求逆矩阵的方法

1、求逆矩阵的方法与矩阵的秩一、矩阵的初等行变换(由定理2.4给出的求逆矩阵的伴随矩阵法，要求计算矩阵A的行列式|A值和它的伴随矩阵A*.当A的阶数较高时，它的计算量是很大的，因此用伴随矩阵法求逆矩阵是不方便的.下面介绍利用矩阵初等行变换求逆矩阵的方法.在介绍这种方法之前，先给出矩阵初等行变换的定义.)定义2.13矩阵的初等行变换是指对矩阵进行下列三种变换：(1)将矩阵中某两行对换位置；(2)将某一行遍乘一个非零常数k;(3)将矩阵的某一行遍乘一个常数k加至另一行.并称(1)为对换变换，称(2)为倍乘变换，称(3)为倍加变换.矩阵A经过初等行变换后变为B,用表示，并称矩阵B与A是等价的.(下面我们

2、把)乘k倍的倍乘变损),为“+k”.第i行和第j行的对换变换，简简记为例如，矩阵aibia2b2c2;把第i行遍k”；第j行的k倍加至第i行上的他如j,简记飞1a2a3-b2b3b1b2b3，-a1a2a3Fc2c3:c1c2c3a1a2a3-1-a1a2a3b1b2b.3_k,b1b2b3c2c3kc2kc3_aA=+kbib2a2ka2ai-ka1a3|b3c3c2a3|b3+ka3c3(关于初等矩阵内容请大家自己阅读教材)二、运用初等行变换求逆矩阵由定理2.7的推论“任何非奇异矩阵均能经过初等行变换化为单位阵”可知，对于任意一个n阶可逆矩阵A,经过一系列的初等行变换可以化为单位阵I,那么

3、用一系列同样的初等行变换作用到单位阵I上，就可以把I化成A.因此，我们得到用初等行变换求逆矩阵的方法：在矩阵A的右边写上一个同阶的单位矩阵I,构成一个nx2n矩阵(A,I),用初等行变换将左半部分的A化成单位矩阵I,与此同时，右半部分的I就被化成了A、即初等行变换1(A,I)(I,A)1-11例1设矩阵A=113：2-321求逆矩阵A解因为(1/2)+1-1110。1+(-1)1-1110。1113010+(-2)022-110-32001,0-10-2011-11100+(-1)1-1071111011110+(-1)01022-1250122510011001=1I22一2211100-2

4、1112所以A=25_212012-11所求逆矩阵A是否正确，可以通过计算乘积矩阵人人进行验证.如果人人=|成立，则A,正确，否则不正确.对给定的n阶矩阵A,用上述方法也可以判断A是否可逆.即在对矩阵A,I进行初等行变换的过程中，如果A,I中的左边的方阵出现零行，说明矩阵A是奇异的，即A=0,可以判定A不可逆；如果A,I中的左边的方阵被化成了单位阵I,说明A是非奇异的，可以判定A是可逆的，而且这个单位矩阵I右边的方阵就是A的逆矩阵A，它是由单位矩阵I经过同样的初等行变换得到的.-2例2设矩阵A=4：-6解因为-2-1A,I=40-6_1-2-1T0-200-1605,问A是否可逆？-11610

5、0.1-2765010T0-2171001-一02-176100172100-111100210-301A,I中的左边的矩阵A经过初等行变换后出现零行，所以夕!阵A是奇异的,A不可逆.（下面利用矩阵求逆运算求解矩阵方程1-121-1例3解矩阵方程AX=B,其中A=2-35,B=-2332454解思路如果矩阵A可逆，则在矩阵方程AX=B等号的两边同时左乘A,可得AJAX=a-B,X=a,B因此，先用初等行变换法判别求出X.A是否可逆，若可逆，则求出A,，然后计算AB,因为1-12A,I=2-353-241001010T00010-1-1121001-210-2-301所以一10-10A可逆，且0

6、13-101-11-210T00-1-511000-20110721015-1-1|-201A=7-2-15-1-1201-721511011-13-221-23=6-9115424一-2X=AB=7：.5三、矩阵的秩前面给出了利用矩阵行列式IA判别方阵A是否可逆的方法，除了这种方法外,还可以利用矩阵A的特征之一一一矩阵的秩来判别方阵A的可逆性.矩阵的秩是线性代数中非常有用的一个概念，它不仅与讨论可逆矩阵的问题有密切关系，而且在讨论线性方程组的解的情况中也有重要应用.在给出矩阵的秩的概念之前，先要定义矩阵的子式.定义2.15在矩阵A中，位于任意选定的k行、k列交叉点上的k2个元素，按原来次序组

7、成的k阶子阵的行列式，称为A的一个k阶子式.如果子式的值不为零.就称为非零子式.3211例4设矩阵A=12-32_44-23取其第一、二行与第二、四列交叉点上的4个元素按原次序组成行列式21=222称为A的一个二阶子式，而且是它的非零子式.定义2.16矩阵A的非零子式的最高阶数称为矩阵A的秩，记作r(A)或秩(A).规定：零矩阵O的秩为零，即r(O)=0.例4中的矩阵已经有一个二阶非零子式，通过计算可知，矩阵A的所有三阶子式均为零，(该矩阵没有四阶子式)，所以r(A)=2.例5设A为n阶非奇异矩阵，求r(A).解由于A为非奇异矩阵，即A对应的行列式A00,所以A有n阶非零子式，故r(A)=n.

8、例5的逆命题亦成立，即对一个n阶方阵A,若r(A)=n,则A必为非奇异的.因此n阶方阵A为非奇异的等价于r(A)=n.称r(A)=n的n阶方阵为满秩矩阵.用定义求矩阵的秩，需要计算它的子式，计算量常常是较大的利用教材中的定理2.10计算矩阵的秩是比较方便的.定理2.10设A为mMn矩阵，则r(A)=k的充分必要条件为：通过初等行变换能将A化为具有k个非零行的阶梯阵.例如，阶梯阵26-1351-135A=00401B=041000001002因为A的非零行有二行，而B的非零行有三行，所以A的秩等于2,B的秩等于3,即r(A)=2,r(B)=3.那么一个矩阵经过初等行变换化成阶梯阵后，它的秩是否会

9、发生变化呢？不会的.教材中的定理2.9已经说明这一点.定理2.9矩阵经过初等行变换后，其秩不变.(证明见教材)定理2.10给了我们求矩阵的秩的一种简便方法，即利用初等行变换将一个矩阵A化成阶梯阵，然后算出矩阵A的秩.例6设矩阵20A=|-2452110B=3-25320-640112-1140求r(A),r(B),r(AB).A为因解2o51o42o_所以r(A)=2-1.3因为B=2J|-11书(a书(上01300,00所以r(B)=3因为AB=卜24AB=8164-101401-11401-250-6-34於34$2>001217-2-341120112401-1140117-32-

10、310-4©1(=-)2鼻001017-32一310-1650000一52-131-2405-3-；84201020-6416-1060112-20624814©(-2)-T一8418-204624-56248所以r(AB)=2由例6可知，乘积矩阵AB的秩不大于两个相乘的矩阵minr(A),r(B).A,B的秩，即r(AB)<例7设矩阵求r(A)和r(A).03001306-11A=2-24-201-1210因为03001-f一1-1210306-11(，)306-11A=2-24-202-24-201-12101103001-1210-1-121030-41率(_1)平