行列式计算方法归纳总结

1、数学与统计学学院中期报告学院;专业;年级;_题目;学生姓名;学号指导教师姓名职称;年月日1引言12行列式性质23行列式计算方法63.1 定义法63.2 递推法93.3 化三角法93.4 拆元法113.5 .4加边法123.6 数学归结法133.7 降价法153.8 利用普拉斯定理163.9 利用范德蒙行列式参考文献错误！未定义书签。8行列式的概念及应用摘要：本文先列举行列式计算相关性质，然后归纳总结出行列式的方法，包括：定义法，化三角法，递推法，拆元法，加边法，数学归结法，降价法，利用拉普拉斯定理，利用范德蒙行列式。关键词：行列式；线性方程组；范德蒙行列式Theconceptandapplic

2、ationofdeterminantSummaryThisarticlelistscalculatedpropertiesofdeterminants,andthensumupthedeterminantmethod,including:Definition,triangulation,recursivemethod,removemethod,borderedby,mathematicalresolutionmethod,cutmethod,usingLaplacetheorem,usingthevandermondedeterminant.Keywords:determinant;Linea

3、requations;Vandermondedeterminant1引言行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪，最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德莱布尼茨各自独立得出，时间大致相同。日本数学家关孝和提出来的，他在1683年写了一部名为解伏题之法的著作，意思是“解行列式问题的方法”，书中对行列式的概念和它的展开已经有了清楚的叙述。欧洲第一个提出行列式概念的是德国数学家，微积分学奠基人之一莱布尼茨。十八世纪开始，行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后，行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现，行

4、列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用，出现了线性自同态和向量组的行列式的定义。1行列式的性质8 性质1把行列式各行变为相应的列，所得行列式与原行列式相等。a11a12anana21an1即：a21*a229a2na=a12*a229an2an1an2annana2nann其实，元素aij在(1)的右端位于第j行第i歹U,即此时i是列指标，j为行指标。在行列式中，行与列的地位是对称的，所以有关行的性质，对列也成立。8 性质2如果行列式中一行为零，那么行列式为零。a11a2a1na鼻鼻因为kai1砥2kain=kanAika2A2+*kanAn=Qn1an2anna11a2a1nmm*k(a

5、i1Ai1+ai2A21'inAin)=k2,12,2Binan1an2ann即当k=0时，就有行列式为零。1.3性质3如果行列式的某一行（或一列的元都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项作成相应行（或列）而其余行（或列定变的两个行列式的和ana12aina鼻鼻bl+Clb2+C2bn+Cna鼻鼻anian2ann=biCiAilb2c2Ai2bnCnAin:blAlb2A2bnAnCiAiC2A2CnAinaiiai2ainaaabib2bnmmaanianiannaiiai2ainaaaCiC2Cnmmaanian2ann性质4如果行列式中有两行相同，那么行列式为零，所

6、谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。证明：设行列式aiiai2ain-m，-aiiai2-akiak2-ain='_ijijijkj,，Jijakn-naijiaijakjkanjanian2ann中第i行与第k行相同，即aj二awj“z为了证明（2）为零，只须证明（2）的右端所出现的项全能两两相消就行了。事实上，与项jijijkjn一1a1jiaijiakjkanjn同时出现的还有jjjjMJiJiJkJnj.八a)akakjianj”。比较这两项，由（3）有aiji-akji'aijk-akjk也就是说，这两项有相同的数值。但是排列jijijkjn与jijkjijnn级排

7、列可以按上述相差一个对换，因而有相反的奇偶性，所以这两项的符号相反。易知，全部形式两两配对。因之，在（2）的右端，对于每一项都有一数值相同但符号相反的项与之成对出现,从而行列式为零。性质5如果行列式中两行成比例，那么行列式为零证明anai2aiiai2aakaiik2anian22,第二步根据性质4.ainaainaainann这里第一步根据性质性质6把一行的倍数加到另一行，行列式不变aiiaai2a1naaiiaai2aa1ncakicak2caknaiiai2ain9-99+akiaak2aaknaakiaak2aakn*anian2annanian2annaiia12aaaiipa”ai

8、2cak2aaa”a><2aaanian2ain.aiiaa；2An十Cakn.=aiiaaakn.akiaak2annanian2ainainaknann这里，第一步根据性质根据性质6即得3,第二步根据性质5.i.7证明性质对换行列式中两行的位置，行列式反号。.RBahaiia12ainaaiia12ainaaaaiiai2ainaiaki292ain+aknaa鼻=aakiak2aknakiak2aknaa鼻aanian2annanian2annaiiai2ainaaaaii*ai2ainia_+*=aaakiai2ak2aaaaaki*ak2akniaaii-ai2ainmm

9、m一a”_ai2_aanian2annanian2anninaii/anaaaakiak2aknaaa=_a-ai2ainaaaanian2ann这里，第一步是把第k行加到第i行，第二步是把第i行的(-1)倍加到第k行，第三步是把第k行加到第i行，最后再把第k行的公因子(-1龊出。2.行列式的计算方法定义法在引进行列式的定义之前,为了更加容易的理解行列式的定义，首先介绍排列和逆序的概念.n级排列：由1,2.3,n组成的一个有序数组称为一个n级排列(2)在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即：前面的数大于后面的数那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数称为这个排列的逆序数(3)

10、逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.在做好这些工作之后，来引入行列式的定义：ana12a13a1na21a22a23a2n定义:n阶行列式a31*a32*a33*a3naan1an2an3ann等于所后取自小同行小同列的n个兀素的乘积<I>a1La?j2a3hanjn的代数和，这里jjjj为1,2,3,n的一个排列，每一项H,237n都按下列规则带有符号，当j1，j2,j3,jn是偶排列时，口带有正号，当j1,j2,j3,jn是奇排列时,n带有负号.a11a12a13a14a15a21a22a23a24a25例2.1证明D=a31a32000=0.a41a4

11、2000a51a52000分析观察行列式我们会发现有许多零，故直接用定义法证明由行列式的定义知除去符号差别外行列式一般项可表示为a1jia2j/-aj则(jlj2j5)Dn=£(-1)4送2上2a*.(3)j1j2-j5其中11；/5为1,2,3,4,5的任意排列，在D中位于后三行后三列的元素为零，而在前两行前两列中，取不同行不同列的元素只有四个，就是说(3)式中每一项至少有一个来自后三行后三列故D=0.注意此方法适用于阶数较低的行列式或行列式中零的个数较多2.2递推法无论是初等数学，还是高等数学，递推公式都有着非常广泛的运用。适用递推法计算行列式的行列式有以下规律：按照行列式的某一

12、行(列)展开，会产生阶数比原行列式低但却与原行列式有着相同类型的新的行列式，运用递推法逐层降阶，最终将计算出原行列式的值。运用递推法求解行列式，一般会用到两个公式。n1i若Dn=PDn时则Dn=PD1n-1n-1右Dn=ADnJAzDn时，则Dn=At1A2t2(其中A1,4为待定系数)i的计算过程显然易见，而ii中却出现了两个未知数，t1,t2,这两个未知数可以通过2-xA1xA2=0的两根来确定。例2.2求行列式的值:a+尸1a,a+§00001a+fi.oIlIIIIlA000£2+£(4)斗的构造是：主对角线元全为1+E；主对角线上方第一条次对角线的元全为

13、口,下方第条次对角线的元全为1,其余元全为0;即为三对角线型。又右下角的（n）表示行列式为n阶。另一项是（值+灼-4展开，有两项，一项是0a+邱01d+A矽001a+P0*IlII!lBiftA000a+产解把类似于耳，但为k阶的三对角线型行列式记为瓦。把（4）的行列式按第57上面的行列式再按第一行展开，得磔乘一个n-2阶行列式，这个n-2阶行列式和原行列式的构造相同，于是有递推关系:4二（2+仍。21-哂M移项，提取公因子3：4-=AA-i-喇-2）类似地：At一二产（4厂更如）旦-必口=£（0厂也J1）a-"H一1二6（乌T-也。）二二野"（2-吗）（递推计算

14、）直接计算£)j=a+fl£t+1初一=夕（值+口一*a（a+同=r口二°，便不二£*；否则，除以q"后移项:再一次用递推计算:p-a当3=%从当舁a(6)=1+1+1(«+1项)=犀+1从而a=®+i）仪。a由（6）式，若伊1=0且户Ha则&=J=疔当月二a注递推式（5）通常称为常系数齐次二阶线性差分方程注1仿照例1的讨论，三对角线型的n阶行列式2aa20012a0E*=012a-0f0p电电2aa00a2aa00a2a0:1illrliill'll0002a有相同的递推关系式和三对角线型行列式的起始值片和

15、及，质和玛相同，递推关系式（8）和（9）的构造也相同，故必有%=，上=12/由（7）式，耳的每一行都能提出一个因子a,故匕等于仪”乘一个n阶行列式，这一个行列式D£）w-L1就是例1的心。前面算出,故用嗝二（得+1）小化三角形法运用行列式的性质是计算行列式的一个重要途径，大多数行列式的计算都依赖于行列式的性质将行列式化成上三角（下三角或反三角）的形式，再根据行列式的定义来计算行列式.行列式的性质告诉了我们该如何求行列式，而一切的行列式都可以根据以上性质来进行初等行变换（列变换）,变成阶梯形（上三角）的行列式，再根据定义计算即可.其计算步骤可归纳如下：（i）看行列式的行和（列和），如果

16、行列和相等，则均加到某一列（行）【直观上加到第一列（行）】.（ii）有公因子的提出公因子.（iii）进行初等行变换（列变换）化成上三角（下三角或反三角）的行列式.（iv）由行列式的定义进行计算.由以上四步，计算一般行列式都简洁多了.123n-1n234n1例2.3计算行列式Dn=34512n12n-2n-1，位于同一行的元素分析直接用化三角形法化简很烦，观察发现对于任意相邻两列中的元素中，后面元素与前面元素相差1,因此先从第n-1列乘-1加到第n列，第n-2列乘-1加到第n-1歹U,这样做下去直到第1列乘-1加到第2歹U,然后再计算就显得容易123234解Dn=345999n12n-1n111

17、11n121111一n12=3111一n1-aa-9-一-n2n-1n1-n111111111+2+n00001000-n100011200-n0=200-n0a-an-a-一a-a-n-1-n000n-1-n00001n(n-1)n2000-n00-n000-n0001n(n力n2(n(nN)(-1)(n1)n(n4)n12n(-1)2问题推广在仞2.3中1,2，n,这n个数我们可以看成有限个等差数列在循环，那么对于一般的等差数列也应该适应计算行列式a1a1da12da1(n-1)da1nda1da12da13da1nda1a12da13da14da1a1d如果将例ai(n-1)da1a1d

18、a12da1(n-1)da1d2d(n-1)da1=(a1ai(1-n)d(1-n)dd(1-n)d一nd0d+十+nd(n-1)d2d(n-1)d-nd-nd-ndd(n-1)d)(-nd)n4(-1)nn1n(a1al(n-1)d)2.3中的数&=1,-nd(n)(nW)2(n4)(n2)(-nd)n4(-1)2,1d=1代入=_(n-ndn(a1a1(n-1)d2(n)(n-)(nd)n(1)2结论显然成立.拆元法把n行（或列）的数拆成两数之和，再利用行列式的性质将原行列式写成易于计算的2n个行列式的和，从而求出其值。=/（工+白）超一1+（左一x(x+a)Q+*”(升犷+(7-

19、/)/x(xa)(I-n)A=+(/-0=小.”十心-=】口+定（厘）”（x+a）-（x-a）2.加边法计算行列式往往采用降阶的办法，但在一些特殊的行列式的计算上却要采用加边法。行列式的加边法是为了将行列式降阶作准备的。更有利于将行列式化成上三角的形式，其加边的元素，也可根据计算的难易程度来确定。具有随意性。利用行列式按行（列）展开的性质把n阶行列式通过加行（列）变成与之相等的n+1阶行列式,然后计算.添加行列式的四种方法:设Dn=a11a21aa12a22-ana2n.(1)首行首列Dn=aiia21an1al1a12a22san2a12an1Oaan21a1n0a2n-:=0mann00a

20、1na11anna1a21an10aa2anai2即a22a2n*man2ann)0112a13a1(2)首行末列Dn=a21an1a11a21a225an2a12a22-a2n=a21-annan1a1a1na2a2na22a23a2mmaan2an3Hna11a2a1na21a22a2n(3)末行首次JDn=an1a11san2队-=a3iann1a11a1na21a31a32a3naai000a12"3a1a22a23a2(4)末行末列Dn=a21an1a225an2-a2n=a31aann0a32a33a3aam001例2.5计算行列式彳+4冬冬文，人工+与%0="

21、于。)VVVVV用电%才+冬分析：这个行列式的特点是除对角线外，各列元素分别相同.根据这一特点，可采用加边法解111c71+牝+,+&MMW-L/、1+KX+X(a+%)X数学归结法,通常用不完全归纳法寻找行数学归纳法有两种一种是不完全归纳法，另一种是完全归纳法列式的猜想，再用数学归纳法证明猜想的正确性.基本方法先计算n=1,2,3时行列式的值.观察DiRR的值猜想出Dn的值.用数学归纳法证明.例2.6计算行列式x+y砂000初002二0工+1y0*0000-工十yxy000-1工+r解：0i=工+y口=/+/,+初工+/猜测：证明+户+/+J*(1)n5=1,2,3时，x+y仍1X+

22、J01-0000命题成立。假设nWk-1时,。0xy00x+j00!«>0x+yxy01x+y190001+y00=任+加卜1一寸AA««*00x+y孙00-1兀+=C；+了）口口了口4，考察n=k的情形:+工修7+产+/y+x产+yiDk=。+）%-，y%=。+用（产+尸y+x产+产f（齐+产y+产3+产）=xkxy-+xy1+yk故命题对一切自然数n成立。降阶法n阶行列式等于它的任意一行（歹U）各元素与其对应的代数余子式乘积的和.即nnD=£aijAj（i=1,2,，n）或D=£a°Aj（j=1,2,，n）.j1i1行列式按

23、一行（列）展开将高阶转化为若干低阶行列式计算方法称为降阶法.这是一种计算行列式的常用方法.13013014例2.7计算D=.1121-9-9注意对于一般的n阶行列式若直接用降阶法计算量会大大加重.因此必须先利用行列式的性质将行列式的某一行（列）化为只含有一个非零元素，然后再按此行（列）展开，如此进行下去直到二阶.利用拉普拉斯定理在利用行列式的一行（列）展开式时，我们可以发现计算行列式可以按某一行（歹U）展开，进行计算行列式.试想，我们可以根据行列式的某一个K级字式展开吗？拉普拉斯经过对行列式的研究.终于发现此种方法可行，并给出了严密的证明，为了使行列式的计算更为简洁，现引入拉普拉斯定理.拉普拉

24、斯定理：设在行列式D中任意取定了k（1<k<n-1件行，由这k行元素所组成的一切K级字式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.拉普拉斯定理的四种特殊情形:3)Ann0CmnBmm0AnnBCmmJmn=AnnBmm=(-武AnnB0mm2)An0CB,nmmmC7nmBmmAnn0=Ain'Bmm=(-1猥”Bmm例2.8计算n阶行列式Dn二b一：b一：aPPaa利用拉普拉斯定理009,pl(n_2)x(n_2)111X1X2X3222X1X2X3n-1n4n-1X1X2X3n-1n-1(an+1)(an+2)(a-n+1)n4(a-n+2)n4例2.9计算n阶行列式Dn=：an+1a-n+2(a-1(a-1尸a-11n-1anlaaa1-(i=2,n_1)baa-PppDn0P-aot00/小十一A-m-m0000支-paaaaXb(n-1)aa+(n-2)PaPapaBC2+Ci00a-P00