考点12平面向量的线性表示(解析版)

1、考点12平面向量的线性表示【知识框图】【自主热身,归纳总结】1、2021无锡期末在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC三一4ab,a-5a-3b,其中,a,b是不共线的向量,那么四边形ABCD的形状是.【答案】.梯形【解析】、由于AD=AB+BCCD口a+2b+-4a-b+-5a+-3b=-8a-2b所以,M2BC即AD/BC且|Aqw|Bq,所以,四边形ABCLg梯形.2、2021年苏州期末设e与e2是两个不共线向量,uuuuuuuunAB3e12e,CBkee?,CD3G2ke,假设A,B,D三点共线,那么k.【答案】.：k94uutruuuruuuiuumur【解析】、BDCDCB(3

2、k)e(2k1疫,设ABBD.贝3(3k)且2(2k1),解3、2021徐州期末uuu在ABCt,假设点D,E,F依次是边AB上的四等分点,设CBume,CAe2,lunCF【解析】、e24、2021年南通一模如图,在ABC中,D,E分别为边BC,AC的中点.F为边AB上uuu用e,e表小cf,那么uuuuuuuuvuuv3uuvuuuvuuvuuu/在ABC中,ABACCBe弓,AF31e1e2=e1+e2.44AB,所以CFCAAF4uuuuuiruuiruuruuu的点,且AB3AF,假设ADxAFyAE,y的值为52uur【解析】、：由于D为BC的中点,所以AD1UUUAB2UurAC

3、1UJJ13AF2ULUI2AE3ULiruur-AFAE,故235-,y1,xy-o225.2021泰州期中如图,uiu平面内有三个向量OA,uuuOBUJirOC,UUUULJU其中OA与OB的夹角为120,ULUIUUUOA与OC的夹角为30,uuuuuu3uuu且|OA|2,|OB|2,|OC|UJirOCUUUOAJJIUOB(,R),那么【答案】=2,IUJU【解析】、设与OA,OB同方向的单位向量分别为uur3OB=b,24.3uuir1uultuultAFAD,AK2UJITAC,那么的值为UUU,、口工+»UUITUIU依题,苴、有OC=4a2b,又OA=2a,UL

4、UTJJJJ4叫贝UOC=2OA-OB,所以二2,36、2021年苏北四市联考如图,一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB,AD分别交于E,FUUU2uuir两点,且父其对角线于K,其中,AE2AB,52【解析】、由于点F,K,E共线,故可设AKmAEuuur(1m)AF2ulu1muutrmABAD52uiuruuiruuuuLur又AKAC(ABAD),所以2m,解得52【问题探究,变式练习】题型一向量的共线定理与平面向量的线性运算知识点拨：注意平行四边形法那么和三角形法那么的灵活运用例1、(2021南京学情调研)设向量a=(1,4),b=(1,x),c=a+3b.假设a/c,那么实数x

5、的值是【答案】4【解析】、由于a=(1,-4),b=(1,x),c=a+3b=(-2,-4+3x),又a/c,所以一4+3x8=0,解得x=4.【变式1】、(2021南京学情调研)向量a=(1,2),b=(m,4),且a/(2a+b),那么实数m的值为.【答案】2解法1由题意得a=(1,2),2a+b=(2+m,8),由于a/(2a+b),所以1X8(2+m)X2=0,故m=2.解法2由于a/(2a+b),所以存在实数入,使得入a=2a+b,即(入一2)a=b,所以(入一2,2入-4)=(m,4),所以入一2=m且2入-4=4,得入=4,m=2.解法3由于a/(2a+b),所以a/b,所以4=

6、2m即2.【变式2】、(2021苏州暑假测试)设x,yCR,向量a=(x,1),b=(2,y),且a+2b=(5,3),那么x+y=.【答案】1x+4=5、解得【解析】、由题意得a+2b=(x+4,1+2y)=(5,-3),所以1+2y;3,x=1,y=-2,所以x+y=1.【变式3】、点C,D,E是线段AB的四等分点,O为直线AB外的任意一点,假设ULLTUULTUlUUlIDUlIDOCODOEm(OAOB),那么实数m的值为2LUUTUULTUUTUUUUUUULUTUHT3【解析】、由于OCODOEm(OAOB),所以3OD2mODm-.2【关联1】、(2021南京、盐城、徐州二模)O

7、为4ABC的外心,假设50AULUTUULT12OB13OC0,那么C=4【解析】、：由等式得5OA12OB13OC,平方得25144120OAOB169,故OAOB0,得AOB,假设C为锐角,那么50A12OB与OC反向,与条件矛盾,故C2为钝角,从而C.4误点警示：假设C为锐角,那么AOB与C分别是同弧所对的圆心角与圆周角,止匕时1AOB=2C;假设C为钝角,由AOB与C的关系是1AOBC,因此,必须对C2进行分类讨论.此题从条件50A12OB13OC判断知,C必为钝角.【关联2、在4ABC中,/C=45°,.是ABC勺外心,假设OC=mOAnOBm,nR),那么m+n的取值范围

8、是.【答案】啦,1)思路分析此题中三点在圆O上是一个关键条件,可以建立坐标系求出mn的关系式,再利用三角换元求解,也可以对向量等式两边平方后得到m,n的关系式,再利用线性规划求解.,Ob=mOAnOB所以C在优弧AB上.九一一.一一一由于C=7,.是AABC外心,所以/A.乐90建立如下图的平面直角坐标系,不妨设半径为1,那么A(0,1),B(1,0)、一九_设C(cos0,sin0)0,2冗代入Oc=mOA+nOB,可得n=cos0,m=sin0,即m+n=cos8+sin8=冗sin0+7-又8+"46Y,94-,所以m+n2,1).解后反思此题易错在没有注意点C在优弧AB上,错

9、误的认为点C在整个圆上.此题是典型的二元函数的值域问题,解题方法比拟多,可以用根本不等式、线性规划、三角换元,但由于点C在圆弧上,最好的方法建立坐标系,利用三角函数求解,定义域的寻找也较为简单.题型二平面向量的根本定理的应用知识点拨：运用平面向量根本定理表示向量的本质就是利用平行四边形法那么或三角形法那么进行向量的加法和减法数乘.要特别注意用基底表示向量有时要借助于几何性质,如平行和相例2、(2021苏北四市、苏中三市三调)UULTUULTULM如图,正K边形ABCDEF中,假设ADACAER),那么的值为【解析】、：建系(坐标法)如图设六边形边长为2,A(0,0),B(2,0),C(3j3)

10、,D(2,2j3),E(0,2>/3)rUUTUJLTUUT由ADACAE得：2,273=3,褥0,2.3,2=32323=3+23【变式1】、(2021泰州期末)点P为平行四边形ABC所在平面上一点,且满足PA+pB+2m0,入前p丽Pt>0,那么入.思路分析由于题中出现了四个向量,因此可以考虑消去PCEPD,再根据平面向量基本定理,即可求得人和小的值.解法1(转化法)如图,由于PA+PB+2PH0,所以前PB+2(PC+CD=0,即PA+PB+2(PC+BA)=0,即暗丽2(PC+PA-PB)=0,所以,3PA-PB+2陷0,即3pA-Pb+pC>0,所以入=2,以=-2

11、,x1=1>1>>>>>1>解法2基底法由于2PA+2PB+P又0,入PA+nPB+PO0,两式相减得入2PA+-1PB+DC>入1PA+-1pB+pB-pA=0,所以入一2=1,小一=1,入仙="2解法3(几何法)取AB中点E,那么P甘品2P三-2PE4所以心由即P为DE中点,延长CP交BA延长线于点F,易知：A,E为BF的三等分点,且P为CF中点.由pA=gPB3彦=33脸得2pA-2PBPC°,所以入n=-4.解后反思此题考查了平面向量根本定理,也就是平面向量分解的唯一性定理,解法1,把PD!其他三个向量来表示,根据平面

12、向量的根本定理得到人和小的值；解法2,两式相减,同时消去了比pD转化为以pXpB的基向量的方程；解法3,通过构造三角形,根据向量的线性运算,找到PA,PB,PC这三个向量的关系式,以上三种解法都可以称为基底法,此外此题可以将平行四边形特殊化为矩形或正方形,通过坐标法来处理.【变式2】、在AB/,A五2,AG=3,角A的平分线与AB边上的中线交于点0,假设A»xAfe+yAC(x,yCR),那么x+y的值为.【答案】.5o解析：如图,在ABC中,AD为/BAC的平分线,CE为AB边的中线,且ADACE=0在AAEO一AEEO一ACCO中,由正弦止理行$小/aoEsin/EAO在aAC时

13、,由正弓止理行sin/AOCTsin/CAO两式相除得AE=或由于AE=1A五1,AG=3,所以黑1.所以®3先即AO-AC=3(AE-ACOC2OC3aO),即4M3心殖所以4M3丽+殖从而M3丽+1殖由于MxAfe+yAC,所以x38'1,5y=4,于是x+y=8.EO1、,一,、-AEEO-,课本探源此题的难点是关系的建立,借助于正弦止理,可以证实乔=加头际上,OC3ACOCABBDACTDC必修5P54例5已经证实了此结论,假设能够想到这一点,理顺此题的解题思路就容易多了：在ABC中,AD是/BAC的平分线,用正弦定理证实:【变式3】、如图,在平行四边形ABC叶,A.

14、BD相交于点O,E为线段AO的中点,假设必入瓯以曲入,pCR,那么入+仙=【答案】解析：由于O,E分别是ACAO的中点,所以心瓯母三瓯4M瓯4瞅段=淞1=_3+4也又血入bA+小血入bA+仙阻S=入+仙丽仙无故人+n=zuuuruuurunruuuuuur【变式4】、2021苏州期末在ABC中,BD2DC,假设AD1AB2AC,M12的值为.9uuurunrunruuur1uuuuuuuuruuruuur1uuu2uuur由于ADACCDAC%B,而CB=ABAC,所以AD-AB匕AC,所以3331223,2履那么12的值为g.B【关联UUTLUUTUULT,UUT1】、2021年南通一模如图

15、,在ABO,BO为边AC上的中线,BG2GO,设CD/AG,t.UULT右AD1UUTAB5UUITAC(R),那么的值为【答案】65“一UUUT思路一：AG1UUU2UUUTABAOUUTUUTUUUTCDADAC思路二：不妨设31UUUAB5UUITUULTCD=mAGUUUTADUUUTACUUUTACUULTCDUULTACUUUTACUULTAC(m31UULTm(AC21UUUAB3UUT1)AC,UULTmAG1UUUUUUTOB)AC31UUIT-AC,3由于用/AG,所以人1=,5UULTuuurUULTACm(AOOG)1UULT1UUUm(ACBO)231UUUTAC21

16、UUUTACUULTBC)11UUU3g2(“11UUU3g2(BA)acmAb,32UUUTUULTUUUACAB)从而m3,所以5【关联2】、2021年江苏卷如图,在同一个平面内,向量OA、UUTOB,LUUT_OC的模分别为1,1,亚,LUU-LUT,OA与OC的夹角为,且tan7,OB与OC的夹角为45,假设鸵UUUUULTmOAnOB(m,nR),那么mn的值为【答案】、m+n3.解析由tan7可得sin7-i,cos10?根据向量分解易得:ncos45mcosnsin45msin22202om21072人m010解得5474所以m+n3.题型三平面向量根本定理的综合运用知识点拨：向

17、量的根本运算分为线性运算和坐标运算,建立坐标系转化为坐标的运算也可以转化为基底运算,其中三点共线可以转化为点在直线上也可以用共线向量根本定理来转化.基底法运算量小于坐标法、坐标法的思维难度低于基底法.例3、2021年苏州一模如图,直角梯形ABCLfr,AB/CD/DA氏90°,AD=AB=4,CD=1,动点P在边BC上,且满足"mA拼nADm,n均为正实数,那么熹'的最小值为7+43解法1建立如下图的平面直角坐标系,那么A(0,0),B(4,0),口0,4),C(1,4).又kBC=故BC：y=4(x4).又AP=mABbnADj在(4,0),M(0,4),所以AP

18、=(4m,4n),故331111P(4m,4n),又点P在直线BC上,即3n+4m=4,即4(m+不)=(3n+4m(+-)=7T3n_+m4m1>7+212=7+4*3,所以(1+1)min=7+)卜,当且仅当3n4叫n1；mn4'3n+4m=4,即m=解法又C,P,n=R时取等号.32由于於mAB-n而所以於mA日n(A：+Cb=mA曰nAC-：AB=m-：AB+nA.B三点共线,故fn+nj即.91,以下同解法1.【变式1】、2021年徐州联考如图,经过ABO的重心G的直线与OAOB交于点P,Quuiruunuuuuuuf11设OPmOA,OQnOB,m,nR,那么一的值为

19、mn【答案】、3解析连接OG并延长,交AB于点C,由于G是ABC的重心,即OC是ABC的中线,所以UULT2ULWOG2OC,3LuuruuuuumOCOAACuuu1unruur1uuruur1uuu1uuirOA-ABOA-(OBOA)-OAOB2222,uur由于OPUUUruumOA,所以OA1uuir山1rliur,OP,同理可得OB-OQ®,mn将代入可得uuirOC1uuu1uuirOPOQ,2m2nrUULT即OG21unr1uuir1uuir1uur(OPOQ)OPOQ,32m2n3m3nuuruuir设PGPQ(01),.uuiruuuuuruiiruuruuu贝

20、U有OGOPPGOPPQOPuuruuuuur(OQOP)(1)OPuuirOQ,根据平面向量根本定理,13m13n3mRxj的值为3.CB1-m【变式2】、2021泰州期末如图,在等腰三角形ABC,AB=AC1,A=120°,E,F分别是边AB,AC上的点,且AEmAB扉=n%其中m,nC0,1.假设EF,BC的中点分别为MN,且m4n=1,那么|冰|的最小值为.【答案】44144思路分析：此题易求丽-Au2,所以可以利用点MN是EF,BC的中点将就转化用场和叙示,再求|Mn的最小值；另外也可以通过建立平面直角坐标系将点Mn的坐标表示出来再求解.111解析1由于M,N是EF,BC勺

21、中点,AE=mABAF=nACM4n=1,所以AN=-ABaC；aM=2a+2AF=|aB5+nAC=2-2naB+2a,所以Mn=AN-AM=2nAfe+12nAC而丽AC=113.771X1Xcos120=-2,所以|丽=/=力21n26n+1,显然当n=3时,|而际广.解析2如图,以点N为坐标原点,直线BC为x轴,直线NA为y轴建立平面直角坐标系,由AB=AG=1,A=120°彳4N(0,0),A0,2,B-坐,0,吟,0,所以A>=nAC=乎n,n,AE=mAfe=弓项gm=23n噂,2n(由于m+4n=1),从而点E23n2n,点Fn,2n+；,线段EF的中点多fng

22、5:3n、；32+3n+：2=/21n26n+1,显然当n=;时,|MLl.4442217,4n+；,所以IMN=【关联1】、(2021年南通二模)ABC是边长为3的等边三角形,点P是以A为圆心2 -1的单位圆上一动点,点Q满足"鼻科-At；那么|BQ的最小值是.3 32【答案】、7-23思路分析求|BQ的最小值,就是求线段BQ长的最小值,由于点B为定点,而点Q是随着点P的运动而运动的,那么就要关注点Q是如何运动的,即要先求出点Q的轨迹方程,通过建系运用相关点法即可求得点Q的轨迹方程,通过点Q的轨迹方程发现其轨迹是一个圆,接下来问题就转化为定点与圆上的动点的距离的最小值问题,那就简单

23、了.一般与动点有关的最值问题,往往运用轨迹思想,首先探求动点的轨迹,在了解其轨迹的根底上一般可将问题转化为点与圆的关系或直线与圆的关系或两圆之间的关系.Qx,y),P(x',y'),由A岸1、21AC得A'2x'33解法1以A为原点,AB为x轴建立平面直角坐标系,那么AB=(3,0),AC='竽,设12,3+23y+；,2,x=£x即3y=3y1+2,3+2,所以3y1x2v_3y2两式平方相加得有x-12+y当2=4,所以点Q是以m2,专为圆心,R=2的圆上的动点,因此BQin=BM解法2bQaQ-届2扉+1MM2扉+13332.>3>1>,.>2>>一.一>2>>.>令ANUA