现代控制理论习题解答

1、现代控制理论第1章习题解答1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性系统的状态空间模型为：X=AxBuy=CxDu线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A,B,C和D中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A,B,C和D中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统，而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？答：传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下：传递函数模型（经典控制理论）状态空间模型（现代控制理论）仅适用于线性定常系统

2、适用于线性、非线性和时变系统用于系统的外部描述用于系统的内部描述基于频域分析基于时域分析1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点?答：线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于阶传递函数G(s)=bnsn,bn，/IIIb1sb0sn-an4sn4|laisao分别有能控标准型:一010M0100011H00*,+4+rx+FF000IH10a。一a1-a2IH-an_1_能观标准型:y=bo,-01jX=o*+:。y=0bIIIHqbnX+dU0IH0-a。1b010IH0-a1b110-a2X+11uF1 F2 +bnI0III1

3、-an":I0IH01】X+du'一口0III01-11l0P2III01，、一，一一，、-X=,，x+-u对角线标准型：«:二：-00愕Pn_1一y-CicHIalxdu式中的Pi,P2,|,Pn和G,G川|,Cn可由下式给出,bnsbn/Sbsb°GC2CnG(s)=-nn-jd=HIdsansIIIasa。s-Pis-P2s-Pn能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外,其余全为0。能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。对角线标准型

4、的特点：状态矩阵是对角型矩阵。12 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。12 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D不等于零，其参数如何确定？答：当传递函数G(s)的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D不等转移项D的确定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数G(s)=bnsn-bn.sn+b1s-b0,anjsa1s.a0可得:G(s)=n.Cns'.笊,C0nn-1,11s.anjs.as.a0由此得到的d就是状态空间实现中的直接转移项D。1.

5、6在仞1.2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图试问：若将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？答：将图1.12中的两个环节调换后的系统方块图为：1.12的串联分解,图中,、32a(s)sa2sa1sa0，b(s)=ds2+b1s+在。由于s*y相当于对y作3次积分，故_y可用如下的状态变量图表示:ma(s)2m因为sb相当于对b作2次微分，故一=b(s)可用如下的状态变量图表不u因此，两个环节调换后的系统状态变量图为进一步简化，可得系统状态变量图为取丫二兄，y=&,y=xi,可以得到两个环节调换后的系统的状态空间模型为00X=1001y=00两个环节调换前

6、的状态空间模型是：-a°Ib°-aix+biu-32j?2j1x0100_-a0-a101"a2y=b0bb2x显然，调换前后的状态空间实现是互为对偶的。已知系统的传递函数Y(s)s62U(s)s25s6试求其状态空间实现的能控标准形和能观标准形。答:系统的能控标准形为：,_；01x冷-5一y=161x-01x+k系统的能观标准形为：x：6x6uy=101lx考虑由下图描述的二阶水槽装置,图1.18二阶水槽装置图该装置可以看成是由两个环节串联构成的系统，它的方块图是:U2b2sa2试确定其状态空间模型。Uibis-aiXi图1.19二阶水槽系统的方块图答：图1.1

7、9中两个环节的状态空间模型分别为：X2=-22X2+b2U2Xi=aiXi+bu和y2=x2y=xi又因为u=u+x2,所以Xi-ax1blX2biUiX2-0X2b2U2y=xi进一步将其写成向量矩阵的形式，可得:biXin0Ui-a2.|X2,0b2.|U20；1.9考虑以下单输入单输出系统：y6y11y6y=6u试求该系统状态空间模型的对角线标准形。答：由微分方程可得G(s)=-黄s6siis66(si)(s2)(s3)其中,ci=lim=3s(s2)(s3).6,c2=lim=-6s总(si)(s3)6c3=lim二3s7(si)(s2)故该系统状态空间模型的对角线标准形为-x；lX2

8、-10'.00-200IXiX2一3一x31Ijjxjy=3-63】x2-X31.10已知单输入单输出时不变系统的微分方程为：y(t)4y(t)3y(t)=u(t)6U(t)8u(t)试求：(1)建立此系统状态空间模型的对角线标准形；(2)根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。答：记其中,(1)由微分方程可得Gi(s)G(s)=2s6s89"Zs4s32s5-2"Zs4s32s52s5gc2s2，4s，3(s1)(s3)s1s3lim2s5C2=lims12从输入通道直接到输出通道上的放大系数X1二一1一X2.03y2(2)由于A=101B=T，C_0-3

9、9;_1'd=1,由此可得：0x1.1u-3,X21x1u_X2G(s)=C(sI-A)JBD=13(s1)(s2)IL21.50.5=1s1s31s32.IL0s/+11.11已知系统的传递函数为G(s)=2s5(s3)(s5)采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图;采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。答：(1)将G(s)重新写成下述形式:G(s)2s5s5每一个环节的状态空间模型分别为：X1=-3x1+ux2=-5x2+u1，和,、y=x1y=-5x2+2u1又因为y=u，所以x1=-3x1+ux2=x1-5x2y=2x1-5x2因此

10、，若采用串联分解方式,则系统的状态空间模型为:xi-3°，卜!1一5y=2-5/1对应的状态变量图为:(2)将G(s)重新写成下述形式:G(S)-0.52.51s3s5每一个环节的状态空间模型分别为:XX1-3x1-0.5uIyi=xiX=-5x2+2.5u又由于.y2=x2x1=-3x1-°.5ux2=-5x2+2.5uN=ViV2=x1x2因此，若采用并联分解方式，则系统的状态空间模型为:-3°xz一。一5：，2°55u对应的状态变量图为:>°.5*2.5已知系统的状态空间模型为X=Ax+Bu,y=Cx,写出该系统的特征多项式和传递函

11、数矩阵。答：系统的特征多项式为det(sI-A),、,一-一1_传递函数为G(s)=C(sIA)B。一个传递函数的状态空间实现是否惟一？由状态空间模型导出的传递函数是否惟一？答：一个传递函数的状态空间实现不惟一；而由状态空间模型导出的传递函数是惟一的。已知系统的状态空间模型为x=Ax+Bu,y=Cx,写出其对偶状态空间模型。答：其对偶状态空间模型为：=At+CTudtJ=Bx两个对偶状态空间模型之间的特征多项式和传递函数有什么关系？x=Ax+Bu=At+CTii答：对于互为对偶的xBu与xAxCu,它们对应的特征多项式分别为rT、y=Cxy=Bxdet(sI-A)和det(sIAT)。由于一个

12、矩阵和其装置的特征多项式是相同的，故互为对偶的两个状态空间模型具有相同的特征多项式。它们对应的传递函数分别为jC(sI-A)BG(s)=C(sI_A)B=det(sI-A)G2(s)=BT(sIAt)Ct=B(sI-心白det(sI-A)由于det(sIAT)=det(sI-A),(C(sI-A)*B:=BT(sI-A，)*CT,故对偶状态空间模型之间的传递函数关系为G1(s)=G2(s)T,即互为转置。1.16考虑由以下状态空间模型描述的系统L0X二IL-6y=11x试求其传递函数。答：由于11_G(s)=C(sI-A)BD=C(sI-A)B1(sI-A)1s5s(s5)6IL-6s(s5)

13、6-6:性?1）：s12s5s61.17给定系统的状态空间模型-4013x+-1-2000010u1求系统的传递函数矩阵。答：系统的传递函数为G(s)=C(sIA)B。由于(sI-A)-101-3因此,1Z2Z6s211s3s2+6s+11-3s2s22s3s4s1_G(s)=C(sI-A)B1.18答:"s2十6s+11s36s211s3HP132s6s11s3s2|-s-11JL-3_s_4s22s22s_s_13s101+4s001013【十4s试用MATLAB软件求出下列传递函数的状态空间实现执行以下的m-文件:G(s)10s247s16032s14s56s160num=01

14、047160;den=11456160;A,B,C,D=tf2ss(num,den)-141-56-1600一110,aC=10471601,D=0由此可知:一-14-56-160irx1-flX2x2+0u0一X3_jy=l0471601x2P31一尢0X2=-1：x3.11.19试用MATLAB软件求以下系统的传递函数ioixq一。1-10x2+1u0吐X3j/JX1y=100X2Bl答：执行以下m-文件:A=010;-1-10;100;B=0；1；0；C=100;D=0;num,den=ss2tf(A,B,C,D)可得：num=001.00000den=1.00001.00001.000

15、00因此，系统的传递函数为G(s)1.20试用MATLAB软件求以下系统的传递函数X121X2=02>3j/10X100x2+13金3Xjy=001X2X3J答：执行以下的m-文件:A=210;020;013;B=01;10;01;C=001;D=00;num,den=ss2tf(A,B,C,D,1)num,den=ss2tf(A,B,C,D,2)可得要求的两个传递函数是Y(s)s-232U1(s)s3-7s216s-122Y(s)s2-4s432U2(s)s3-7s216s-12已知系统的状态空间模型为*=Ax+Bu,y=Cx,取线性变换阵为P,且x=PX,写出线性变换后的状态空间模型

16、。答：把x=Px代入X=Ax+Bu,y=Cx,得PX=APXBuy=CPX因此，线性变换后的等价状态空间模型为：X=P'APXPBuy二CPX线性变换是否改变系统的特征多项式和极点？简单证明之。答：假设系统的状态空间模型为x=AxBuy=CxDu经过线性变换X=Tx后，系统的状态模型变为：X=AXBuy=CXDu其中，11A=TAT,B=TB,C=CT,D=D由于11_det(sI-A)=det(sI-TAT)=det(sTT-TAT)=det(T)det(sI-A)det(T,)-det(sI-A)故线性变换不会改变系统的特征多项式和极点。1.23已知以下微分方程描述了系统的动态特性：y3y2y二u选择状态变量X1=y,x2=y,写出系统的状态方程；根据(1)的结果，由以下的状态变换：X=兀x?x2=-x1-2x2确定新的状态变量x1,x2,试写出关于新状态变量x,x2的状态空间模型。答：(1)由x=y,X2=y可得Xi