构造新数列求递推数列通项汇总

1、构造新数列求递推数列通项在研究数列问题时，数列的通项公式往往是首要解决的问题.在高中数学中，数列的通项公式的求法有多种，但笔者认为利用构造新数列把非特殊数列转化为等差，等比两种典型的特殊数列是最为重要的.但由于构造新数列需要比较灵活的变形技巧，学生在应用构造新数列求数列通项时却往往会感到力不从心.为此本文以2008年数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例，介绍利用构造新数列求数列通项的常用技巧，供读者参考.1 .求由an=pan+f(n)确定的数列通项公式例1已知an?两足a1=3,an41=2an+1,nwN,求数列an的通项公式.解令an*+x=2(an+x),解得x=

2、1.则数列4+1是首项为4,公比为2的等比数列.则an+1=(a+1)，2n,得an=2n*-1.故数列an的通项公式为an=2n-1,nwN*.2例2(2008湖北理科第21题)已知数列an满足a1=%,an噌=±an+n-4,nw3其中九为常数.求数列an的通项公式.2斛令an由+A(n+1)+B=(an+An+B),其中A,B为待止系数.32 1.12即a0+=a。-AnAB.又an4=an+n4,nwN，则解得A=3,B=21.3333由此可得数列an-3n+21为等比数列.则an-3n21=(a1-321)(?)n4化简得an=(18-)(2)nJ3n-21.3 3故数列a

3、n的通项公式为an=(18+九)(2尸+3n-21,nwN*.3评注对于求由an=pan4+f(n)确定的数列的通项公式，一般方法为寻找关于n的函数g(n)，构造递推关系an+g(n)=pan+g(n-1)，使得数列an+g(n)为等比数列，进而求出数列an的通项公式.构造新数列最关键是寻找函数g(n),这需要根据f(n)的结构而定，如f(n)是关于n的一次式，则g(n)也为一次式，如f(n)是关于n的二次函数，则g(n)也应为关于n的二次函数.在确定g(n)结构后再通过待定系数的方法求出g(n).2.求由an=panA+f(n)rn确定的数列的通项公式例3(2008年全国卷II第20题)设数

4、列%的前n项和为Sn.已知a1=a,an+=Sn+3n,nwN，求数列an的通项公式.解由于an4i=Sn+3n,an=Snl+3n,则an书=2an+23n,左右两边同除3n平得爷=2勺+2.令*_+x=2.(an+x),(其中x为待定系数，n22)，易得3n133n93n133nx=-2.则数列萼-2从第2项起为等比数列.33n3当n至2时，an2=(a2-2)-(2)解得a。=(a-3)，2n'+2.3n.3n3333故数列an的通项公式为ana,n=1：(a-3)2n+23n评注求由an=pan+f(n)rn确定的数列的通项公式，一般可以通过左右两边同除rn,消除不和谐的指数r

5、n,使其化归为求由形如为=p%,+f(n)确定的数列的通项公式.3.求由an=比确定的数列的通项公式qanr例4(2008年陕西卷第22题)已知数列4的首项a1=3e书=色，52an1n=1,2,.求an的通项公式.解由an+=3，得=1,t+2.令，+x.(1+x)，易得x=-1.2an1an13an3an13an11113n则数列-1为等比数列.从而-1=(-1),(-)，解得ann.anana13233n*故数列an的通项公式为an=-,ncN.23n评注对于由分式递推关系确定的数列，对左右两边进行倒数是一种常用的技巧和方法.通过取倒数再构造新数列，最终把数列化归为等比或等差数列，进而求

6、出原数列的通项公式.4.求由an卡=pan书+q.an确定的数列的通项公式例5(2008年天津卷文科第20题)在数列4中，首项4=1®=2,且an书=(1+q)an-qd，(n*2,q*0)，求数列侬的通项公式.解令an+xd=y(an+x4)，则an卡=(y-x)a+xya，由条件得yx=1qyq，解得x=-q,y=1，则数歹收an-qa0为公差为0的等差数列.xy=-q故an-qan_ia2-qa1=2-q,即anqan+2-q.当q=1时，an=a+n1=n.当q#1时，令an+m=q（an+m），则m=-q，则数列an-2是公比为q,q-1q-1n1首项为工的等比数列.从而a

7、n-QH='，qn/，即anqq7qTq7q7'n,q=1故数列an的通项公式为an=Jqn'+q-2.iq*1q-1例6(2008年广东理科第21题)设p,q为实数，a,P是方程x2-px+q=0的两个实根，数列xn满足x1=p,x2=p2-q,xn=pxn-qxn,n>3,nN*.求数列2的通项公式.解令xn+mxn=n(xn4+m%),则xn=(nm)%+nmxni,由条件得nm=p.n=u.、n=Pp,解得m,n的一组解为口或,、nm=-q、m=一口、m=-«则数列xn-P%是公比为a的等比数列，数列xn-口冬。是公比为P的等比数列.故xn-P水

8、门二=(x2P凶)：-n-,xn;xn=(x2,：i-X1)-:n".又X1=p,x2=p2q,a+P=p,aP=q,贝Ux2=a2+P2+aP,x1=0+P.则xn-1xnA=，-二X1n,当支#P时，解该两式有关xn,xn的方程，得:n1n1(P-«)xn.=Pn-an,(P-a)xn=Pn-af，即4='JP-a当久=P时，xn-P%=/,即为xn-«xnj=口"，则'一'：二=1.ota则数列是公差为1的等差数列，则3=二十n-1,解得xn=an+nan.otaan1:Ctp故数歹I4的通项公式为=（Pa'.an+

9、nan,a=P评注对于求由%"=pd书+qWn确定的数列的通项公式，一般先构造形如and2+xan+=y（an书+xan）的数列递推关系，使得数列an+xan为等比数列，进而求数列an的通项公式.其中的常数x,y利用待定系数法求得5.求由an电=an/2nq确定的数列的通项公式例7（2008年重庆理科第21题）设各项均为正数的数列an满足13a1=2,a2=-，an=an由23用n=N.求数列an的通项公式.433解对an=an由2左右取对数得log2an=log2(an由万Wn)3即log2an2二-210g2an1log2an._=_3解得1x=一2.y=-2令10g2an七+x

10、log2an书=y(log?an+xlog2an)，对照上式得丫一x一一2.xy=11.5由于10g2a2210g2a1=0,log2a2log2a1二,22故得数列lo4+2l。2%是各项为0的常数数列，数列1 一、,一.5log2an-log2an1是首项为，公比为-2的等比数列.2 21 一一故行10g2an210g2an1=0,log?anlog2anj=5(-2),2解上述有关10g2an,10g2an的方程得log2an=(-2)n/.n1故数列Jan的通项公式为an=2(.评注求由形如an也=an/.anq确定的数列的通项公式，考虑到左右两边次数的不统一，可以先左右两边取对数达到次数的统一，从而转化为求由anq2=p，an4+qan确定的数列的通项公式.6.利用三角函数构造新数列求数列的通项公式3an1例8已知数列an满足ai=J3,an书=-an,n=N*,求数列an的通项公解设an=tan中n,贝tan中n=an=a."=3=tan(中n一').113an/1tantann3故an=tan1n=tan4一二)=tan(®nq-)=tan61-(n,333又a1=m=tan3,则.=tan*T1=tanT.