精英数学必修4三角函数第8讲平面向量

1、网络课程内部讲义平面向量教 师：苗金利爱护环境，从我做起，提倡使用“名师” 资料室资料任你平面向量一、向量的概念二、向量的加法与减法三、实数与向量的乘积（数乘）四、平面向量的坐标运算五、向量数量积六、例题分析【例 1】真假向量都相等；向量的模都是正实数；共线JJ向JG 量J一JJG定在同一JJ条G直线JJJ上G；若 AB = CD ，则| AB |=| CD |且 AB / CD ；JJJGJJJGJJJGJJJGJJGJJJG若 AB = CD ， CD = EF ，则JJJAG B =JJEJGF ；若 ABCD 是平行四边形，则 AB = CD . 第 1 页 址：（9：0021：00

2、everyday）所有 北京天地精华教育科技“名师” 答疑室 随时随地提问互动【例 2】如JJ图JG是4 ´ 3 的矩形（每个方格都J是JG正方J形JG ），起点与终点都在小方格的顶点处J的JJG向量中，试问：与 AB 相等的向量有几个（不含 AB ）？与 AB 平行且模为 2 的向量有几个？与 AB 同向且模为3 2 有几个？JJJGHJJGJJJGJJJG【例 3】化简 ( AC + DB) - ( AB + DC) .GGGGGGGG【例 4】设a, b 是不共线向量，求证| a | - | b |<| a ± b |<| a | + | b | .GGG

3、GGG发展：已知非零向量 a, b ，则| a + b |=| a - b | 的充要条件是 a, b 垂直.【例 5】化简：GGGGGGGGG1 G1G1G（1） 4(a - 2b + c ) - 3(-a + b - 2c )（2） (a + 2b ) +(3a - b ) +(-a + b )342JJGJJJGJJJGG【例 6】如图，已知DABC 三边中点为 D、E、F ，求证： AD + BE + CF = 0 .JJGJJJGJJJGG发展： G为DABC重心 Û GA + GB + GC = 0 . 第 2 页 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天

4、地精华教育科技“名师” 资料室资料任你JJGGG【例 7】如图，在GABC 中， OA = a，OB = b，BEEA =12， F 是OA 中点，线段OE 与 BF 交于G点G ，试用基底 a, b 表示：JJJGJJJGJJG（1） OE ；（2） BF ；（3） OG .【例 8】已知平面上三点坐标为 A(-2,1), B(-1, 3), C(3, 4) ，求 D 点坐标，使得这四个点成为平行四边形的四个顶点.【例 9】已知四个点为 A(1, 0), B(4, 3), C(2, 4), D(0, 2) ，试四边形 ABCD 的形状.JJJGJJJGJJJG【例 10】已知点 A(1, 2

5、), B(4, 5) ， P 点满足OP = OA + t AB .（1） t 为何值时， P 在 x 轴上？ P 在 y 轴上？ P 在第二象限？（2） 四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由.【例 11G】G以下命题的正误：（1） ai0G = 0 ；（2） 0GiaG= 0 G；G（3） | aib |=| a |i| b | ；G GG G（4）若aib = 0 ，则 a, b 中至少有一个为零向量；G GGG（5） aib ¹ 0 Û| a | + | b |> 0 . 第 3 页 址：（9：0021：00 every

6、day）所有 北京天地精华教育科技“名师” 答疑室 随时随地提问互动JJG JJJGp【例 12】（1）在 ABC 中， a = 3, b = 4, C =，求 BCiCA .6GJJJGGJJGGG（2）在 ABC 中， AB = a ， BC = b ，若 aib < 0 ，三角形的形状.GGG GGGGG【例 13】已知| a |= 2,| b |= 5, aib = -3 ，求| a - b |,| a + b | .G G GGGGGGGGGGG【例 14】已知 a, b, c 为非零向量，且| b - a - c |=| a - b - c | ， | a + b + c |

7、=| a + b - c |，GG GG求证： a c, b c .GG【例 15】已知 a 、b 都是非零向量，且 a +3 b 与 7 a -5 b 垂直，a - 4 b 与 7 a -2 b 垂直，求a 与b 的夹角q .【例 16】（1）P 是ABC 所在平面上一点，若 PA × PB = PB × PC = PC × PA ，则 P 是ABC 的（）A外心B内心C重心D垂心®®®®（2）平面内ABC 及一点 O 满足OA+ OB+ OC = 0 ，则点 O 是ABC 的（）A重心B垂心C内心D外心®

8、74;®®®®®®（3）平面内ABC 及一点 O 满足 AO× AB = BO× BA, BO× BC = CO× CB ，则点 O 是ABC 的（）A重心B垂心C内心D外心®®®®®®®®AO× AB®AD× AC CO× CACO× CB®=,（4）平面内ABC 及一点 O 满足，则点 O 是ABC 的（）®| AC |®| CA|

9、AB |B垂心| CB |A重心C内心D外心®®®（5）若 A，B，C 是不共线三点，点 O 是 A，B，C 确定平面内一点，当| OA |2 + | OB |2 + | OC |2 取最小值时，O 是ABC 的（）A重心B垂心C内心D外心 第 4 页 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精华教育科技“名师” 资料室资料任你参考例 1真假向量都相等；错错错错对错向量的模都是正实数；共线向量一定在同一条直线上；JJJGJJJGJJGJJJG若 AB = CD ，则| AB |=| CD |且 AB / CD ；JJJGJJJGJJGJJJGJJ

10、GJJJG若 AB = CD ， CD = EF ，则 AB = EF ；JJGJJJG若 ABCD 是平行四边形，则 AB = CD .例 2JJJG与JAJBJG 相等的向量有 5 个与 AB 平行且模为 2 的向量有 24 个JJJG与 AB 同向且模为3 2 有 2 个JJJGJJJGJ JGJJJGJJJGJJJGG解：原式= AC + DB + BA + CD = AD + DA = 0例 3例 4JJJGGOA = aJJJGGJJJGGGJJJGGGOB = bOC = a + bBA = a - bGGG7a - 11b + 10c（2）原式= æ 1 + 3 -

11、1 ö G1 ö G711 GGæ 212 ÷ a + ç-+÷ b =a +bç 3è4øè 342 ø1212JJJGJJJGJJJGJJJGJ JGJJJGJJJGJ JGJJJGJ JGJJJGJJJGG证明：左= ( AB + AC ) +(BC + BA) +(CA + CB) =( AB + BA + AC + CA + BC + CB) = 0 得证1111例 62222JJJGJJJGJJJGG2 JJJGGGG2 G1 G解：（1） OE = OA + AE = a

12、 +AB = a +(b - a) =b + a2例 73333JJJGJJJGJJJG1 GG（2） BF = OF - OB =a - b2则 BE = EM = EM EM = 1（3）过 E 作 EMOA 交 BF 于 MBAAFOFOF3JJJG3 JJJG3 æ 1 G2 G ö1 G1 G=+=+ GE = EM = 1而GEMGOFOGOE44 ç 3 ab ÷ab342EOOF3èø例 8由于没有指出顶点顺序，故需要讨论。JJJGJJJG由题设， A(-2,1), B(-1, 3), C(3, 4) ，设 D(x,

13、y) .当平行四边形为 ABCD 时，则有 AB = DC .JJJGJJJG因为 AB = (-1, 3) - (-2,1) = (1, 2) ， DC = (3, 4) - (x, y) = (3 - x,4 - y) ，所以3 - x = 1, 4 - y = 2 ，即 x = y = 2 ，所以 D(2, 2) .JJJGJJJG当平行四边形为 ACDB 时，则有 AC = BD ，同上可得 D(4, 6) .JJJGJJJG当平行四边形为 ACBD 时，则有 AC = DB ，同上可得 D(-6, 0) .例 9可以先画出图来，从直观上猜测，然后论证。JJJGJJJG因为 AB =

14、(4, 3) - (1, 0) = (3, 3) ， DC = (2, 4) - (0, 2) = (2, 2) . 由于 JJJGJJJGx1 y2 - x2 y1 = 3 ´ 2 - 2 ´ 3 = 0 ，所以 AB DC ，因此 ABDC.又因为 第 5 页 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精华教育科技“名师” 答疑室 随时随地提问互动JJJGJJJGAD = (0, 2) - (1, 0) = (-1, 2) ，BC = (2, 4) -(4,3) = (-2,1) .因为 x1 y2 - x2 y1 = -1´1 - (-2)

15、´ 2 = 3 ¹ 0 ，所JJJGJJJG以 AD 和 BC 不平行.因此，四边形 ABCD 是以 AB, DC 为上下底的梯形.JJJGJJJGJJJG3 JJJG另解：由 AB = (4, 3) - (1, 0) = (3, 3) ， DC = (2, 4) - (0, 2) = (2, 2) 得 AB =DC ，2所以 AB / / DC 且 AB ¹ DC ，从而四边形 ABCD 为梯形.JJJGADJJJGBC= 5= 5四边形 ABCD 是等腰梯形.又JJJGJJJGJJJGJJJG例 10（1）设 P(x, y) ，由题 AB = (4, 5) -

16、 (1, 2) = (3,3) ，则(x, y) = OP = OA + t AB= (1 + 3t, 2 + 3t) ，即有 x = 1 + 3t, y = 2 + 3t .若 P 在 x 轴上，则有 y = 2 + 3t = 0 ，所以t = - 2 .若 P 在 y 轴上，则有 x = 1 + 3t = 0 ，所以t =- 1 .3若 P 在第二象限，则有 x = 1 + 3t < 0 ，且 y = 2 + 3t > 0 ，所以- 2 < t < - 1 .333JJJGJJJGJJJGJJJGJJJGJJJGJJJG（2）由OP = OA + t AB 可得 A

17、P = OP - OA = t AB ，所以 A, B, P 在同一直线上，因此四边形OABP不能平行四边形.例 11（1）两个向量的内积是一个实数，因此（1）错误.（2）实数与向量相乘得到一个向量，因此（2）错误.G G G GGGG GGG（3）若向量a, b 的夹角为q ，则a × b =| a | × | b | cosq ，从而| a × b |=| a | × | b | cosq | ，因此（3）错误.（4）若 a × b = 0 ，则| a | × | b | cosq = 0 ，因此 a = 0 或b = 0 或 a

18、 b ，因此（4）错误.G GGGGGGGGGG GGGGGGGGG GGGGG G（5） a × b ¹ 0 Þ a ¹ 0且b ¹ 0 Þ| a | + | b |> 0 。若 a ¹ 0, b = 0 ，则| a | + | b |> 0 ，但 a × b = 0 ，因此（5）错误.JJJG J JGJJJG J JGJJJGJ JGJJJGJJJG例 12（1） BC × CA = -CB × CA = - | CB | × | CA | cos C = -6 3

19、.注意向量 BC 和 CA 的夹角不是C = 30D ，而是180D - C = 150D .G GJJJG JJJGJ JG JJJGJ JGJJJG（2）由题 a × b = AB × BC = -BA × BC = - | BA | × | BC | cos B < 0 ，所以 cos B > 0 ，即 B 是锐角.因此G G无法三角形的形状.如果 a × b > 0 ，则可以得到cos B < 0 ，即 B 是钝角，从而可知三角形为钝角三角形.GGGGG 2G GG2GG GGGG例 13 | a - b |2

20、= (a - b)2 = a - 2a × b + b =| a |2 -2a × b+ | b |2 = 35 ，所以| a - b |= 35 .同理可得GG| a + b |= 23 .GGGGGGGG这道题目还可以构造边长为| a |,| b | 和| a - b | 的三角形，及边长为| a |,| b | 和| a + b |的三角形，然后利用余弦定理来解决.GGGGGGGG GGGGGGG因为| b - a - c |=| a - b - c | ，所以(a - b) × c = 0 。由| a + b + c |=| a + b - c | ，例

21、14GG GGG GGG GG GGG GGG GG G所以(a + b) × c = 0 .因此(a - b) × c + (a + b) × c = 2a × c = 0 ， (a + b) × c - (a - b) × c = 2b × c = 0 ，GG GG即 a c, b c .GGGG+-GG G× -GG垂直，从而有0 = (a 3b) × (7a 5b) = 7 | a |因为 Ga +3 b 与 7 a -2 +2例 155 b16a b15 | b | .GGGGGG GGG由 G

22、Ga - 4 b 与 7 a -2 b 垂直，则0 = (a - 4b) × (7a - 2b) = 7 | a | -30a × b + 8 | b | .22GG Ga × bGGG Ga × b1因此可得| a | =| b | = 2a × b ，所以cosq = G G=，即q = 60 . 222=G GG G2a × b 2a × bD| a | b | 第 6 页 址：（9：0021：00 everyday）所有 北京天地精华教育科技“名师” 资料室资料任你例 16JJJG JJJGJJJG JJJGJJJG J JGJJJGJJJG J JG（1） 略解： PA × PB = PB × PC Þ PB(PA - PC) = 0 Þ PB × CA = 0 Þ