大学线性代数练习试题及答案

1、.第一局部选择题(共28分)一、 单项选择题本大题共14小题，每题2分，共28分在每题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。1.设行列式=m，=n，那么行列式等于 A.m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=，那么A-1等于 A. B. C. D. 3.设矩阵A=，A*是A的伴随矩阵，那么A *中位于1，2的元素是 A.6B. 6C. 2D.24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，那么必有 A.A =0B. BC时A=0C.A0时B=CD. |A|0时B=C5.34矩阵A的行向量组线性无关，那么秩AT等于 A. 1B.

2、 2C. 3D. 46.设两个向量组1，2，s和1，2，s均线性相关，那么 A.有不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=0B.有不全为0的数1，2，s使11+1+22+2+ss+s=0C.有不全为0的数1，2，s使11-1+22-2+ss-s=0D.有不全为0的数1，2，s和不全为0的数1，2，s使11+22+ss=0和11+22+ss=07.设矩阵A的秩为r，那么A中 A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，1，2是其任意2个解，那么以下结论错误的选项是 A.1+

3、2是Ax=0的一个解B.1+2是Ax=b的一个解C.1-2是Ax=0的一个解D.21-2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，那么必有 A.秩(A)nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(3)阶方阵，以下陈述中正确的选项是 A.如存在数和向量使A=，那么是A的属于特征值的特征向量B.如存在数和非零向量，使(E-A)=0，那么是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如1，2，3是A的3个互不一样的特征值，1，2，3依次是A的属于1，2，3的特征向量，那么1，2，3有可能线性相关11.设0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于0的线性无关

4、的特征向量的个数为k，那么必有 A. k3B. k312.设A是正交矩阵，那么以下结论错误的选项是 A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=ATD.A的行列向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CTAC.那么 A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有一样的特征值D. A与B合同14.以下矩阵中是正定矩阵的为 A.B.C.D.第二局部非选择题共72分二、填空题本大题共10小题，每题2分，共20分不写解答过程，将正确的答案写在每题的空格内。错填或不填均无分。15.16.设A=，B=.那么A+2B=.17.设A=(aij)33，|A|=2，Aij表示|A|中元

5、素aij的代数余子式i,j=1,2,3,那么(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2=.18.设向量2，-3，5与向量-4，6，a线性相关，那么a=.19.设A是34矩阵，其秩为3，假设1，2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，那么它的通解为.20.设A是mn矩阵，A的秩为r(n)，那么齐次线性方程组Ax=0的一个根底解系中含有解的个数为.21.设向量、的长度依次为2和3，那么向量+与-的内积+，-=.22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，A有2个特征值-1和4，那么另一特征值为.23.

6、设矩阵A=，=是它的一个特征向量，那么所对应的特征值为.24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，那么其规X形为.三、计算题本大题共7小题，每题6分，共42分25.设A=，B=.求1ABT；2|4A|.26.试计算行列式.27.设矩阵A=，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组1=，2=，3=，4=.试判断4是否为1，2，3的线性组合；假设是，那么求出组合系数。29.设矩阵A=.求：1秩A；2A的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵A=的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化以下二次型为

7、标准形f(x1,x2,x3)=，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分32.设方阵A满足A3=0，试证明E-A可逆，且E-A-1=E+A+A2.33.设0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解，1，2是其导出组Ax=0的一个根底解系.试证明11=0+1，2=0+2均是Ax=b的解； 20，1，2线性无关。答案：一、单项选择题本大题共14小题，每题2分，共28分1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A12.B13.D14.C二、填空题本大题共10空，每空2分，共20分15. 616. 17. 418. 1019. 1+c(2-1)或2+

8、c(2-1)，c为任意常数20. n-r21. 522. 223. 124. 三、计算题本大题共7小题，每题6分，共42分25.解1ABT=.2|4A|=43|A|=64|A|，而|A|=.所以|4A|=64-2=-12826.解=27.解AB=A+2B即A-2EB=A，而A-2E-1=所以B=(A-2E)-1A=28.解一所以4=21+2+3，组合系数为2，1，1.解二考虑4=x11+x22+x33，即方程组有唯一解2，1，1T，组合系数为2，1，1.29.解对矩阵A施行初等行变换A=B.1秩B=3，所以秩A=秩B=3.2由于A与B的列向量组有一样的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列

9、是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是30.解A的属于特征值=1的2个线性无关的特征向量为1=2，-1，0T， 2=2，0，1T.经正交标准化，得1=，2=.=-8的一个特征向量为3=，经单位化得3=所求正交矩阵为T=.对角矩阵D=也可取T=.31.解f(x1，x2，x3)=x1+2x2-2x32-2x22+4x2x3-7x32=x1+2x2-2x32-2x2-x32-5x32.设，即，因其系数矩阵C=可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x1，x2，x3)的标准形y12-2y22-5y32.四、证明题本大题共2小题，每题5分，共10分32.证由于E-AE+A+A2=E-A3=E，所以E-A可逆，且E-A-1= E+A+A2.33.证由假设A0=b，A1=0，A2=0.1A1=A0+1=A0+A1=b，同理A2