件C. 充分必要条件D .既不充分也不必要条件解析 y= f(x)在(a, b)上 f (x)>0? y= f(x)在(a, b)上是增函数，反之，y=f(x)在(a, b)上是增函数? ff (x)>0?f (x)>0.答案 A2. 假设曲线y = f(x)在点(xo,

2、f(x。)处的切线方程是2x+ y- 1= 0, 那么()A . f(xo)>OB. f(xo)<OC. ff (x°)= 0D. f (x0)不存在解析 曲线y= f(x)在点(xo, f(x。)处的切线的斜率为f(x°) = 2<0.答案 B153. 曲线y=§x32在点(1, 3)处切线的倾斜角为()A. 30°B. 45°D. 150C. 135解析 科'X, k= tan a= y，|x= 1 = ( 1)2= 1,.a= 45°答案 B4. 曲线f(x) = x3+ x 2的一条切线平行于直线y=

3、4x 1，那么切 点Po的坐标为()A . (0, 1)或(1,0)B. (1,0)或(1, 4)C. ( 1, 4)或(0, 2)D. (1,0)或(2,8)解析 设 P°(xo, yo),那么 f， (xo) 3x2 + 1 4,収2= 1 ,xo 1，或 Xo= 1.卩0的坐标为1,0或一1, 4.答案 B5.以下函数中，在0，+乂上为增函数的是A . y= sin2xC. y= xexB. y = x3 xD. y= x+ln(1 + x)解析 对于 C,有 丫 (xg) ex + xex = ex(x + 1)>0.答案 C)B. tiosxdxoD. Winxdx6

4、. 以下积分值为2的是(A. 5(2x 4)dxoC. 3gdx1解析n>inxdx= cosx0o= COSn+ coso= 2.答案 D7. 函数f(x)在其定义域内可导，y = f(x)的图象如右图所示，那么 导函数y = f (x)的图象为()解析 由y = f(x)的图象知，有两个极值点，贝S y = f' (x)的图象 与x轴应有两个交点，又由增减性知，应选D项.答案 D8. 函数 f(x) = x3 3x2 9x, x (-2,2),那么 f(x)有()A. 极大值5,极小值为27B. 极大值5,极小值为11C. 极大值5,无极小值D .极小值27,无极大值解析 f

5、(x) = 3x2 6x 9=3(x + 1)(x 3).当 x< 1 时，f' (x)>0,当一1<x<3 时，f (x)<0. x= 1是f(x)的极大值点.且极大值为f( 1)= 5,在(2,2)内无极小值.答案 C9. f(x)为三次函数，当x= 1时f(x)有极大值4,当x= 3时f(x)有极小值0,且函数f(x)过原点，那么此函数是()A. f(x) = x3 2x2 + 3xB. f(x) = x3 6x2 + xC. f(x) = x3+ 6x2 + 9xD. f(x) = x3 6x2 + 9x解析 设 f(x) = ax3 + bx2

6、+ cx(az 0),那么 f' (x) = 3ax2 + 2bx + c= 3a(x 1)(x 3)= 3ax2 12ax + 9a.f 1 = a+ b + c=4,由题意得 f 3 = 27a + 9b+ 3c= 0,c= 9a.解得 a= 1, b= 6, c= 9.所以 f(x) = x3 6x2 + 9x.答案 D10. 由抛物线y = x2 x，直线x = 1及x轴围成的图形的面积 为()2A3解析如下列图，阴影局部的面积为 S1 = 0 1(x2 x)dx56.S2 =1(x2- x)dx03X1- 3X1- 21- 6=1O故所求的面积为S= Si + S2= 1.答

7、案 B111. 函数f(x) = ax3 + bx2 + cx在x =处有极值，那么ac+ 2b的值为aB. 0D. 3()A.- 3C. 1解析 f (x) = Bax2 + 2bx + c,11依题意知，3ax ( )2+ 2bx + c= 0,aa即 a+号+c=0，2b+ ac= 3.答案 Aexe212 .设函数 f(x)满足 x2f' (x) + 2xf(x) = , f(2)=，那么 x>0 时,f(x)()A. 有极大值，无极小值B. 有极小值，无极大值C. 既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值e 2f xex 2x2f x解析 由题意知，f (x) =

8、 -3 一 =x令 g(x) = b zvzvzv2x2f(x)，贝S g (x) = -x 2x午(x) 4xf(x) = ex 2x2f' (x) + 2xf(x)=ex 2-x=-x1 2xx由 g (x) = 0,得x = 2当 x = 2时，g(x)有极小值 g(2) = e2 2X 22f(2)=e2 8吕=0.二g(x) >0.当 x>0 时，f f (x) =gxxr>0,故 f(x)在(0,+乂)上单调递增， f(x)既无极大值也无极小值.答案 D二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.函数f(x)在R上可导，且

9、ff (0) = 2.? x, y R，假设函数f(x+ y) = f(x)f(y)成立，那么 f(0) =.解析 令 y = 0,那么有 f(x) = f(x)f(0).f (0) = 2,f(x)不恒为 0,f(0) = 1.答案1广zsinoo X gr/ dx14.乙解析2-hi_二(1 -“uh 二(工 - sill a )o2oCl答案n 1115. 假设函数 f(x) = 3x3 f (1) + 2x + 5,那么 f (2) =解析 f f (x) = x2 2f (1)x + 2, f (1)= 1 2f (1) + 2. f (1)= 1. f (x) = x2 2x +

10、2. f (2) = 22 2X 2+ 2= 2.答案 216. 一物体以初速度v = 9.8t + /秒的速度自由落下，且下落后第 二个4 s内经过的路程是.解析 8(9.8t + 6.5)d2 + 6.5t)84xxxx 4=313.6+ 52- 78.4 26=261.2.答案三、解答题(本大题共6个小题，共70分.解容许写出文字说明、 证明过程或演算步骤)117. (10分)函数f(x) = §x3 4x+ m在区间(一x，+x)上有 极大值晋.(1) 求实数m的值；(2) 求函数f(x)在区间(一x,+x )的极小值.解 f' (x) = x2 4= (x+ 2)(

11、x 2).令 f' (x) = 0,得 x = 2, 或 x = 2.故f(x)的增区间( x, 2)和(2,+x ),减区间为(一2,2).(1) 当x = 2, f(x)取得极大值，故 f( 2)= 3 +8+ m = 28，m= 4.1(2) 由(1)得 f(x) = 3X3 4x+ 4,4又当x = 2时，f(x)有极小值f(2) = 3.18. (12分)用总长为的钢条制成一个长方体容器的框架，如果所 制的容器的底面的长比宽多，那么高为多少时容器的容器最大？并求 出它的最大容积.解 设容器底面宽为x m,那么长为(x+ 0.5)m,高为(3.2-2x)m.t 3.2 2x&g

12、t;0,由解得0vxv1.6,x>0,设容器的容积为y m3,那么有y = x(x + 0.5)(3.2 2x) = 2x32 + 1.6x,y '= 6x2 + 4.4x + 1.6,令 y'= 0,即一6x2 + 4.4x + 1.6= 0,4解得x= 1,或x = 15(舍去).T在定义域(0,1.6)内只有一个点x= 1使y '= 0,且x = 1是极大 值点，当x= 1时，y取得最大值为1.8.此时容器的高为3.2 2= 1.2 m.因此，容器高为1.2 m时容器的容积最大，最大容积为1.8 m3.19. (12 分)设函数 f(x) = 2x3 3(a

13、 + 1)x2 + 6ax(a R).(1) 当a= 1时，求证：f(x)为R上的单调递增函数；(2) 当x 1,3时，假设f(x)的最小值为4,求实数a的值.解 (1)证明：当 a= 1 时，f(x) = 2x3 6x2+ 6x,那么 f (x) = 6x2 12x + 6= 6(x 1)2 >0, f(x)为R上的单调增函数.(2)f' (x) = 6x2 6(a + 1)x + 6a = 6(x 1)(x a). 当a< 1时，f(x)在区间1,3上是单调增函数，此时在1,3上的 最小值为f(1)= 3a 1,5二 3a 1 = 4,二 a=空>1(舍去); 当

14、1<a<3时，f(x)在(1,a)上是减函数，在区间(a,3)上是增函数， 故在1,3上的最小值为 f(a) = 2a3 3(a + 1)a2 + 6a2= 4.化简得(a + 1)(a 2)2 = 0,二 a= 1<1(舍去)，或 a= 2; 当a>3时，f(x)在区间(1, a)上是减函数，故f(3)为最小值， 54 27(a + 1) + 18a= 4,22解得a=©<3(舍去).综上可知，a= 2.20. (12 分)设函数 f(x) = lx3 + bx2 + cx+ d(a>0)，且方程 f (x) 9x = 0的两根分别为1,4.(1

15、)当a = 3,且曲线y= f(x)过原点时，求f(x)的解析式； 假设f(x)在( = ,+=)内无极值点，求a的取值范围.解 由 f(x) = |x3 + bx2 + cx+d,得f (x)= ax2 + 2bx + c,v F (x) 9x= ax2 + 2bx + c 9x= 0 的两根 分别为1,4,a + 2b+ c 9 = 0, (*)16a + 8b + c 36= 0,(1)当a = 3时，由(*)得2b+ c 6= 0,8b+c+ 12 = 0,解得 b= 3, c= 12.又曲线y=f(x)过原点， d = 0.故 f(x) = x3 3x2 + 12x.a由于 a>

16、;0,所以 “ f(x) = 3X3+ bx2+cx+ d 在( x,+x )内无极值点，等价于“ f(x)= ax2 + 2bx + c>0在( x,+x )内恒成 立 .由(*)式得 2b= 9 5a, c= 4a.又 A= (2b)2 4ac= 9(a 1)(a 9),a>0,= 9 a 1a 9 <0,得 a 1,9,即a的取值范围是1,9.21. (12分)函数f(x)= ax3 + bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+ 9y= 0垂直.(1)求实数a, b的值；假设函数f(x)在区间m, m+ 1上单调递增，求m的取值范围. 解(1)

17、v f(x) = ax3 + bx2 的图象经过点 M(1,4),a+ b = 4.又 f (x) = 3ax2 + 2bx,那么1f (1) = 3a+2b,由条件 f (1)( 9) = 1,得 3a + 2b = 9.由，解得a= 1, b= 3.(2)f(x) = x3 + 3x2, f (x) = 3x2 + 6x,令 f (x) = 3x2+ 6x>0,得 x>0, 或 x< 2, 假设函数f(x)在区间m, m+ 1上单调递增，那么m, m+ 1?(汽一2 U 0，+x ),m>0,或 m+ 1< 2,即卩 m?0,或 mW 3, m 的取值范围是(一 = ,3U 0,+乂 ).22. (12 分)函数 f(x)= (x+ 1)lnx x+ 1.(1)假设xf (x)< x2 + ax+1,求a的取值范围；(2)证明：(x 1)f(x) > 0.x+11解 (1)f (x) = +lnx 1 = lnx+ x，xf (x) = xlnx+ 1,题设 xf (x)<x2 + ax + 1 等价于 Inx x<a.1令 g(x) = Inx x，贝卩 g (x) = - 1.当 0<x<1 时，g (x)>0;当 x&g