曲线积分与曲面积分

1、第十章重积分曲线积分与曲面积分第一节二重积分一、二重积分的概念1，引例求曲顶柱体的体积曲顶柱体：设有一立体，它的底是xOy 面上的有界闭区域D ，它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面， 它的顶是曲面zf (x, y) ， f (x, y) 在有界闭区域D 上连续，且f ( x, y)0,( x, y)D 。求曲顶柱体的体积（ 1）将区域 D 任意分成 n 个小区域1, 2,L ,n且以i 表示第 i 个小区域的面积，分别以这些小区域的边界曲线为准线，作母线平行于 z 轴的柱面，这些小柱面把曲顶柱体分成n 个小曲顶柱体。以Vi 表示第 i 个小曲顶柱体的体积。曲顶柱体的体积为

2、：nVi 1Vi（ 2）在每个小区域i(i1,2,L, n) 上 任 意 取 一 点 (xi , yi ) ， 作 乘 积f ( xi , yi )i (i1,2,L , n) ，则Vif (xi , yi )i(i1,2,L, n)作和式nf ( xi , yi )ii 1（ 3）用 di 表示第 i 个小区域的直径，记Max d1, d2 ,L , dn ，当0 时，和式nf ( xi , yi )i的极限就定义为曲顶柱体的体积，即i 1nV limf (xi , yi )i0i 112 二重积分的定义和在直角坐标系中的表示定义 8.8设 f (x, y) 是有界闭区域D 上的有界函数。将

3、区域D 任意分成 n 个小区域1,2 ,L,n且以i 表示第 i 个小区域的面积， 在每个小区域i (i1,2,L,n) 上任意取一点 ( xi , yi ) ，作乘积 f (xi, yi )( i 1,2,L, n) ， 并作和式nif ( xi , yi )i 。用 di表示第 i 个i 1小区域的直径，记Max d1 ,d2 ,L , dn ，如果无论对D 怎样分法，也无论点(xi , yi ) 怎n样取法，只要当0 时，和式f (xi, yi )i的极限总存在， 则称此极限为f ( x, y) 在i 1D 上的二重积分，记作f ( x, y)d，即Dnf ( x, y)dlimf (

4、xi , yi )iD0i 1其中 f (x, y) 叫做被积函数，f (x, y) d叫做被积表达式，x与 y 叫做积分变量，D 叫做积nd 叫做面积元素。分区域，f ( xi , yi )i叫做积分和，i1注意n（ 1） limif ( xi , yi )i01（ 2） limnf ( xi , yi )ii01存在时，其极限I 与 D 的分法，点 ( xi , yi ) 的取法无关；存在时，其极限I 与积分变量x, y 无关；二重积分在直角坐标系中可表示为：f (x, y) df (x, y)dxdyDD其中 dxdy 叫做直角坐标系中面积元素。二、二重积分的性质性质 1常数因子可以提到

5、积分号前，即kf (x, y) dkf (x, y)dxdyDD性质 2 代数和的积分等于积分的代数和，即2 f (x, y)g( x, y) df (x, y)dg( x, y)dDDD性质 3 （对于区域的可加性）如果积分区域D 分成两个区域，则f ( x, y)df ( x, y)df ( x, y)dDD1D2性质 4 如果 f (x, y)g (x, y),( x, y)D ，则f (x, y)dg (x, y)dDD性质 5 如果 f ( x, y)1,( x, y)D ，则f (x, y) dAD其中 A为 D的面积。性质 6 如果 f (x, y) 在 D 上的最大值与最小值分

6、别为M 与 m ，则mAf ( x, y)dMAD性质 7 （积分中值定理）如果 f (x, y) 在 D 上连续，则在 D 上至少存在一点( , )D使得f (x, y)df ( ,) AD成立。二重积分的几何意义三、二重积分的计算1 利用直角坐标计算二重积分（ 1）设积分区域D 可表示为D(x, y) | 1( x)y2 ( x), a xb此类区域的特点为：用平行于y 轴的直线穿过区域D 的内部时与 D 的边界曲线相交恰好两个交点，称为X 型区域。则f (x, y) db2 ( x)dx(8.6)f ( x, y)dya1 ( x)D（ 2）设积分区域D 可表示为D(x, y) | 1(

7、 y)x2 ( y), cyd3此类区域的特点为：用平行于 x 轴的直线穿过区域 D 的内部时与 D 的边界曲线相交恰好两个交点，称为 Y 型区域。则d2 ( y )f ( x, y)dx dy(8.7)f ( x, y)d1 ( y )Dc2 ( x)时，把 x 看成常数；在计算2 ( y)注意在计算f ( x, y)dyf (x, y) dx 时，把 y1 ( x )1 ( y)看成常数。（ 3）若区域 D 既不是 X 型区域，也不是 Y 型区域，则可用平行于坐标轴的直线把它分成几个部分区域，使每个部分区域是X 型区域或 Y 型区域， 然后利用公式 (8.6)或(8.7) 计算。计算二重积

8、分的步骤：（ 1）画出积分区域图，并确定积分区域的类型；（ 2）若积分区域 D 只是 X 型区域， 则用公式 (8.6) ，若积分区域 D 只是 Y 型区域，则用公式 (8.7) ，积分区域 D 既是 X 型区域又是 Y 型区域，则要根据被积函数的特点确定用 (8.6) 还是用 (8.7) 计算。例 1 计算二重积分exydxdy ，其中 D 由 x0, x1, y0, y1 围成。D例 2 计算二重积分x2 ydxdy，其中 D 由 x0, y0, x2y21围成。D例 3 计算二重积分(2 x y)dxdy ，其中 D 由 y1,2xy 30, x y 3 0 围D成。例 4 计算二重积分

9、ex2dxdy，其中 D 由 yx, yx2 围成。D例 5 计算二重积分xydxdy，其中 D 由 y2x, yx 2围成。D2利用极坐标计算二重积分设通过原点的射线与区域D 的边界曲线的交点不多余两点，则二重积分在极坐标系下可表示为：f ( x, y) df (r cos , r sin ) rdrd（ 8.8）DD其中 rdrd叫做极坐标系中面积元素。在极坐标系下的二重积分，也要化为二次积分计算：（1）极点 O 在区域 D 之外，此时积分区域D 可表示为D( r , ) | r1 ( ) rr2 ( ),则f ( r cos, r sin ) rdrdr2 ()（ 8.9）f (r cos , r sin ) rdr dDr1 ( )（2）极点 O 在区域 D 的边界上，此时积分区域D 可表示为4D( r , ) | 0rr ( ),则f ( r cos, r sin)rdrdr ( )f (r cos, r sin) rdrd(8.10)0D（3）极点 O 在区域 D 的内部，此时积分区域D 可表示为D( r ,) | 0rr ( ),02则f