数列通项公式、前n项和求法总结全

1、一.数列通项公式求法总结:1 .定义法一一直接利用等差或等比数列的定义求通项。特征：适应于已知数列类型(等差或者等比).例1.等差数列an是递增数列，前n项和为Sn,且ai,a3,a9成等比数列，&a；.求数列an的通项公式.变式练习：2 .等差数列an中，a74,ai92a9,求小的通项公式3 .在等比数列a。中，a2ai2,且2a2为3&和a3的等差中项，求数列a0的首项、公比及前n项和.4 .公式法Sn1求数列an的通项an可用公式anS1求解。SS.1n2特征：已知数列的前n项和Sn与an的关系例2.已知下列两数列an的前n项和Sn的公式，求an的通项公式。(1) Sn

2、n3n1。Snn21变式练习:1 .已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,nGN*,数列bn满足an=4log2bn+3,nGN*.求an,bnO2 .已知数列an的前n项和Sn1n2kn(k2N*),且Sn的最大值为8,试确定常数k并求an。3 .已知数列an的前n项和Sn2nn，2nN.求数列an的通项公式。3.由递推式求数列通项法类型1特征：递推公式为an1f(n)对策：把原递推公式转化为an1f(n),利用累加法求解。例3.已知数列an满足a11an-，下an。nn变式练习：1.已知数列an满足an1an2n1,a11,求数列an的通项公式。求通项公式2,已知数列:类型2特

3、征：递推公式为an1f(n)an对策：把原递推公式转化为an1anf(n),利用累乘法求解。例4,已知数列an满足a1-3an1变式练习:1,已知数列an中，a12an13nan,求通项公式an。2,设an是首项为1的正项数列，且n1a21na2an冏0(n=1,2,3,)，求数列的通项公式是an类型3特征：递推公式为an1panq(其中p,q均为常数)对策：(利用构造法消去q)把原递推公式转化为由an1panq得anpan1q(n2)两式相减并整理得an1anp,构成数列an1an以a2诩为首项，以p为公比的等比数列.求出anan1an1an的通项再转化为类型1(累加法)便可求出an.例5,

4、已知数列an中，a11,an12an3,求an.变式练习：1,数列an满足a1=1,3an1%70,求数列a0的通项公式。2,已知数列an满足a1=1,an13an1.证明an2是等比数列，并求an的通项公式。类型4特征：递推公式为ampanf(n)(其中p为常数)对策：(利用构造法消去p)两边同时除以pn1可得到毛粤坐，令用bn,则ppppbn1bnC2,再转化为类型1(累加法)，求出bn之后得ap、p例6.已知数列an满足an12an43n1,41,求数列a0的通项公式。变式练习：已知数列an满足a11,an3n2an1(n2),求an.二,数列的前n项和的求法总结1,公式法(1)等差数列

5、前n项和：&n(a1an)gn(n1)d212(2)等比数列前n项和：q=1时，Snna1例1.已知log3x，求xx2x3xn的前n项和.10g23变式练习：1 .设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330,求an和Sn.2 .设an是等差数列，bn是各项均为正数的等比数列，且a1b,1,a3b521,a§b313。(1)求an,bn；(2)求数列生的前n项和Sn。an3 .错位相减法若数列an为等差数列，数列bn为等比数列，则数列anH的求和就要采用此法.将数列anbn的每一项分别乘以bn的公比，然后在错位相减，进而可得到数列为0的前n项和.例2.求12x

6、3x24x3nxn1的和变式练习：1 .已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=2n2n,nGN*，数列bn满足an410g2n3nGN*.(1)求为，bn；(2)求数列anbn的前n项和Tn.2 .若公比为c的等比数列小的首项为为1,且满足小an12an2(n3,4,.)。(1)求c的值；(2)求数列nan的前n项和Sn3 .倒序相加法如果一个数列an,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为倒序相加法。特征:aana2an1把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加例3.已知f(x)2x1x2,则f(1)1f(

7、2)f1f(3)f111f(4)f-34变式练习:1.求11022222923232821022的和.1012.求sin21sin22sin23sin288sin289的值。4.裂项相消法般地，当数列的通项(anb1)(anb2)(a,bi,b2,c为常数)时，往往可将变成两项的差，采用裂项相消法求和.可用待定系数法进行裂项:nanb1anb2,通分整理后与原式相比较，根据对应项系数相等得而可得(anbi)(anb2)(b2b)(an1b1an常用裂项形式有:n(n-k211)n1k211七n11(2k11六)，1n(nk)k1(k1)kk2(k1)kn(n1)(n2)2(nT7.n)一;2n

8、(n1)(n1)(n2)2('nn1)例4.求数列13,1一，的前n项和S.n(n2)变式练习:1 .在数列an中，an，又bn2，求数列bn的前n项的和.n1n1n1anan12 .等比数列an的各项均为正数，且2a13a21&29a2a6.(I)求数列an的通项公式.1(II)设bn10g3a110g3a210g3an,求数列一的刖项和.bn5.分组求和法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分两步：找通向项公式由通项公式确定如何分组.1111例5.求数列2,4,6,L,2n,L的刖n项和Sn.48162n1变式练习：1 .求数列11,21,3,4,L的前n项和3927812 .若数列an的通项公式an2an3na1(a0),求