第一章静电场 2012-11

1、第一章 静电场 第一章第一章 静静 电电 场场 静电场：静电场：相对观察者静止且量值不随时间变化相对观察者静止且量值不随时间变化的电荷所产生的电场。的电荷所产生的电场。 静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、静电场是本课程的基础。由此建立的物理概念、分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场分析方法在一定条件下可类比推广到恒定电场, ,恒定恒定磁场及时变场。磁场及时变场。 静电场知识结构框图静电场知识结构框图1.1.1 1.1.1 库仑定律库仑定律1.1 1.1 电场强度电场强度 21202121R4qqeF N( ( 牛顿牛顿) )1221FF适用条件适用条件 两个可视为点电荷的带电体之间

2、相互作用力两个可视为点电荷的带电体之间相互作用力; ; 无限大真空情况无限大真空情况 ( (式中式中可推广到无限大各向同性均匀介质中可推广到无限大各向同性均匀介质中1291085. 836100F/m)(022102112R4qqeF N( ( 牛顿牛顿) )图1.1.1 两点电荷间的作用力 库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明库仑定律是静电现象的基本实验定律。大量试验表明: : 真空中两个静止的点电荷真空中两个静止的点电荷 与与 之间的相互作用力之间的相互作用力: :2q1q1.1.2 1.1.2 静电场基本物理量静电场基本物理量电场强度电场强度定义：定义： t0qq)z,y,x(

3、)z,y,x(limtFEV/m (N/C) 电场强度电场强度（Electric Field Intensity ) E 表示单位正电荷在表示单位正电荷在电场中所受到的力电场中所受到的力(F ), , 它是空间坐标的矢量函数。它是空间坐标的矢量函数。a) a) 点电荷产生的电场强度点电荷产生的电场强度r20tpr4qq)(eFrEV/mV/m4qq)(20tprrrrrrFrE304)(qrrrrR20R4qeV/mV/m图1.1.2 点电荷的电场 b) n个点电荷产生的电场强度个点电荷产生的电场强度 ( (注意注意: :矢量叠加矢量叠加) )c) c) 连续分布电荷产生的电场强度连续分布电荷

4、产生的电场强度)(dq41)(30rrrrrrdEkN1k2kk0kkN1k2kk0Rq41q41)(errrrrrrEV/m体电荷分布体电荷分布dV)(dqrdq41)(V30rrrrrER v20Rdv)(41er图1.1.3 体电荷的电场思考思考: :线电荷与面电荷产生的电场强度线电荷与面电荷产生的电场强度? ?d) 场强计算公式小结场强计算公式小结 点电荷的电场为：点电荷的电场为： 多点电荷电场为：多点电荷电场为： 线电荷的电场为线电荷的电场为：204)()(lrdlRr erE 面电荷的电场为面电荷的电场为：204)()(SrdSRr erE 体电荷的电场为：体电荷的电场为：204)

5、()(VrdVRr erE第一组第一组第二组第二组 无限长直线的电场无限长直线的电场 无限大平面的电场无限大平面的电场 电耦极子的电场电耦极子的电场( , , )Ez 02e 0( )2nE xe 实或空心球外电场实或空心球外电场20( , , )4RqE reR 204RqEeR30=(2cos e +sin e )4rpEr=1204nRiiqEeR1.1.3 电位电位1) 电场内积分与路径无关电场内积分与路径无关例例: 点电荷电场内电场力的做功过程点电荷电场内电场力的做功过程(如图如图):2200011 1=dr=(-)444BABrrArABe dlqqqWrrrr上述过程可以推广到任

6、意源的电场中上述过程可以推广到任意源的电场中, ,因此静电场是保守场。因此静电场是保守场。保守场保守场有势场有势场无旋场无旋场积分与路积分与路径无关径无关沿任意闭回沿任意闭回路积分为零路积分为零=-=0EE 点电荷的电位为：点电荷的电位为：200( )44RRRqqrE dledlRR 多个点电荷的电位为：多个点电荷的电位为：110011( )44nnkkkkkkqqrRrr 线电荷的电位：04)()(lRdlrr 面电荷的电位：04)()(SRdSrr 体电荷的电位：04)()(VRdVrr 如果以无穷远点为零电位参考点，则P点电位为：PPdlE 如果以Q点为零电位参考点，则P点电位为：QP

7、PdlE (由此定义由此定义PQ两点间的电位差两点间的电位差(电压电压)2) 常用的电位计算公式常用的电位计算公式 3) 一个电偶极子产生的电位和电场强度一个电偶极子产生的电位和电场强度202r0R4cosqdR41ep 极化强度极化强度 P 是电偶极矩体密度，根据叠是电偶极矩体密度，根据叠加原理，体积加原理，体积 V 内电偶极子产生的电位为：内电偶极子产生的电位为：dV)()(41V30rrrrrPzqd ep 式中式中图1.2.15 电偶极子产生的电位利用关系式利用关系式 ，可以求，可以求得位于原点的电偶极子在离它得位于原点的电偶极子在离它r 远处产生的电场强度为远处产生的电场强度为= -

8、 E30=(2cos e +sin e )4rpEr球坐标系等位线方程：cosCr ，Crp204cos2sinrC线方程：4) 电力线与等位线（面） 电力电力线：线：曲线上每一点切线方向应与该点电场强度曲线上每一点切线方向应与该点电场强度E E的方向一致，的方向一致，若若 是电力线的长度元，是电力线的长度元，E E 矢量将与矢量将与 方向一致方向一致，l dl d0Edl电力线微分方程电力线微分方程dzEdyEdxEzyx在直角坐标系中：在直角坐标系中：当取不同的当取不同的 C 值时，可得到不同的等位线（面）。值时，可得到不同的等位线（面）。等位面等位面: : 在静电场中电位相等的点的曲面称

9、为等位面，即在静电场中电位相等的点的曲面称为等位面，即C)z ,y,x(图1.2.3 电偶极子的等位线和电力线图1.2.4 点电荷与接地导体的电场在柱、球坐标系如何在柱、球坐标系如何? ?电场强度垂直于导体表面；电场强度垂直于导体表面； 导体是等位体，导体表面为等位面；导体是等位体，导体表面为等位面； 导体内电场强度导体内电场强度 E 恒恒为零；为零；电荷分布在导体表面，且电荷分布在导体表面，且。0E 1-2 1-2 高斯定律高斯定律1) 1) 静电场中导体的性质静电场中导体的性质图1.2.13 静电场中的导体2) 2) 静电场中的电介质静电场中的电介质 ( (请看演示请看演示) ) 电介质电

10、介质在外电场在外电场E作用作用下发生下发生极化极化，形成有向排列的电偶极矩；，形成有向排列的电偶极矩； 电介质内部和表面产生极化电荷；电介质内部和表面产生极化电荷； 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。用用极化强度极化强度P P 表示电介质的极化程度，即表示电介质的极化程度，即V0VpPlimC/m2式中式中 为体积元为体积元 内电偶极矩的矢量和，内电偶极矩的矢量和，P 的方向从负极化电荷指向正的方向从负极化电荷指向正极化电荷。极化电荷。pVEP0e（ 在各向同性、线性、均匀介质在各向同性、线性、均匀介质) ) 0电介质的极化率电介质的极化率, ,无量纲量。

11、无量纲量。dVR)(41V2R0erPR1R1R2RedVR1)(41V0rPdVR)(41dVR)(41V0V0rPrP矢量恒等式：矢量恒等式：uu)u(FFF 图1.2.16 体积V内电偶极矩产生的电位dSR)(41dVR)(41 Sn0V0erPrP散度定理散度定理 令PpnpeP 极化电荷体密度极化电荷体密度极化电荷面密度极化电荷面密度) () ()(dSR41dVR41rSp0Vp0rr( (？) )3）电介质极化引起的电场计算电介质极化引起的电场计算 根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零根据电荷守恒原理，这两部分极化电荷的总和为零. . D 的通量的通量只取决于高斯面内的自

12、由电荷，只取决于高斯面内的自由电荷，与介质无关，但不与介质无关，但不能认为能认为D 的分布与介质无关。的分布与介质无关。a) 高斯定律的积分形式高斯定律的积分形式DdVdVVVDqdSSD高斯公式高斯公式3. 3. 电介质中的高斯定律电介质中的高斯定律0000+111=(+)=(-)=(-)PPSVVVVVsq qE dSdVdVdVPdVdVP dS0(+ )=SVE P dSdVb）高斯定律的微分形式）高斯定律的微分形式 在各向同性介质中在各向同性介质中EEEEEPED0re00e001)(介电常数，单位（介电常数，单位（F/mF/m）平行板电容器中放入一块介质后，其平行板电容器中放入一块

13、介质后，其D 线、线、E 线和线和P 线的分布。线的分布。 D 线由正的自由电荷发出，终止于负的自由电荷； P 线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷线由负的极化电荷发出，终止于正的极化电荷。 E 线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；线的起点与终点既可以在自由电荷上，又可以在极化电荷上；ED线E线P线图图1.2.17 D、E与与 P 三者之间的关系三者之间的关系例例1.2.21.2.2 求电荷线密度为求电荷线密度为 的无限长均匀带电体的电场。的无限长均匀带电体的电场。解：解：电场分布特点：电场分布特点： D 线皆垂直于导线，呈线皆垂直于导线，呈辐射辐射状态；状态； 等等 r

14、 处处D 值相等；值相等； 取取长为长为L L，半径为，半径为 r r 的封闭圆柱的封闭圆柱面为高斯面。面为高斯面。, qdSSD由由 得得LrL2D1rr2eD1r0eDEr2011122SS33S2211SddddSDSDSDSDL图1.2.20 电荷线密度为 的无限长均匀带电体4. 4. 高斯定律的应用高斯定律的应用 高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定高斯定律适用于任何情况，但只有具有一定对称性的场才能对称性的场才能得到解析解得到解析解( (即即: : D的数值为常数，且的数值为常数，且D*dS在积分面上在积分面上为常数为常数) )。 球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球

15、壳等。球对称分布：包括均匀带电的球面，球体和多层同心球壳等。 轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。轴对称分布：包括无限长均匀带电的直线，圆柱面，圆柱壳等。试问： 能否选取正方形的高斯面求解球对称场( (a a) )( (b b) )( (c c) )图1.2.20. 球对称场的高斯面图1.2.21. 轴对称场的高斯面无限大平面电荷：无限大平面电荷：1.3 1.3 静电场的基本方程静电场的基本方程 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1.3.1 1.3.1 静电场的基本方程静电场的基本方程 静电场是一个静电场是一个无旋、有源场无旋、有源场，静止电荷就是静电场的源。，静止电荷就

16、是静电场的源。这两个重要特性用简洁的数学形式为：这两个重要特性用简洁的数学形式为：0 Ef D)(E)(ED0dllEqdSSD解：根据解：根据静电场的旋度恒等于零静电场的旋度恒等于零的性质的性质, ,zyxzyxAAAzyxeeeAzxyyzxxyzyAxAxAzAzAyAeee)()()(0例例1.3.11.3.1 已知已知 试判断它能否表示个静电场？试判断它能否表示个静电场？ ，zyxz5y4x3eeeA对应静电场的基本方程对应静电场的基本方程 ，矢量，矢量 A 可以表示一个静电场。可以表示一个静电场。0E 以分界面上点以分界面上点 P 作为观察点，作一作为观察点，作一小扁圆柱高斯面（小

17、扁圆柱高斯面（ ）。 0L n1n2DD1.3.2 1.3.2 分界面上的衔接条件分界面上的衔接条件1 1、电位移矢量、电位移矢量D的衔接条件的衔接条件SSDSDn2n1则有则有=sD dSq 根据根据 图1.3.1 在电介质分界面上应用高斯定律 分界面两侧的分界面两侧的 D 的法向分量的法向分量不连续不连续。当。当 时，时，D 的法向分量的法向分量连续连续。0)(12DDn当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为当分界面为导体与电介质的交界面时，分界面上的衔接条件为0EDt2n2t2t 1n1n2EEDD图1.3.3a 导体与电介质分界面nnDD212 2、电场强度、电场强度E

18、的衔接条件的衔接条件图1.3.2 在电介质分界面上应用环路定律 分界面两侧分界面两侧 E 的切向分量连续。的切向分量连续。 以点以点 P P 作为观察点，作一小矩形回路作为观察点，作一小矩形回路0lElE1t21t 1t 1t2EE0dllE( ),( ),根据根据 则有则有 0L 12()0nEE图1.3.3 分界面上E线的折射在交界面上不存在在交界面上不存在 时，时，E、D满足折射定律。满足折射定律。222111n2n1cosEcosEDD2211t2t 1sinEsinEEE2121tantan折射定律折射定律练习练习: : 看课本看课本P22页例页例1-101-10，并考虑三维情况，并

19、考虑三维情况0)2dE2dE(limdlimn2n10d212121lE21因此因此表明表明: : 在介质分界面上，电位是连续的。在介质分界面上，电位是连续的。3 3、用电位函数、用电位函数 表示分界面上的衔接条件表示分界面上的衔接条件设点设点1 1与点与点2 2分别位于分界面的两侧，其间距为分别位于分界面的两侧，其间距为d , ,则则 当当 时时0d nED,nED22n22n211n11n1nn2211表明表明: : 一般情况下一般情况下 , ,电位的导数是不连续的。电位的导数是不连续的。)0(图1.3.4 电位的衔接条件 对于导体与理想介质分界面，用电位对于导体与理想介质分界面，用电位

20、表示的衔接条件应是表示的衔接条件应是如何呢？如何呢？解：忽略边缘效应解：忽略边缘效应xeE1221021ddUxeE1221012ddUx1121e EExe22110SSq2211EE02211UdEdE图（图（a a）02211qSS2211图（图（b b）例例1.3.21.3.2 如图如图( (a) )与图与图( (b b) )所示平行板电容器所示平行板电容器, ,已知已知 和和 , ,图图(a)(a)已知极板间电压已知极板间电压U0 , , 图图( (b) )已知极板上总电荷已知极板上总电荷 , ,试分别求其中的场度。试分别求其中的场度。12121,S,S,d ,d20q（a）（b）图

21、图1.3.5 1.3.5 平行板电容器平行板电容器1.4 1.4 静电场边值问题静电场边值问题 唯一性定理唯一性定理1.4.1 1.4.1 泊松方程与拉普拉斯方程泊松方程与拉普拉斯方程推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：推导微分方程的基本出发点是静电场的基本方程：2泊松方程泊松方程E0EED常数EEE例例1.4.11.4.1 列出求解区域的微分方程列出求解区域的微分方程 时当 002拉普拉斯方程拉普拉斯方程22222222zyx 拉普拉斯算子拉普拉斯算子0022123332图1.4.1 三个不同媒质区域的静电场 D已知场域边界上各点电位值图图1.4.2 1.4.2 边值问题框图边值问题

22、框图自然自然边界条件边界条件参考点电位 有限值rrlim边值问题边值问题微分方程边界条件场域场域边界条件边界条件分界面分界面衔接条件衔接条件第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件已知场域边界上各点电位的法向导数一、二类边界条件的线性组合，即022nn221121)(sf1S)(sfn2S)()(sfn3S边值问题研究方法计算法实验法作图法解析法数值法实测法模拟法定性定量积分法积分法分离变量法分离变量法镜像法、电轴法镜像法、电轴法微分方程法微分方程法保角变换法保角变换法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法模拟电荷法模拟电荷

23、法数学模拟法数学模拟法物理模拟法物理模拟法图1.4.3 边值问题研究方法框图例例1.4.21.4.2 图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长图示长直同轴电缆横截面。已知缆芯截面是一边长为为2b的正方形，铅皮半径为的正方形，铅皮半径为a，内外导体之间电介质的介电常，内外导体之间电介质的介电常数为数为 ，并且在两导体之间接有电源，并且在两导体之间接有电源 U0 ，试写出该电缆中静，试写出该电缆中静电场的边值问题。电场的边值问题。 解：解：根据场分布对称性，确定场域。根据场分布对称性，确定场域。0yx22222（阴影区域）场的边值问题场的边值问题0bx0byby0bxU),(及00y0 xay

24、x222),(0 xayb0 x),(0yaxb0y),(图1.4.4 缆心为正方形的同轴电缆横截面012212drdrdrdr1)()0 (ar0drdrdrdr122222)()(ra边界条件为边界条件为积分之，得通解积分之，得通解43221021CrC)r(Cr1C6r)r( 例例1.4.3 设有电荷均匀分布在半径为设有电荷均匀分布在半径为a 的介质球型区域中的介质球型区域中, ,电荷体密电荷体密度为度为 ，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。，试用解微分方程的方法求球体内、外的电位及电场。解解: : 采用球坐标系采用球坐标系, ,分区域建立方程分区域建立方程ar2ar1ar2

25、0ar10rr有限值0r1参考点电位参考点电位0r2图1.4.5 体电荷分布的球形域电场 解得解得 2314320000,23aaCCCC电场强度电场强度（球坐标梯度公式）（球坐标梯度公式）ar03rrr0r111eerE)(rar3arr202r22eerE)(2电位：电位：rar3arar0ra36r0322201)()()(1.4.3 1.4.3 唯一性定理唯一性定理唯一性定理 1.)TheoremUniquness(,定理称之为静电场的唯一性的解是唯一的拉斯方程泊松方程或拉普位微分方程满足给定边界条件的电在静电场中)(,证明证明：（反证法）：（反证法） 唯一性定理为静电场问题的多种解法

26、唯一性定理为静电场问题的多种解法( (试探解、数值解、试探解、数值解、解析解等）提供了思路及理论根据。解析解等）提供了思路及理论根据。1.5 1.5 分离变量法分离变量法1.5.1 1.5.1 直角坐标系中求二维泊松方程：直角坐标系中求二维泊松方程：02222yx取试探解取试探解)()(),(yxyx2122222121dyd1dxd1代入式代入式(1)(1)有有2222dyd1，2121dxd1设设)6(00dyd10dxd122222121 )7(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2122 )8(0KKdyd1Kdxd12n2n22222n2121 )()()(yDCxBAyx0

27、00021)(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnn1nnnnnnnnn1nn图1.5.2 双曲函数 例例1.5.11.5.1 图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与图示一无限长金属槽，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为三壁绝缘且保持电位为 ，金属槽截面，金属槽截面为正方形（边为正方形（边长为长为a），试求金属槽内电位的分布。），试求金属槽内电位的分布。 xasin100解：选定直角坐标系解：选定直角坐标系0 xa100000yxay0axax0ayax00yay00 x22222),(),(),(),(sin（D

28、域内）（1）（2）（3）（4）(5）边值问题边值问题图11.5.1 接地金属槽的截面3 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。)()()(yDCxBAyx000021)(sincos()sincos)(yshKDychKCxKBxKAyKDyKCxshKBxchKAnnnnnnn1nnnnnnnnn1nn4 4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 0B0Bn00aKFaKDBnnnnnsinsin),( 321nanKn0A0A0A0ay00 xy)ann0轴0C0C0C0ax00y

29、x)bnn0轴0ay0ax)c yanshxanFyx1nn)sin(),(yanshxanFyx1nn)sin(),(d） ay ax100ax0sin xanaanshFax1001nnsin)(sinxanF1nnsin 比较系数法：比较系数法：当 时，1n 0F0Fnn yaxsh)asin(sh100)y,x(（D域内）当 时，1n 100shFF11 sh100F1 根据经验也可定性判断通解中能否舍去根据经验也可定性判断通解中能否舍去 或或 项。项。2nK2nK 注意参看课本中确定系数的另一种方法。注意参看课本中确定系数的另一种方法。1.6 有限差分法有限差分法 相关的知识相关的知

30、识: 1) 唯一性定理是解题的根据。唯一性定理是解题的根据。 2) 解析解解析解vs数值解数值解. 1. 基本概念基本概念：网格：网格, 节点节点, 步长步长, 离散化。离散化。)(sfFyxL2222边值问题：边值问题：1 1）选定圆柱坐标）选定圆柱坐标, ,列出列出边值问题边值问题01101122222222122112)()(（1）（2）（3）（4）(5）（6）aa0 例例1.5.21.5.2 在均匀电场在均匀电场 中，放置一根中，放置一根半径为半径为a a，介电常数为，介电常数为 的无限长均匀介质的无限长均匀介质圆柱棒，它的轴线与圆柱棒，它的轴线与 垂直。柱外是自由垂直。柱外是自由空间

31、空间 。试求圆柱内外电位函数。试求圆柱内外电位函数 和电和电场强度场强度 的分布。的分布。 0EEEa2a10a2a1102EEx0cos根据根据场分布的对称性场分布的对称性02),(),(),(及01),(P122图图1.5.4 1.5.4 均匀电场中的介质圆柱棒均匀电场中的介质圆柱棒0ndd0RnddRdRd22222223 3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。当 时，0n 000000DCBAR)(ln)(当 时，0n nDnCBARnnnnnnnnsincos)()()(ln(),(0000DCBA)sincos( )(nDnCBAnn1nn

32、nnn2 2）分离变量分离变量, , 设设 代入式（代入式（1 1）得）得)()(),(R222222ndd1ddRRdRdR或nBABA1nnnnn00cos)() ln(),(根据根据根据 ， 比较系数得比较系数得cos01E当 时，1n ，EA0B0A100，nBE1nnn1coscos),(0B0B0A0n0002，1nnn2nAcos),(4 4）利用给定边界条件确定积分常数。）利用给定边界条件确定积分常数。根据根据场分布对称性场分布对称性02 )/,(),(),(及当 时，1n ，0ABAno0通解中不含通解中不含 的奇函数项，的奇函数项，通解为所以,0D0Cn0EaBE1A200

33、1001)(，解之，得解之，得比较系数法：比较系数法：)(121011AaBEaAaBEa当 时，得1n 当当 时，时， ， 则最终解则最终解1n 0BAnncoscos)(),(cos)()(cos),(E2E1EaE000020201aa01n1nn1n1nn01nnn1nnnnanAnaBEnaAnaBEacos)coscos(coscoscosc）由分界面 的衔接条件，得a 介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场介质柱内的电场是均匀的，且与外加电场E0平行平行。 因因 ， ，所以，所以 。0121002EE 介质柱外的电场非均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电介质柱外的电场非

34、均匀变化，但远离介质柱的区域，其电场趋近于均匀电场场 。0EeEeeE2cos)()(Ea1E2Ex202011x00 xx22asinE)(a)(1(2020ea0 图图1.5.5 1.5.5 均匀外电场中介质均匀外电场中介质圆柱内外的电场圆柱内外的电场 1.6.2 1.6.2 差分格式差分格式 离散化离散化：把偏导数用有限差分代替，对于方程：把偏导数用有限差分代替，对于方程 具体表示如下具体表示如下)(|. ., 02222sftsyxLxxxhyhxyhxx2),(),(|00000230100002222), 2/(), 2/(|0hhyhxyhxxxxxx2402222|0hyyy显

35、然，显然，h越小上述表达式近似效果越好。把上述越小上述表达式近似效果越好。把上述最后两个式子代到拉普拉斯方程，得最后两个式子代到拉普拉斯方程，得 特别地，当四个点中某个特别地，当四个点中某个是边界点时，上述公式变为是边界点时，上述公式变为04043210)11(11)1 ()1 (04321qpqpqqpp1.6.1 有限差分的网格分割注注: : 当当p=q=1时就还原成内点格式。时就还原成内点格式。解差分方程的目的是解出所有节点的值解差分方程的目的是解出所有节点的值. .3. 差分方程的求解差分方程的求解联立方程求解联立方程求解(当节点数较少时当节点数较少时)；高斯塞德尔迭代法的表达式：高斯

36、塞德尔迭代法的表达式： 这里这里k表示迭代次数，表示迭代次数， 注意：注意：1) 遇到边界点时必须用边界值代替；遇到边界点时必须用边界值代替；2) 方程的个数等于未知节点的个数方程的个数等于未知节点的个数.3) 设置一个合适的停止条件设置一个合适的停止条件: )(41)(1,)(, 1) 1(1,) 1(, 1) 1(,kjikjikjikjikjiWkjikji|)(,) 1(,(2) 逐次超松弛法逐次超松弛法 是高斯塞德尔迭代法的加速收敛的版本。是高斯塞德尔迭代法的加速收敛的版本。 基本格式如下：基本格式如下： 是一个使用者确定的因子，是一个使用者确定的因子， 。 具体的流程图如下。具体的

37、流程图如下。 注意：注意：1) 确定好各点的初值，初值越好收敛的越快。确定好各点的初值，初值越好收敛的越快。2) 注意第二个格式的建立理由。注意第二个格式的建立理由。)4(4)(,) 1(1,) 1(, 1)(1,)(, 1)(,) 1(,kjikjikjikjikjikjikji21启动赋边界节点已知电位值赋予场域内各节点电位初始值累计迭代次数N=0N=N+1按超松弛法进行一次迭代，求 所有内点 相邻二次迭代值的最大误差是否小于打印 停机)(,1Nji),(jiN，NY图1.6.2 迭代解程序框图4. 例题例题例题例题 117 应用有限差分法求静电场边值问题应用有限差分法求静电场边值问题.,

38、100),20(, 0), 0(0)10,(), 0(0)10,()0 ,()100,200( , 02222yuyuxuyuxuxuyxyuxu解解: 取一致步长取一致步长h=5，因此得到三个节点，根据公，因此得到三个节点，根据公 式式1-70得到这三个节点的三个差分方程为得到这三个节点的三个差分方程为 迭代形式为迭代形式为: : 设置迭代误差，设置迭代误差， 设置初次迭代值设置初次迭代值经过六次迭代收敛经过六次迭代收敛. . 当步长当步长h=2.5=2.5时，有时，有2121个节点，经过个节点，经过3232次叠次叠代收敛代收敛. . 此时需要此时需要2121个差分方程。个差分方程。1212

39、33240404100,uuuuuuu112112131132441004/()/()/kkkkkkkuuuuuuu55 10W 1.7 1.7 镜像法与电轴法镜像法与电轴法边值问题边值问题：（导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（除（除 q 所在点外的区域）所在点外的区域）（S S 为包围为包围 q 的闭合面）的闭合面）s2qd00SD1.1.平面导体的镜像平面导体的镜像 镜像法镜像法: : 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布, ,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理

40、。上半场域边值问题上半场域边值问题：0r4qr4q0002（除（除 q 所在点外的区域）所在点外的区域） （导板及无穷远处）（导板及无穷远处）（S S 为包围为包围q 的闭合面）的闭合面）sqdSD讨论讨论: : 请看课本请看课本1-7-11-7-1所示的问题所示的问题. .（方向指向地面方向指向地面）整个地面上感应电荷的总量为整个地面上感应电荷的总量为EEEpcos20pr4q2E 23220 xh2qh/)(2322p0pxh2qhE/)(xdx2xh2qhdS02322Sp/)(02122xh1qh/)(q例例1.7.11.7.1 求空气中一个点电荷求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电

41、荷分布情况。在地面引起的感应电荷分布情况。q解解: : 设点电荷设点电荷 离地面高度为离地面高度为h，则则q图1.7.2 点电荷 在地面引起的感应电荷的分布q2. 2. 导体球面镜像导体球面镜像设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。1) 1) 边值问题边值问题：（除（除q点外的导体球外空间点外的导体球外空间) )000r2导球面0r4qr4q2010pcoscosRb2RbrRd2Rdr2222210bqdqR2RdqRbq22222222cos)()()(0bqdq0RdqRbq22222222)()(qd

42、RqdbqdRb2球面上任一点电位为位于球内设镜像电荷,q2)图1.7.3 点电荷对接地导体球面的镜像由由叠加原理叠加原理，接地导体球外任一点，接地导体球外任一点 P 的电位与电场分别为的电位与电场分别为2010pr4qr4q)(210r1dRr14q21r220r210Pdr4qRr4qeeE图1.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图 镜像电荷不能放在当前求解的镜像电荷不能放在当前求解的场域内。场域内。镜像电荷等于负的感应电荷镜像电荷等于负的感应电荷图1.7.4 接地导体球外的电场计算在接地球基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置在接地球基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置解解: : 边值问

43、题：边值问题：( ( 除除 q 点外的导体球外空间）点外的导体球外空间）0d000Ssr2SD常数球面 ( ( S 为球面面积为球面面积 ) )例例1.7.21.7.2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷试计算不接地金属球附近放置一点电荷 时的电场分布。时的电场分布。 q任一点电位及电场强度为：任一点电位及电场强度为：)()(210210drRdrRr14qrqrqrq41)(21r22r21r20drRdrRr14qeeeEq qd dp pr rr r1 1r r2 2+ +q q- -q qR Ro ob b图1.7.6 点电荷对不接地金属 球的镜像感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等

44、效电荷感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。S,0dSD正负镜像电荷绝对值相等。正负镜像电荷绝对值相等。0,constS正镜像电荷只能位于球心。正镜像电荷只能位于球心。 试确定用镜像法求解下列问题时，其试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数，大小与位置镜像电荷的个数，大小与位置? ?补充题补充题：图1.7.8 点电荷对导体球面的镜像图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图 不接地导体球面上的正负感应电不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷荷的绝对值等于镜像电荷 吗吗? ? 为什为什么？么？q3. 3. 不同介质分界面的镜像不同介质分界面的镜像ttEE21nnD

45、D21边值问题边值问题：012022( (下半空间下半空间) )( (除除 q 点外的上半空间点外的上半空间) ) qqqqqq211图图1.7.9 1.7.9 点电荷对无限大介质分界面的镜像点电荷对无限大介质分界面的镜像sin sinsincos coscos2r24q2r14q2r14q2r24q2r14q2r14qq q2121q2 q212和和 中的电场是由中的电场是由 决定，其有效区在下半空间，决定，其有效区在下半空间， 是等效替代自由电是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。荷与极化电荷的作用。 2 q qq2qqqqq1221221 即即图图1.7.10 1.7.10 点电荷点电荷

46、位于不同介质位于不同介质平面上方的场图平面上方的场图q 中的电场是由中的电场是由 与与 共同产生，其有效区在上半空间，共同产生，其有效区在上半空间， 是等效替是等效替代极化电荷的影响。代极化电荷的影响。 q qq1图图1.7.11 1.7.11 点电荷点电荷 与与 分别置于分别置于 与与 区域中区域中 为求解图示为求解图示 与与 区域的区域的电场，试确定镜像电荷的个数、电场，试确定镜像电荷的个数、大小与位置。大小与位置。121q2q121.7.2 1.7.2 电轴法电轴法边值问题：边值问题： （导线以外的空间）（导线以外的空间）02 根据唯一性定理，寻找等效线电荷根据唯一性定理，寻找等效线电荷

47、电轴。电轴。Sd电荷分布不均匀常数导体,ASDSd电荷分布不均匀常数导体,BSD1.1.问题提出问题提出1.7.12 长直平行圆柱导体传输线 用置于电轴上的等效线电荷用置于电轴上的等效线电荷, ,来代替圆柱导体面上分布电荷来代替圆柱导体面上分布电荷, ,从而从而求得电场的方法求得电场的方法, ,称为电轴法。称为电轴法。2. 2. 两根细导线产生的电场两根细导线产生的电场Cln2Cln2Cln2d212021P2202110Q011以以 y 轴为参考点轴为参考点, , C=0 0, , 则则 22220120)()(ln2ln2ybxybxP当当 K 取不同数值时取不同数值时, ,就得到一族偏心

48、圆。就得到一族偏心圆。常数，则令：P22222Kybxybx)()(hh图图1.7.13 1.7.13 两根细导线的电场计算两根细导线的电场计算pbbyxo2R、d、b 三者之间的关系满足三者之间的关系满足 222222222)11()12(dbKKbKbKbR2222221KbK2yb1K1Kx)()(等位线方程为：等位线方程为：12,0, )11(222KbKR bKKd圆心坐标圆心坐标圆半径圆半径让让R=a并计算出并计算出 d、则则b值为值为 222hba根据根据 及及E 线的微分方程线的微分方程 ， 得得E线方程线方程为为 xyEEdxdy4Kb2Kyx212212)(E图图1.7.1

49、4 1.7.14 两细导线的场图两细导线的场图图1.7.15 平行圆柱导体传输线电场的计算120210ln2)e1e1(2E21pP:和与电位所以圆柱导线间的电场例例1.7.41.7.4 已知两根不同半径已知两根不同半径, ,相互平行相互平行, ,轴线距离为轴线距离为d d 的带电长直圆的带电长直圆柱导体。试决定电轴位置。柱导体。试决定电轴位置。21212222221212hhdh ,h , bahbahb确定解:注意注意：1 1）参考电位的位置参考电位的位置；2 2）适用区域。适用区域。例例1.7.51.7.5 试确定图示偏心电缆的试确定图示偏心电缆的电轴位置电轴位置。21122222222

50、121h ,h , bdhhbahbah 解：解：确定图图1.7.16 1.7.16 不同半径传输线的电轴位置不同半径传输线的电轴位置图1.7.17 偏心电缆电轴位置 例例1.7.61.7.6 已知一对半径为已知一对半径为 a , ,相距为相距为 d 的长直圆柱导体传输线之间电压的长直圆柱导体传输线之间电压为为 ，试求圆柱导体间电位的分布。，试求圆柱导体间电位的分布。 0U22a2db)()()(ln)()(lnahbahb2ahbahb2U000)()(lnahbahb2U200解得解得:UBA0解出由图图1.7.18 1.7.18 电压为电压为U U0 0的传输线电场的计算的传输线电场的计

51、算 h2dahb:2222解a) 确定电轴的位置确定电轴的位置120ln2场中任一点电位为设电轴线电荷为,)b120Pln)ah(b)ah(bln2U的电位场中任一点P)c4 4. . 镜像法（电轴法）小结镜像法（电轴法）小结 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的理论基础理论基础是静电场唯一性定理；是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的镜像法（电轴法）的实质实质是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未是用虚设的镜像电荷（电轴）替代未 知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法镜像法（电轴法) )）的）的关键关键是确定镜像电荷（电轴）的个数是确

52、定镜像电荷（电轴）的个数（根数），大小及位置；（根数），大小及位置；注意：注意：应用镜像法（电轴法）解题时，镜像电荷（电轴）只能放在待求应用镜像法（电轴法）解题时，镜像电荷（电轴）只能放在待求场域以外的区域。场域以外的区域。叠加时叠加时，要注意场的适用区域。，要注意场的适用区域。5.5. 镜像法工程制图镜像法工程制图dbR 2222bah1.8.2 1.8.2 多导体系统、部分电容多导体系统、部分电容中的其余带电体，与外界无任何联系，即中的其余带电体，与外界无任何联系，即1n1KK.0q 静电独立系统静电独立系统D线从这个系统中的带电体发出，线从这个系统中的带电体发出，并并 终止于该系统终止于

53、该系统 线性、线性、多导体多导体( (三个以上导体三个以上导体) )组成的系统；组成的系统； 部分电容概念部分电容概念图图1.8.2 1.8.2 三导体静电独立系统三导体静电独立系统典型例子典型例子: :多极管多极管( (等效电容等效电容); ); 三相输电线三相输电线; ;考虑大地影响时的两相输电线等等考虑大地影响时的两相输电线等等.1.1.部分电容的预备知识部分电容的预备知识 1) 普通物理学中电容计算：普通物理学中电容计算： 单位单位: F(法法)2) 平行板电容器、圆柱形及球形电容器：平行板电容器、圆柱形及球形电容器： 在在(c)中中 , 得到得到孤立导体球孤立导体球的电容的电容3)3

54、)n 个电容器串联：个电容器串联： 4) 4) n个电容器并联：个电容器并联： 注意：注意：电容与电量和电压无关电容与电量和电压无关, 但可用电压来度量但可用电压来度量. . UQC ;)(dSCa;)/ln(2)(abCb;4)(0ababCcaCb04,niiCC111niiCC1例例. .考虑三个导体组成的静电独立系统考虑三个导体组成的静电独立系统: : 设三个导体电量分别是设三个导体电量分别是 ，则它们在，则它们在 A 点产生的电点产生的电位分别是位分别是: 321,qqq31333033222022111011.4;4;4kkAkAAAAAAAqqrqqrqqrq把点把点A A 分别

55、取在三个导体上得分别取在三个导体上得.;333232131332322212123132121111qqqqqqqqq图图 电位系数的基本性质电位系数的基本性质111111qq带正电，则 电位为正0带负电，则 电位为负2311101|,qqq2322101|,qqq基本性质说明基本性质说明 一般地电位系数具有下面性质：一般地电位系数具有下面性质：(1) (2) (3)(4) 仅与导体系统的物理特性有关；仅与导体系统的物理特性有关；0ijijiijiij以此类推以此类推( (n+1)个多导体系统只有个多导体系统只有n n个电位线性独立方程个电位线性独立方程，即，即nnnknk22n11nnnkn

56、kkk22k11kknn1kk12121111qqqqqqqqqqqq)qqqq(qnk210 q电位系数，电位系数，表明各导体电荷对各导体电位的贡献；表明各导体电荷对各导体电位的贡献；ii,自有电位系数自有电位系数，表明导体，表明导体i上电荷对导体i电位的贡献电位的贡献j , i互有电位系数互有电位系数，表明导体，表明导体j上的电荷对导体上的电荷对导体i电位的贡献电位的贡献写成矩阵形式为写成矩阵形式为（非独立方程非独立方程）注： 的值可以通过给定各导体电荷的值可以通过给定各导体电荷 , ,计算各导体的电位计算各导体的电位 而得。而得。q例例 如图所示地面附近有两个半径为如图所示地面附近有两个

57、半径为R1的带电小球的带电小球 , 电荷量分别电荷量分别 为为q1和和q2. 选择地面为零号导体选择地面为零号导体, 求该系统的电位系数求该系统的电位系数.解解: 这是三导体组成一个静电独立系统这是三导体组成一个静电独立系统. 将地面影响用镜像电荷代替。将地面影响用镜像电荷代替。 设一般关系为设一般关系为22212122121111qqqq地面地面: 0: 0号导体号导体令令0, 021qq110101)24141(|2qhRq1002201001111)4141(,24141|2qDdhRqaqDdqaq00012214141|2令 可得0, 012qq2020021222202002000

58、21122000124141|)24141(|4141|)4141(|1111hRqaqhRDdqaqDdqqqq解题示意图解题示意图2. 2. 一般地一般地, , 已知带电导体的电位，求电荷和感应系数已知带电导体的电位，求电荷和感应系数 1q 1nnnknk22n11nnnknkkk22k11kknn1kk12121111qqq静电感应系数静电感应系数，表示导体电位对导体电荷的贡献；，表示导体电位对导体电荷的贡献；ii,自有感应系数自有感应系数，表示导体，表示导体 电位对导体电位对导体 电荷的贡献；电荷的贡献；iiji,互有感应系数互有感应系数，表示导体，表示导体j电位对导体电位对导体i电荷

59、的贡献。电荷的贡献。 通常，通常， 的值可以通过给定各导体的电位的值可以通过给定各导体的电位 ，测量各导体的电荷，测量各导体的电荷 而得。而得。q 以三电位系统为例，解电位系数构成的方程组得以三电位系统为例，解电位系数构成的方程组得 称称 为为自有感应系数；自有感应系数； 为互有感应系数为互有感应系数; 它们具有性质它们具有性质( (说明在后面图示说明在后面图示) )： (1) ; (2) (3) 代数余子式ijijAAAAAAAAqAAAAAAqAAAAAAq,det.;333232131333232131332322212132322212123132121113132121111AAij

60、ijii0; 0ijiijiij|ijii031032|,|21121111qq 图图4-2 感应系数的说明感应系数的说明00211221111111为正值，电位为负时，感应电荷为负值，电位为正时，感应电荷为负值，电位为负时，本身带电为正值，电位为正时，本身带电qq 例如已知导体间的电压，对上述三导体系统改写例如已知导体间的电压，对上述三导体系统改写 ) 0)()()()() 0)()()()() 0)(333323132323131323232232221212123113211211312111qqq,303032323131323232022212121313121210111UCUCU