1高一数学,集合及表示方法

1、Page 1n 1高一数学,集合及表示方法集合的有关概念：集合的有关概念： 2.对集合中元素三个特性的认识对集合中元素三个特性的认识 (1)确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的.即一个集合一旦即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的.要么是该集合中的元素要要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合. (2)互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，

2、互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的它的任何两个元素都是不同的.如方程如方程(x1)20的解构成的集合为的解构成的集合为1，而不，而不能记为能记为1,1.这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素的未知元素. (3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如集合a，b，c与与b，a，c是相等的集合是相等的集合.这个特性通常用来判断两个集合的关系这个特性通常用来判断两个集合的关系. 【注意】【注意】集合中元素的互异性在解题中

3、经常用到集合中元素的互异性在解题中经常用到.如已知两个集合的关系，如已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性.知识点 关系概念记法读法元素与集合的关系属于如果 ，就说a属于A“a属于A”不属于如果 ，就说a不属于A“a不属于A”2.元素与集合的关系a是集合A的元素aAa不是集合A的元素a APage 4n 4.有限集：含有有限个元素的集合。n 5.无限集：含有无限个元素的集合。n 6.空集：不含有任何元素的集合。（即元素个数为0，是有限集）。n 7.单元素集：仅含有一个元素的集合。n 8

4、.点集：集合中的元素全部由点组成。n 9.数集：集合中的元素全部由数组成。n 10.解集：由方程或方程组、不等式或不等式组的解作为元素构成的集合。Page 5n 11.集合的字母表示：通常用大写的拉丁字母A、B、C、D、表示集合。 如A=-1，1，0，34、B=斜三角形。n 12.元素的字母表示：通常用小写的拉丁字母a、b、c、d、表示元素。n 13.空集的符号表示： 或 。特别注意的是 不是空集，而是一个单元素集合。n 14.属于符号： 如-1 A、1 A、34 An 15.不属于符号： 如2 A、1.5 A名称非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR3.常用数

5、集及表示符号常用数集及表示符号列举法把集合中的元素 出来写在大括号内表示集合的方法描述法用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法4.集合的表示方法集合的表示方法一一列举Page 7n 21.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。n 22.列举法有三种形式： 是有限集而元素个数较少，如由0、2、-3、5组成的集合可表示为0，2，-3，5； 是有限集但元素个数较多，如由从50到100的所有整数组成的集合可表示为50，51，52，53，98，99，100； 是无限集且元素离散，如由所有的正偶数组成的集合可表示为2，4，6，8，重难点讲解重难点讲解 Page 8n 23

6、.描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。n 24.描述法有两种表述形式：n 格式： 元素代表| |元素属性1 1，元素属性2 2， 数式形式 如由不等式x-32的所有解组成的集合，可表示为 xx-32；由直线y=x+1上所有的点的坐标组成的集合，可表示为 （x，y） y=x+1 。 语言形式 如由所有直角三角形组成的集合，可表示为直角三角形；由所有小于6的正整数组成的集合，可表示为 小于6的正整数重难点讲解重难点讲解 Page 9下面集合里的元素是什么？n 1.大于3小于11的偶数（描述法）n 答案：2、4、6、8、10。用列举法可以表示为2，4，6，8，10。

7、n 2.平方后等于1的数（描述法）n 答案：-1、1。用列举法表示1，-1。n 3.中国古代的四大发明（描述法）n 答案：活字印刷、造纸、指南针、火药。用列举法可以表示为活字印刷，造纸，指南针，火药。典型例题分析典型例题分析Page 10用描述法写出集合如能化简并化简为列举法的形式n 4.由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字（没有重复）所排成的一切自然数。n 答：由数字1，3，6中抽出一部分或全部数字（没有重复）所排成的自然数n =1，3，6，13，31，16，61，36，63，136，361，613，316，163，631。n 5.直角坐标系第二象限内所有的点的坐标。n 答：(x,y)x0

8、典型例题分析典型例题分析 1.“高个子的同学高个子的同学”、“我国的小河流我国的小河流”能构成集合吗？能构成集合吗？ 【提示提示】“高个子高个子”是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算是一个含糊不清的概念，具有相对性，多高才算高？同样地，高？同样地，“小河流小河流”的的“小小”具体指什么，是流量还是长度？它们都没具体指什么，是流量还是长度？它们都没有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象有明确的标准，也就是说，它们都是一些不能够确定的对象.因此，它们都因此，它们都不能构成集合不能构成集合. 2.“由由1,2,2,4,2,1能构成一个集合，这个集合中共有能构成一个集合，这个集合中

9、共有6个元素个元素”这一说法这一说法是否正确？是否正确？ 【提示提示】在在1,2,2,4,2,1中，只有中，只有3个不同的数个不同的数(对象对象)1,2,4，并且都是确，并且都是确定的不同对象定的不同对象.因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有因此，它们能构成集合，但在这个集合中只有3个元素个元素.集合中元素的特性 已知集合已知集合A1,0，a，若，若a2A，求实数，求实数a的值的值.【思路点拨】如果令如果令a2=1，0或或a解方程求解方程求a检验得检验得x值值【解析】【解析】(1)若若a21，则，则a1，当当a1时，集合时，集合A中有两个相同元素中有两个相同元素1，舍去；，舍去；当当a1时

10、，集合时，集合A中有三个元素中有三个元素1,0，1，符合，符合. (2)若若a20，则，则a0，此时集合此时集合A中有两个相同元素中有两个相同元素0，舍去，舍去.(3)若若a2a，则，则a0或或1，不符合集合元素的互异性，都舍去，不符合集合元素的互异性，都舍去.综上可知：综上可知：a1. 根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，根据集合中元素的确定性可以解出字母的所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验，特别是互异性，最易被忽略易被忽略.另外，在利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运另外，在

11、利用集合中元素的特性解题时要注意分类讨论思想的运用用. 1.判断下列说法是否正确，并说明理由判断下列说法是否正确，并说明理由.(1)a，b，c，d与与d，c，b，a是两个不同的集合；是两个不同的集合；(2)集合集合 中有中有5个元素；个元素；(3)0与与1之间的全体无理数构成一个集合；之间的全体无理数构成一个集合；(4)集合集合A(1，3)与与B(3,1)是同一集合是同一集合. 【解析】(1)不正确不正确.因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求因为集合中的元素具有无序性，即对于元素不要求顺顺序，只要是相同几个元素即可，故序，只要是相同几个元素即可，故a，b，c，d与与d，c，b，a是两个

12、相是两个相同同的集合的集合. (2)不正确不正确.对于一个集合，它的元素是互异的，而对于一个集合，它的元素是互异的，而 0.50，因此，此种表，因此，此种表示不能构成集合示不能构成集合.要想表示集合，应写作要想表示集合，应写作 ，含有，含有4个元素个元素. (3)正确正确.符合集合中元素的特性，它是一个无限数集符合集合中元素的特性，它是一个无限数集. (4)不正确不正确.A(1，3)表示的是由点表示的是由点(1，3)组成的单元素点集，组成的单元素点集，B(3,1)表示的是由点表示的是由点(3,1)组成的单元素点集，而组成的单元素点集，而(1，3)和和(3,1)是不是不同同的两个点，因此的两个点

13、，因此A与与B是不同的集合是不同的集合.元素与集合的关系 设集合设集合Ax|x2k，kZ，Bx|x2k1，kZ.若若aA，bB，试判断，试判断ab与与A，B的关系的关系.【思路点拨思路点拨】因为因为A是偶数集，是偶数集，B是奇数集，所以是奇数集，所以a是偶数，是偶数，b是奇数，从是奇数，从而而ab是奇数是奇数.【解析解析】aA，a2k1(k1Z).bB，b2k21(k2Z).ab2(k1k2)1.又又k1k2Z，abB，从而，从而ab A. 判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对判断一个元素是不是某个集合的元素，就是判断这个对象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个

14、元素是某象是不是具有这个集合的元素所具有的特征性质，反之，如果一个元素是某个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质个集合的元素，这个元素也一定具有这个集合中元素共有的特征性质. 2.所给下列关系正确的个数是所给下列关系正确的个数是()R； Q；0N；|4| N. A.1B.2 C.3 D.4【解析解析】是实数，是无理数，是实数，是无理数，正确，正确，N表示正整数集，而表示正整数集，而0不是正整数；不是正整数；|4|是正整数，是正整数，错误错误.【答案答案】B3集合的表示方法 用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合(1)比比4大大2的数；的数；(2)方程方程x2y2

15、4x6y130的解集；的解集；(3)不等式不等式x23的解的集合；的解的集合；(4)二次函数二次函数yx21图象上所有点组成的集合图象上所有点组成的集合.【思路点拨思路点拨】解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无解答本题的关键是弄清集合中的元素是什么，有限个还是无限个限个.【解析】【解析】(1)比比4大大2的数显然是的数显然是6，故可表示为，故可表示为6.(2)方程方程x2y24x6y130可化为可化为(x2)2(y3)20 ，方程的解集为方程的解集为(2，3).(3)由由x23，得，得x5.故不等式的解集为故不等式的解集为x|x5.(4)“二次函数二次函数yx21的图象上的点的

16、图象上的点”用描述法表示为用描述法表示为(x，y)|yx21. (1)对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存存在明显规律的集合，可采用列举法在明显规律的集合，可采用列举法.应用列举法时要注意：元素之间用应用列举法时要注意：元素之间用“，”而不是用而不是用“、”隔开；元素隔开；元素不能重复不能重复；不考虑不考虑元素元素顺序顺序.(2)对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以通过将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法出来，可以通过将集合中元素的

17、共同特征描述出来，即采用描述法. 3.用适当的方法表示下列集合用适当的方法表示下列集合(1)二元二次方程组二元二次方程组 的集合；的集合；(2)大于大于4的全体奇数组成的集合；的全体奇数组成的集合；(3)A(x，y)|xy3，xN，yN；(4)一次函数一次函数y2x1图象上所有点组成的集合图象上所有点组成的集合.【解析解析】(1)列举法：列举法：(0,0)，(1,1)；(2)描述法：描述法：x|x2k1，k2，kN；(3)列举法：因为列举法：因为xN，yN，xy3，所以所以所以所以A(0,3)，(1,2)，(2,1)，(3,0)；(4)描述法：描述法：(x，y)|y2x1.下列说法：下列说法：

18、集合集合xN|x3x用列举法表示为用列举法表示为1,0,1；实数集可以表示为实数集可以表示为x|x为所有实数为所有实数或或R；方程组方程组 的解集为的解集为x1，y2.其中正确的有其中正确的有()A.3个个B.2个个C.1个个 D.0个个【错解错解】A【错因错因】对于描述法表示集合，一应清楚符号对于描述法表示集合，一应清楚符号“x|x的属性的属性”表示的是所表示的是所有具有某种属性的有具有某种属性的x的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表的全体，而不是部分；二应从代表元素入手，弄清楚代表元素是什么元素是什么.【正解】【正解】由由x3x，即，即x(x21)0，得，得x0或或x1或或x1，因为，因为1N，故集合，故集合xN|x3x用列举法表示应为用列举法表示应