浙江大学概率论与数理统计复习题

1、武汉大学遥感信息学院函授概率论与数理统计复习题一.随机事件与概率11 .五卷文集按任意次序排列到书架上，则第一卷及第五卷分别在两端的概率为(一)102 .若AuB,则AUB是(B)3 .事件A、B、C至少有一个不发生可表示为(AUBUC)4 .设A,B为两个独立事件，P(A)=0.7,0<P(B)<1,求P(A|B)(0.3)5.某射手射击时，中靶的概率为-,若射击直到中靶为止，求射击次数为3的概率?4123()5 .设AUB,P(A)=0.2,P(B)=0.3,求P(AB)二解：P(AB)=P(B-A)=P(B)-P(A)=0.16 .某射手每次射击击中目标的概率为p,连续向同一

2、目标射击，直到某一次击中目标为止，求射击次数X的分布律解在进行射击之前，无法知道射手在第几次射击时击中目标，因此射击次数X是离散型随机变量，显然，X的可能取值为1,2，即一切正整数，而：PX=k=(1-p)k"pk=1,2，上式即为X的分布律。7 .某工厂生产的100个产品中有5件次品，检查产品质量时，在产品中取一半来检查，如果发现次品不多于一个，则这批产品可以认为是合格的。求这批产品被认为是合格的概率。解：按题意，每批100个产品中应有5个次品，95个合格品.设事件A表示检查的50个产品中次品不多于1个，它可以看作两个互不相容事件之和：A=A0A1其中A0表示检查的50个产品中没有

3、次品，而人1表示有1个次品.因为：c50_C95P(A0)=二0.028050C100入一49C5C95P(A)=5=0.153'1'C5。C100所以P(A)=P(A0)-P(A1)=0.1818 .设每100个男人中有5个色盲者，而每10000个女人中有25个色盲者，今在3000个男人和2000个女人中任意抽查一人，求这个人是色盲者的概率。解A=抽到的一人为男人）,B=抽到的一人为色盲者）,则3PA=5，PBA=10020-2t,，P（A）W，网小25100001400于是，由全概率公式，有-tk3P(B六P(A(BA)十P(AP(BA)=一12X十M20531o40010

4、009.(1)已知P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A)=0.8,求P(A=B)。(2)P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(A|B)=0.8,求P(A|B)。解(1)利用加法公式、乘法公式计算事件概率P(AB)=P(B|A)，P(A)=0.4,P(A=B)=0.5+0.60.4=0.7。(2)易知P(A)=0.6,P(B)=0.5,由P(AB)=P(B)P(aB)=0.4=P(A)_P(AB),可得P(AB)=0.2,从而P(AB)0.2P(A|B)=0.4。P(B)0.510.某地有甲乙丙三种报纸，25%读甲报，20%读乙报，16%读丙报，10%兼读甲乙两报，5%读甲丙两报，4

5、%读乙丙两报，2%读甲乙丙三报，求：(1)只读甲报所占比例；(2)至少读一种报纸所占比例。解设读甲、乙、丙三种报纸的事件分别为：A,B,C,由已知条件，有P(A)=0.25,P(B)=0.20,P(C)=0.16,P(AB)=0.10,P(AC)=0.05,P(BC)=0.04,P(ABC)=0.02,从而有(1) P(ABC)=P(A(BUC)=P(A)一P(A(BUC)=P(A)-lP(ABAC).1-P(A)-P(AB)P(AC)-P(ABC)1=0.25-0.100.05-0.02=0.12(2) P(aUbUc)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(

6、ABC)=0.250.200.16-0.10.050.040.02=0.44.一维随机变量1、(1一2e)1一（1+x）ex之0,1 .设随机变量X的分布函数为F（x）=，求PXW1。0x<0Ax,0Mx<12 .已知随机变量X的密度为f（x）=，求A。-be由f(x)dxJ_OQ0,其它1A=Axdx=1.02可得A=2。3 .随机变量X的概率密度为f（x）=1=fX<1求C。（1）0X其它7t4 .若XN(2,ty2),且P2<X<4=0.3,求p<x<。解0.3=PL:二X：二4)-中一。2-=中2_0.5故6！2=0.8,px<0=！4=

7、1_92=0.2。9JI仃115.随机变量X的概率密度为:e-x>0，f(x)=),求随机变量Y=2X+1的概率皆度。0x<0设y=2x+1,则y一一、,.，y-1=2>0,反函数x=,于是Y=2X+1概率密度为:fY(y)21y小，故fY(y)=Ge产1。y:二10y<16.设随机变量X在1,4上服从均匀分布，现在对X进彳T3次独立试验，则至少有2次观察值大于2的概率为多少？广1，一.一、.、一>1<x<4解X的概率密度为：f（x）=（30一次试验观察值大于2的概率为：0其他412PX，2=-dx-2332、设3次独立试验观察值大于2的次数为Y,则丫

8、B3,2i,从而：<3；px之2=c121J+cJ2：空。333277 .设随机变量X-N（2,/），且P（2<X<4）=0.3,求P（X<0）。解根据正态分布的密度函数关于均值点的对称性，有P（X：二0）=P（X：二2）-P（0_X：二2）=0.5-P（2:二X三4）=0.5-P（2:二X:二4）=0.5-0.3=0.28 .如果函数f（x）=Ae*,-g<x代，为某个随机变量的概率密度，求A。解因为f(x)dx=1,J677rlx而Ae-ldxJq0二AeJ5dx07；xAe一dx=AA=2A。9.已知X的概率分布为-10121111Pk8842求丫=X2的分

9、布律.PiPi.二维随机变量1.若注,。）的联合概率密度为:_(xy),x(1)确定常数k;(2)求P(t<2,n<2)(1)11x.y1=edxedy=1k00k(2)P，：2,:二2)22i,.j'(x,y)dxdy22f_x.y.2edxedy=(1-e)-0-02.设随机变量（X,Y）的密度函数为f(x,y)=:二x<1,0:二y其他PX<0.5,Y<0.6)。0.6解PX:二0.5,Y:二0.6)=0.5._.f(x,y)dxdy0.60.5=dydx0-0=0.33.设二维随机变量(&n)的分布函数1Fx,y=ABarctanxABar

10、ctany1A-BarctanxA-Barctany一223.设随机变量X和Y的相关系数为0.5,EX=EY=0,EX=EY=2,求E(X+Y)。解利用期望与相关系数的公式进行计算即可。因为222E(XY)=EX2E(XY)EY=42cov(X,Y)EXEY=42：XYDX.DY=420.52=6说明：本题的核心是逆向思维，利用公式E(XY)=cov(X,Y)+EXEYo求常数A,B；(2)求P伯之0户20)。解(1)令F(+«,+°o)=(A+B)21+1(AB)21=12<22Jn211n2'砥111c1F(ho,oo)=(AB)1H(AHB)|=0,A=

11、一,B=2i22J2n(2)P_0,_0=1P(.：二0)P(：二0)P，：0,:二01199=1_F(0,二)一F(二，0)F(0,0)=1_一=2232324.两个相互独立的元件串联成一系统，元件的寿命分别为Fx=1-ex10000,求系统的寿命短于,x.0x.01000小时的概率。解串联的两个元件至少一个损坏时，系统将停止工作，所求概率为,p=P(<1000)P(<1000)-P(：二1000,<1000)一，、一，、一，、2、2_2二F(1000)F(1000)-F(1000)=1e1-e(1-e)=1-e四.随机变量的数字特征1 .设随机变量X服从参数为九的泊松(P

12、oisson)分布，且已知E(X-1)(X2)=1,求九O解因EX=DX=入，有1=E(X23X+2)=DX+(EX)23九+2=九22九+2,从而九=1。2 .设随机变量X服从参数为1的指数分布，求E(X+e'X)。解EeX=exedx=3e二xdx/3=1/3-0-0一一9X14从而E(Xe)=1，一=一。336和3,求随机变量2X-3Y的方差。=2427=51。4 .设两个相互独立的随机变量X和丫的方差分别为解由方差的性质，得D(2X_3Y)=4DX+9DY0x：；：05 .设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=1x30<x<1,则求EX1x>10<x&

13、lt;1其他r23x解随机变重X的概率留度为：f(x)=F'(x)=，01313EX=xf(x)dx=13xdx,故f3xdx=3/4。：二-0-05 .设随机变量X的方差为2,求根据切比雪夫不等式有估计P，X-E(X)|之2。D(X)21解由切比雪夫不等式，有px-E(X)>2<一L=。2426 .设随机变量X和丫的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数P=0.5,则根据切比雪夫不等式求PX-Y|>6o解E(X-Y)=0,关键要求X-Y的方差。D(X-丫)=cov(X-Y,X-Y)=DX-2cov(X,Y)DYcovX,Y)=P.DXDY=05.14=1D(X

14、-Y)=1-2+4=3,于是P(X-Y>6)<=o16212六七章.数理统计X及S分别表示样本均值和均方差，则1.样本(XI,X2,，X9)取自总体X-N(0,1),X：服从什么分布?S/10因为X1,X2,-l,X9独立同分布,XXkN(0,1),所以=:t(10-1)=t(9),S/.10解:x2(n)23.设总体XN(2,4),.X2X1,X2，Xn为X的样本，则；厂服从什么分布。4n解因XN(2,42),所以X44X-2N2,-I,标准化后，有一N(0,1),故选择InJ4/VnX_2N(0,1)4.设随机变量XF(m,n)则1,服从什么分布。X解F(n,m)5.设总体XN(心,3'E(XR)2M0.1成立,),Xi,X2,则样本容量,Xn为取自总体的一个样本,n至少应取多大？X为样本均值，要使解E(X2-m)=DX1=-DXn32<0.1,得nn至90。6.设总体X的概率密度为:f(x)="a(a1)x0:x：1三，其中aA1,求a的极大似其它然估计。解：似然函数为:nL(a)=i±n(a.1)x"=(1+a)nn“Xiiz±InL(a)=nln(aclnL(a)n，1)一二alnxiiWn%1nxi=0i土得极大似然估计:n-1onxInxi