高中数学第3章函数的应用(2.1几类不同增长的函数模型第1课时)示范教案新人教A版必修1

1、word某某省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章 函数的应用-3.示X教案(2.1几类不同增长的函数模型第1课时)教学分析函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不同的变化规律需要用不同的函数模型来描述.本节的教学目标是认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线 上升、指数爆炸与对数增长的不同，应用函数模型解决简单问题课本对几种不同增长的函数模型的认识及应用，都是通过实例来实现的，通过教学让学生认识到数学来自现实生活， 数学在现实生活中是有用的.三维目标1借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比较指数函数、对数函数以及幕函数的增长差 异.2. 恰当运用函数的三种表示

2、方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题3. 让学生体会数学在实际问题中的应用价值，培养学生学习兴趣重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幕函数等函数模型的增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长的不同.教学难点：应用函数模型解决简单问题.课时安排2课时教学过程第1课时 几类不同增长的函数模型导入新课思路1.(事例导入)一 X纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为 10 cm，请同学们计算将一 X纸对折n 次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n=20时它们的厚度.你的直觉与结果一 致吗？解： 纸对折 n次的厚度f(n)=0.012 n(cm),n 块砖

3、的厚度:g(n)=10n(cm),f(20) 105m,g(20)=2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解 思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幕函数的图象性质，本节我们通过实例比较它们的增 推进新课新知探究提出问题 如果X红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数. 正方形的边长为 x,面积为y,把y表示为x的函数. 某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力湿地每年以5%的增长率增长，经过 x年后湿地的面积为 y,把y表示为x的函数. 分别用表格、图象表示上述函数. 指出它们属于哪种函数模型 . 讨论它们的单调性.

4、比较它们的增长差异. 另外还有哪种函数模型.活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回 答不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 总价等于单价与数量的积. 面积等于边长的平方. 由特殊到一般，先求出经过1年、2年、. 列表画出函数图象. 引导学生回忆学过的函数模型. 结合函数表格与图象讨论它们的单调性. 让学生自己比较并体会. 另外还有与对数函数有关的函数模型.讨论结果： y=x. y=x2. y=(1+5%)x, 如下表x123456y=x1234562y=x149162536xy=(1+5%) 它们分别属于：y=kx+b(直线型),y=ax 2+bx+c

5、(a丰0,抛物线型)，y=kax+b(指数型). 从表格和图象得出它们都为增函数. 在不同区间增长速度不同，随着x的增大y=(1+5%)x的增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数. 另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y=log ax+b,我们把它叫做对数型函数.应用示例思路1例1假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报 40元；方案二：第一天回报 10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报 0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：我们可

6、以先建立三种投资方案所对应的函数模型，再通过比较它们的增长情况，为选择投资方案提供依据.解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y=40(x N*)进行描述；方案二可以用函数y=10x(x N *)进行描述；方案三可以用函数 y=0.4 X2 x- 1(x N)进行描述.三个模型中, 第一个是常函数，后两个都是递增函数模型.要对三个方案作出选择，就要对它的增长情况进行分析.我们先用计算机计算一下三种所得回报的增长情况X/天万案一万案二万案三y/元增加量/元y/元增加量/元y/元增加量/元140102400201034003010440040105400501064006010740070

7、10840080109400901010400100103040030010再作出三个函数的图象(3-2-1-4).r =0.4x2I_JJ上二ZV=4il-J,J-*厂4a .24681012 x图 3-2-1-4由表和图(3214)可知，方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案二与方案三的函数的增长情况很不相同.可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长”， 其“增长量”是成倍增加的，从第7天开始，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及的.从每天所得回报看，在第

8、 13天，方案一最多；在第 4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第58天方案二最多；第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过 2亿元.F面再看累积的回报数.通过计算机或计算器列表如下:网报f元方秦1234567891011-一-4080120160200240280320360400440二103060100150210180360450550660-三6102因此，投资16天，应选择方案一；投资 7天，应选择方案一或方案二；投资 810天, 应选择方案二；投资 11天(含11天)以上，则应选择方案三.针对上例可以思考下面问题： 选择哪种方案是依据一天的

9、回报数还是累积回报数 课本把两种回报数都列表给出的意义何在？由此得出怎样结论答案：选择哪种方案依据的是累积回报数. 让我们体会每天回报数增长变化 上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同的函数增长模型，其增长变化存在很大差异.变式训练某市移动通讯公司开设了两种通讯业务：全球通使用者先缴50元基础费，然后每通话 1分钟付话费0.4元；神州行不交月基础费，每通话 1分钟付话费0.6元，若设一个月内通话 x 分钟，两种通讯业务的费用分别为 yi元和y2元，那么(1) 写出yi、y2与x之间的函数关系式；(2) 在同一直角坐标系中画出两函数的图象；(3) 求出或寻求出一个月内通话多少分钟，

10、两种通讯业务费用相同；(4) 若某人预计一个月内使用话费200元，应选择哪种通讯业务较合算.思路分析：我们可以先建立两种通讯业务所对应的函数模型，再通过比较它们的变化情况，为选择哪种通讯提供依据.(1)全球通的费用应为两种费用的和，即月基础费和通话费，神州行的费用应为通话费用；(2)运用描点法画图，但应注意自变量的取值X围；(3)可利用方程组求解，也可以根据图象回答；(4)寻求出当函数值为 200元时，哪个函数所对应的自变量的值较大.解：(1)y 1=50+ 0.4x(x > 0), y2=0.6x(x > 0).(2)图象如图(3-2-1-5) 所示.20ft1501制sn100

11、 2tK) 25030() 口彳)钟图 3-2-1-5根据图中两函数图象的交点所对应的横坐标为250,所以在一个月内通话 250分钟时，两种通讯业务的收费相同. 当通话费为200元时，由图象可知，y1所对应的自变量的值大于y2所对应的自变量的值，即选取全球通更合算.另解：当 y1=200 时有 0.4x + 50=200,.x 1=375；当 y2=200 时有 0.6x=200,x 2=122°.显然 375>1000,3 3选用全球通更合算.点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此， 我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画

12、现实问题的重要模型例2某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销 售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随着利润x(单位：万 元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log?x,其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时， 奖金总数不超过 5万元，同时奖金不超过利润的 25% 由于公司总的利润目标为 1000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润.于是只需

13、在区间 10,1000 :上，检验三个模型是否符合公司要求即可不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果解：借助计算器或计算机作出函数y=0.25x,y=log ；的图象(图3-2-1-6).200 400400 8001000 xV O.25J6 / 10word# / 10word图 3-2-1-6的图象都有一部分在直线y=5的上方，只有模型 y=log 7X+1的图象始终在y=5的下方，这说明只有按模型y=log 7X+1进行奖励时才符合公司的要求下面通过计算确认上述判断.首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万.对于模型y=0.25x，它在区间10,1

14、000上递增，而且当 x=20时，y=5,因此，当x>20时, y>5,所以该模型不符合要求；xx0，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点X。=5,由于它在区间10,1 000 上递增，因此当X>XO时，y>5，所以该模型也不符合要求；对于模型y=log 7X+1，它在区间10,1 000上递增，而且当x=1 000时,y=log 71 000+14.55<5, 所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.再计算按模型y=log 7X+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%即当x 10,1 000 时, 是否有y = log7x 1 <

15、0.25成立.XX令f(x)=log 7X+1-0.25x,x 10,1 000 .利用计算器或计算机作出函数f(x)的图象(图3217)，由函数图象可知它是递减的，因此f(x)<f(10) -0.316 7<0, 即 log 7x+1<0.25x.所以当 x 10,1 000 时，log7X 1 <0.25.X说明按模型y=log 7X+1奖励，奖金不超过利润的25%.综上所述，模型y=log 7X+1确实能符合公司的要求.变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系做数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨 x%(x>0)，销售数量就减少 kx

16、%(其中k为正常数).目前，该商品定价为 a 元，统计其销售数量为 b个.(1)当k=>时，该商品的价格上涨多少，就能使销售的总金额达到最大？2(2) 在适当的涨价过程中，求使销售总金额不断增加时k的取值X围.解：依题意，价格上涨 x%后，销售总金额为y=a(1+x%) b(1 -kx%)= ab : -kx 2+100(1-k)x+10 000:.100001 abi(1)取 k= ,y=( x2+50x+10 000),2 1000029所以x=50,即商品价格上涨 50% y最大为一 ab.8ab 因为 y=: -kx2+100(1-k)x+10 000:,10000此二次函数的开

17、口向下，对称轴为x=50(1 k)，在适当涨价过程后，销售总金额不断增加，k即要求此函数当自变量x在x|x>0的一个子集内增大时，y也增大.所以 50(1 k) >0,解得 0<k<1.k点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论思路2例1同时开始 加工，每组分别加工一种装置设加工G型装置的工人有 x人，他们加工完 G型装置所需时间为g(x),其余工人加工完 H型装置所需时间为 h(x)(单位：小时，可不为整数)(1)写出g(x),h(x) 解析式； 比较g(x)与h(x)的大小，并写出这 216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3

18、) 应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意，知需加工G型装置4000个，加工H型装置3000个，所用工人分别为 x人， 216-x 人.,、40003000g(x),h(x)=6x(216 x)?3加200010000厂*即 g(x)=,h(x)=(0<x<216,x N ).3x216 x2000100001000?(4325x)(2)g(x)-h(x)=3x216 x3x(216 x)/ 0<x<216, 216 -x>0.当 0<xw 86 时,432-5x>0,g(x)-h(x)>0,g(x)>h(x) 当 87

19、W x<216 时,432-5x<0,g(x)-h(x)<0,g(x)<h(x). f(x)=2000 门 ,0 x 3x3,87216 x86,xx 216, x7 / 10word# / 10word 完成总任务所用时间最少即求f(x)的最小值当0<xw 86时，f(x)递减，# / 10word八200001000 f(x) > f(86)=.3 86129 f(x) min=f(86),此时 216-x=130. 当 87< x<216 时，f(x)递增.1000 1000> f(87)=216min=f(87),此时 f(x) f

20、(x) f(x)min=f(86)=f(87) =87129216-x=129,1000129G型装置，H型装置的人数分别为86, 130或 87, 129.季度第一季度第二季度第三季度第四季度每吨售价(单位：元)今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价m (平衡价m是这样的一个量：m与各季度售价差的平方和最小)收购该种农产品，并按每个100元纳税10元(又称征税率为10个百 分点)，计划可收购a万吨，政府为了鼓励公司多收购这种农产品，决定将税率降低x个百分点，预测收购量可增加 2x个百分点，(1) 根据题中条件填空，m=(元/吨)；(2) 写出税收y(万元)与x的函数关系式；(3) 若要

21、使此项税收在税率调节后不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值X围.解： (1) T f(m)=(m -195.5) 2+(m-200.5) 2+(m-204.5) 2+(m-199.5) 2=4ni-1600m+160041,m=200. 降低税率后的税率为 (10 x)%，农产品的收购量为a(1+2x%)万吨，收购总金额为200a(1+2x%),加工变式训练1.某农产品去年各季度的市场价格如下表:故 y=200a(1+2x%)(10-x)%=200 a(100+2x)(10-x)= a(100+2x)(10-x)(0<x<10).1000050原计划税收为 200ax 10

22、%=20a万元)，1 2依题意得a(100+2x)(10- x) >20ax 83.2%,即 x2+40x- 84< 0.50解得-42W xw 2.又 0<x<10, 0<xw 2.x的取值X围是0<xw 2.2.假设国家收购某种农产品的价格是 120元/担，其中征税标准为每 100元征8元(叫税率为 8%),计划可收购 m万担(其中m为正常数)，为了减轻农民负担，如果税率降低 x%预计收 购量可增加(2x)%.(1) 写出税收y(万元)与x的函数关系式；要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%求x的取值X围.42解：(1)y=120mX 10: 1+

23、(2x)% X (8 -x)%=120m(-2x -84x+800).(2) 由题意知 120m(-2x2-84x+800) >0.78 X 120mx 10 4X 8%,解得0<xw 2.所以x的取值X围是0<xw 2.例2某民营企业生产 A、B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图 3-2-1-8 , B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图3-2-1-9,(注：利润与投资单位：万元)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式 该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获

24、得最大利润，其最大利润约为多少万元?(精确到1万元)图 3-2-1-8 图 3-2-1-9解：(1)设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元.9 / 10word11由题设 f(x)=k 1x,g(x)=k 2X,由图知 f(1)= ,.k1=.4 4又 g(4)= 5 , k2= 4 .2514从而 f(x)= x(x > 0),g(x)= x(x > 0).45 设A产品投入x万元，则B产品投入10-x万元,企业利润为y万元.则 y=f(x)+g(10-x)=x 4+10- x(0 < XW 10),4 5令 10-x =t,则+ 4t=4(

25、t5)2+65(0 W t w 10),2 16# / 10word# / 10word5 6525当 t= 时,y max=4,此时 x=10=3.75(万元).2164当A产品投入3.75万元，B产品投入6.25万元时，企业获得最大利润约为4万元.变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%如果月末出售，可获利 30%但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？解：设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元，在月末出售，可获利y2元，则y1=15%灶 10%(x+ 15%x)

26、=0.265x,y2=0.3x 700.利用函数图象比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图象如图3-2-1-10所示，得两图象的交点坐标为(20000,5300).由图象，知当x>20000时，y2>y1.当 x=20000 时，y1=y2 ;当 x<20 000 时，0、.当投资小于20000元时，月初出售；当投资等于20000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20000元时,月末出售.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k,通过x块玻璃以后强度为 y.(1)写出y关于x的函数关系式；1 通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下.(Ig3 -0.4771).3解