数理经济学第6章课后题

1、第六章习题答案1.考虑如下最优化问题maxyx122.X1X11s.t.X,x20(2)库恩塔克极大化条件用图解法解此题.并检验均衡解点是否满足(1)约束规格;解:X2*可行域为OAB利用图解法求的均衡点为B(1,0),maxy1对于B(1,0)来说,有x12x2211,因此该约束规格是紧的.22构建拉格朗日函数L(x1,x2,)x1(x1x21)12x1x20x1'2x20B(1,0)符合KT条件x2,22(x1x21)0-22)-0,x1x210Xix202 .考虑如下最优化问题miny2,Xis.t.x1,x20用图解法解此题.并检验均衡解点是否满足(1)约束规格；(2)库恩塔克

2、极大化条件解：利用图解法求的均衡点为o(0,0),miny0求法同上,可知约束标准是紧的构建拉格朗日函数L(为,x2,)为(x12X2)-1XiLXi0X2(Xi20,XiX2)2X2o(0,0)符合KT条件3 .考虑如下最优化问题XiX20miny3,Xist.X2检验均衡解点是否满足1约束规格；2库恩塔克极大化条件解:利用图解法求的均衡点为o(0,0),miny0求法同上,可知约束标准是紧的X2)构建拉格朗日函数Lxi,x2,xixi3L,八2八一13x10XiL0o(0,0)不符合KT条件X2/3、-(XiX2)0c3c0,X1x204 .写出下面优化问题的一阶必要条件maxf(x,y,

3、z)x2,xys.t.X,y,z解：L(xi,x2,)x(x2)一阶必要条件为:2)z0,(x25 .求解下面最优化问题X2min(i)2maxx.2x4yXiX2s.t.2xx,y2y0(2)st.XiX2X2K,X20(3)min40Xi5x2i0X3maxs.t.5xi2xiX2X3Xi,X2,X3i030st.f(X,X2)2XiXi2X20,X22XiX2(5)maxyxix2xix2i6s.t.xi,x20解：(i)L(x,y,)x22x4y(2x2yi)一阶必要条件为:-2x120x8y20y(2x2y1)00,2x2y1一3解得x,y10(2)图解法15,一一314_可仃域为x

4、,y-,一,均衡解点A(1,1)miny21055L(x1,x2,x3,1,2)40x15x210x31(105x1x2)2(302x1x3)一阶必要条件为:LXi510X21020X31(105x1x2)02(302x13x3)01,20,5x1x2102xix3302,22(4)L(xi,x2,)x1X2(xiX24)一阶必要条件为：12x10Xi2x22x20X2,22、_(x1x24)00,x12x224一八1解得x12,x20,4L(x1,X2,)X1X2(x1X216)一阶必要条件为:L一X2x1L-X1X2(x1x216)00,x1x216解得x1x286.考虑如下最优化模型ma

5、xyx1x21xi30s.t.x1,x20证实：1均衡解xi,x21,0不满足库恩-塔克条件；2当引进新乘数00,把拉格朗日函数修改成如下形式mZ.0fxi,x2,xnirgixi,x2,xn,i1那么在点1,0处满足库恩-塔克条件.解：(1)L(x1,x2,)x1(1x1)3x2Xi)200x20一阶必要条件为：13(1XiLX2(1Xi)30,(1Xi)3X20不符合K-T条件.此时,L(Xi,X2,0)0X1(1Xi)3X2一阶必要条件为：03(1Xi)20XiL0X2一、3八(1x1)x200,(1Xi)3X200时,符合K-T条件7.消费者对两种商品的偏好用效用函数表示为U(Xi,X

6、2).X1X2假设消费者的收入为12兀,两种商品价格分别为p11,p22.试求最优的商品组合.解：由题意知,P2X2x12x212L(Xi,X2,)X1X2(Xi2x212)一阶必要条件为:XiLX2Xi解得x16,x23,228.求解消费者问题X2(XiL2XiX22x212)0,x12x212maxU(x)ks.t.p1Kp2x2Inx2M效用极大值点,并利用二阶充分条件判断极大值点是否为最大化值点.解：L(x1,x2,)x1Inx2(PiXiP2X2一阶必要条件为:X1LPi0X2(P1X1X2P2P2X2M)M解得XiP1P2X200Pi02X2P2PiP20,X2P1P2Pi验证其为

7、负定.9.一个消费者生活在小岛上,那里只生产两种产品,x和y,生产可能前沿是x2y2200,他消费所有的产品,她的效用函数是Uxy3,这个消费者同时面临环境对于她所能生产的两种产品总额上的约束,约束条件是xy20(1)写出库恩塔克一阶条件(2)求消费者最优的x和y,确定约束条件是否发挥限制作用.解：(1)L(x1,y,1,2)xy31(x2y2200)2(xy20)K-T一阶条件为：y321x20x3xy221y20x21(x2y2200)02(xy20)01,20,x2y220001 y200(2)假设第二个约束条件(定量配额)没有发挥作用,由互补松弛性得20,故有y321x023xy21y

8、0i(x2y2200)0解得x5拒,y5而,17573,因xy20故为K-T条件最终解.反之213y2023xy202(xy20)0解得x5,y15,23375,因x2y2200故被拒绝.10 .一家电子公司在外国设立一个发电站.现在需要规划其产能.电力需求的顶峰时段的需求函数是Pi400Q1,非顶峰时段的需求函数是P2380Q2.变动本钱是20(两个市场都要支付),产能本钱是每单位10,只要一次支付并且可以在两个时期中使用.(1)写出这个问题的拉格朗日条件和库恩塔克条件.(2)求出这个问题中的最优产量和产能.(3)每个市场分别能支付多少(即1和2的值是多少)(4)现在假设产能本钱是每单位30

9、(只需要支付一次).求出数量、产量以及每个市场为产能所支付的费用(即1和2).11 .给定最优化问题minyF(x)Gi(x)rii1,2,ms.t.x0,(1) 为了得到可应用的极大化的充分条件,哪些凹一凸条件需要追加在F和Gi上？(2) 论述极小化问题的库恩一塔克条件.解：(1)对于极大化问题,存在以下充分条件：maxyf(x)gj(x)bj,(j1,2,m)s.t.xi0,(i1,2,n)如果满足：a.目标函数f(x)为凹函数且可微；b.每个约束函数gj(x)为凸函数且可微；c.点x满足库恩塔克极大化条件.那么点x为目标函数yf(x)的整体极大值点.对于极小化问题,存在以下充分条件：mi

10、nyf(x)gj(x)bj,(j1,2,m)s.t.xi0,(i1,2,n)如果满足:a.目标函数f(x)为凸函数且可微;b.每个约束函数gj(x)为凹函数且可微;C.点x满足库恩塔克极小化条件.m构造拉格朗日函数L(x,入)f(x)iGi(x)rj,如果假设x为该问题的均衡解,i1那么存在拉格朗日乘数入0使得(x,入)满足库恩一塔克必要条件:L(x,入)0x0x)0xx)0i0i)0i1,2,mminy2x1x22x14x1x20st.x1,x20一塔克极小值条件是充分必要条件12.对于下面问题,库恩塔克充分性定理是否适用miny(为3)2(x24)2(1)x1x24,(2)s.t.x1,x

11、2013.考虑如下模型22minyx1x2x1x22s.t.x10,x20(a)库恩塔克充分性定理可以应用这个问题吗？库恩吗？(b)写出库恩塔克条件,并求解最优值(x1,x2).由库恩塔克充分性定理知：要满足：a.目标函数f(x)为凸函数且可微;b.每个约束函数gj(x)为凹函数且可微；(1)中,f(x)(Xi3)2(x24)2为两个凸函数之和,故为连续可微凸函数；g(x)为线性函数,连续可微凹函数.(2)(2)中,f(X)2xiX2为线性函数；g(x)为凸函数与线性函数之和,不为凹函数,故,不满足充分性条件.22(1)满足上题a.b条件,即可适用充分性定理：题中f(X)XiX2为两个凸函数之

12、和,为连续可微凸函数；g(x)为线性函数,故,满足充分性定理;又,为满足必要性定理,那么需满足约束规格：任意x,存在一乳x)1,-g(x)1,梯XiX2度矩阵秩为1,故,满足约束规格.(2)极小化问题的带非负约束的库恩塔克一阶必要条件为：构造拉格朗日函数L(x,)f(x)g(x)r,如果假设x为该问题的均衡解,那么存在拉格朗日乘数入0使得(x,入)满足库恩塔克必要条件:Lx,入xiLx,入xiLx,入0xixLx,入解：构造拉格朗日函数22Lx1,x2,x1x2x1x22库恩塔克一阶必要条件为x22x12x2LC0x10x10x1L0x20x20X2-L2x1x2000解之得,a.假设入0,那

13、么可得x10,x20,与(2)式矛盾.b.假设入0,x10,那么x22,4,或者入0,x20,那么x2,4,均与(1)矛盾；C.假设入0,x10»20,那么可得入2,1,x21,综上,(1,1)为其极值点.14.给定非线性规划问题maxyx；2x1x2,22.St.xx21试确定满足该问题的库恩塔克条件的点,并且(1)在这些点处,检验约束规格是否成立；(2)在这些点处,检验库恩塔克充分性定理是否成立.解：构造拉格朗日函数：L(x1,x2,)x22x1x2(x2x21),那么均衡解(x1,x2)满足如下的一阶必要条件:x12xi22xi0,2x22x20,x2(2) (xi2x21)0

14、,、22(3) x1x21,0解之得,满足上面式子的解为x11,x20,0.(1)检验约束规格,-g凶2x1,2x2,带入(-1,0)得矩阵(-2,0),秩为1,满xx2足线性独立约束规格；(2)下面验证二阶充分条件,由于g(x1,x2)0,所以m01.构造如下海塞加边矩阵2(1)02x1H02(1)2x22x12x20验证后一个(nm0211)加边主子式网的符号即可.在(x,y,)(1,0,0)点处,_.2._H20,与(1)同号,所以(1,0)是目标函数f(x,y)的一个极大值点.2115.假定两种投入要素的生产函数y50x3x3,其中,x1,x2分别为两种要素的投入量.假设两种要素投入的

15、价格向量W(6,4),每月费用支出不超过10000,为使每个月的产出极大化,该厂商应该如何安排每月的要素投入量(要求检验二阶充分条件).解：有题目得极大化模型为：21maxy50x13x16x14x210000s.t.x10,x20首先验证约束规格,梯度矩阵秩为1,满足约束规格;构造拉格朗日函数21L(x1,x2,)50x：x；(100006x14x2)库恩塔克一阶必要条件为10011x13x2L0x10x10x1Lx250弓qx1x230x20LX2一x2(2)100006x14x2)000解之得,满足上式的极大值解为留000,2500.93检验二阶充分条件,由于gx1,x20,所以m01.

16、构造如下海塞加边矩阵100100143333xx2x1天299100i1003x1x2x1x29964验证后一个nm0211加边主子式H2的符号即可.在x,y100002500(9,nr)点处,H220,与1同号,所以100002500是目标函数fx,y的一个极大值点.16.考虑下面最优化问题maxyx12x2x24x16x2x1x22s.t.2x13x212x1,x2,x30写出与其对应的拉格朗日函数以及一阶必要条件,并求出该函数的鞍点.解：对应的库恩塔克条件为：L0,x0,x0x0,0,0分四种情况讨论:(x1x22)0(1)1,20,解矛盾,舍去(2x13x212)0(2) 10,20,

17、那么一L0,解得(24,36,0,0,)是可能的极值点2131313L一13(3) 10,20,那么0,解得(一,心,0,3,0),(0,2,0,2,0)是可能的极值点122(4) 12.,解得(2,0,0,0,0)是可能的极值点.17.考虑下面最优化问题miny凶1xSt.x0(1) 证实该问题得拉格朗日函数在可行域内没有鞍点;(2) 考虑该问题的等价形式(1minex)s.t.其中0为参数.该问题得拉格朗日函数是否也不存在鞍点？是说明理由.1x解：(1)拉格朗日函数为L(x,)x(x1)1x库恩塔克一阶必要条件为0,g0解得0,或x0该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点.1x(2)拉格朗日函数

18、为L(x,)e(ex1)库恩塔克一阶必要条件为xg00,g0g0时,ex10,x0,该拉格朗日函数载可行域内没有鞍点.18.考虑极大化问题maxyx1x2x1x2as.t.x1,x20（1） 求目标函数的最优值在a1处的导数.（2） 根据1,估计出当a由1变为1.02时,目标函数的最优值的改变量为多少？估计新问题目标函数的最优值.解：拉格朗日函数为Lx,x1x2x1x2a库恩一塔克一阶必要条件为L八L0,x10,x10x1x10,x20,x20x2x2LL0,0,0L一x2x1可得,Lx1x2(x1x21)30时,x1x20,x10,x20,时(x21)0,x21；X20,x10时,x11;x20,x10时,xx2110；故0,0是极值点.1 111同理,0时,函数最优解为二,1,二.2 22219.考虑极大化问题利用包络定理解决下面的问题:(1)求目标函数的均衡解在(2)根据(1),估计当b(3)(4)maxyx1x2s.t.x1bx2a(a,b)(16,4)处分别关于a和b的偏导数.4、a由16变为16.03时,目标函数的均衡解的改变量为多少？估计新问题目标函数的均衡解?根据(1),估计当a16、b由4变为3