8.6若尔当标准型

1、从前面第七章的讨论可以知道，并不是对于每从前面第七章的讨论可以知道，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形成为对角形. 下面先介绍一下，在适当选择的基下下面先介绍一下，在适当选择的基下,一般的一个线性变换能化简成什么形状一般的一个线性变换能化简成什么形状.在这一节，我们的讨论限制在复数域中在这一节，我们的讨论限制在复数域中. tttJ1000010000010000),(，其一般形状如，其一般形状如) 1 (21sAAA其中其中iikkiiiiiA111并且并且 1 , 2 , s 中有一些可以相等中有一些可以相等.例如例

2、如i10i,0100001000010000,210021002都是若尔当块，都是若尔当块，是一个若尔当形矩阵是一个若尔当形矩阵.410000041000004000000400000011000001而而1.一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵矩阵中包括对角矩阵. 2.注注 意意我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的我们用初等因子的理论来解决若尔当标准形的计算问题计算问题. 首先计算若尔当标准形的初等因子首先计算若尔当标准形的初等因子.设有若尔当块设有若尔当块nnJ00001000010001000则其初等因子为则其初等因子为 (

3、- 0)n .考虑它的特征矩阵考虑它的特征矩阵.10000100010000000JE显然显然 | E - J0 | = ( - 0)n ，这就是，这就是 E - J0 的的 n 级级行列式因子行列式因子.由于由于 E - J0 有一个有一个 n - 1 级子式级子式,) 1(10001000010001100n所以它的所以它的 n - 1 级行列式因子是级行列式因子是 1 ，从而它以下各，从而它以下各级的行列式因子全是级的行列式因子全是 1 . 因此，它的不变因子为因此，它的不变因子为d1( ) = = dn-1( ) = 1 , dn( ) = ( - 0)n .由此即得，由此即得， E

4、- J0 的初等因子为的初等因子为 ( - 0)n .设设sJJJJ21是一个若尔当是一个若尔当形矩阵，形矩阵，.)( ,)( ,)(2121skskk)., 2 , 1(1000010001000siJiiii其中其中则则J的初等因子为的初等因子为既然既然 Ji 的初等因子是的初等因子是, ), 2 , 1()(siiki所以所以 E- Ji 与与iki)(111等价等价.于是于是skkkJEJEJEJEs2121skskk)(11)(11)(112121与与等价等价.因此，因此，J 的全部初等因子是：的全部初等因子是：.)( ,)( ,)(2121skskk 2.每个若尔当形矩阵由若尔当块

5、个数、各个若尔每个若尔当形矩阵由若尔当块个数、各个若尔当块的级数及对角线上元素决定，即它的全部初等当块的级数及对角线上元素决定，即它的全部初等因子因子是由它的全部若尔当块的初等因子构成的是由它的全部若尔当块的初等因子构成的. .1.每个若尔当块完全被它的级数每个若尔当块完全被它的级数 n 与主对角线上与主对角线上元素元素 0 所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子所刻划，而这两个数都反映在它的初等因子( - 0)n 中中.因此，若尔当块被它的初等因子唯一因此，若尔当块被它的初等因子唯一决定决定.由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当由此可见，若尔当形矩阵除去其中若尔当块排列的次序外是被它的初等因

6、子唯一决定块排列的次序外是被它的初等因子唯一决定.注注 意意 (1)设设 n 级矩阵级矩阵 A 的初等因子为的初等因子为skskk)( ,)( ,)(2121其中其中 1 , 2 , , s 可能有相同的，指数可能有相同的，指数 k1 , k2 , , ks 也可能有相同的也可能有相同的.每一初等因子每一初等因子iki)(对应对应 于一个若尔当块于一个若尔当块)., 2 , 1(1000010001000siJiiii这些若尔当块构成一若尔当形矩阵这些若尔当块构成一若尔当形矩阵.21sJJJJ根据以上的计算，根据以上的计算，J 的初等因子也是的初等因子也是skskk)( ,)( ,)(2121

7、因为因为 J 与与 A 有相同的初等因子，所以它们相似有相同的初等因子，所以它们相似.如果另一若尔当形矩阵如果另一若尔当形矩阵 J 与与 A 相似，那么相似，那么 J 与与 A 就有相同的初等因子，因此就有相同的初等因子，因此 J 与与 J 除了其中除了其中若尔当块排列的次序外是相同的若尔当块排列的次序外是相同的, 由此即得唯一性由此即得唯一性.步骤步骤3 3 得出矩阵得出矩阵A A的若尔当标准形的若尔当标准形. .求矩阵求矩阵A的的Jordan标准形的步骤标准形的步骤步骤步骤1 求求 E- A 的初等因子；的初等因子；步骤步骤2 写出每一个初等因子对应的若尔当块；写出每一个初等因子对应的若尔

8、当块；说说 明明 设设 12 级矩阵级矩阵A的不变因子是的不变因子是( - 1 )2 ( + 1 )( 2 + 1 )2 . 1, 1, , 1 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 ( + 1 ) ,9 个个按定义，它的初等因子有按定义，它的初等因子有 7 个，即个，即( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( - 1 )2 , ( + 1 ) , ( + 1 ) , ( - i )2 , ( + i )2 .于是其若尔当标准形为于是其若尔当标准形为求矩阵求矩阵A的的Jordan标准形标准形.解解1212i10ii10i11110111011101例例2 2 求矩阵求矩阵A A的若

9、当标准形的若当标准形. . 解：解： 11 233 622 4A 112336224EA 211220 220 21210 2202 21 000 0202 1 00000 02 A的初等因子为的初等因子为 ,2 . 故故 A的若当标准形为的若当标准形为 0 0 00 0 0 .0 0 221000 2202 21 000 0200 换成线性变换的语言来说就是：换成线性变换的语言来说就是： 在在 V 中任取一组基中任取一组基 1 , 2 , , n , 设设A 在这组基下的矩阵是在这组基下的矩阵是 A .由由存在可存在可逆矩阵逆矩阵 T，使，使 T-1AT 成若尔当形矩阵成若尔当形矩阵. 于是

10、在由于是在由( 1 , 2 , , n ) = ( 1 , 2 , , n ) T确定的基确定的基 1 , 2 , , n 下，线性变换下，线性变换 A 的矩阵的矩阵就是就是 T-1AT .由定理由定理 1，唯一性是显然的，唯一性是显然的.应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特应该指出，若尔当形矩阵包括对角矩阵作为特殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩殊情形，那就是由一级若尔当块构成的若尔当形矩阵，由此即得阵，由此即得 例例3 证明矩阵证明矩阵 与对角阵相似与对角阵相似 .46035 036 1A 小小 结结 Smith标准形标准形Jordan标准形标准形行列式因子行列式因子不变因子不变因子初等因子初等因子Jordan块块求下列矩阵的若尔当标准形求下列矩阵的若尔当标