程序与数学数的故事

1、第2章 数的故事内容提要u计数方法u数的表示u数的运算u计算机中的二进制数一、计数方法u我们熟悉的计数法p十进制计数p时间、日期计数p天干地支p八卦p一、计数方法u各种计数法是可以互相转换的比如：p阿拉伯数字：13p罗马数字：XIIIp中文数字：壹拾叁p天干地支：甲丑二、数的表示u基数和指数以十进制数为例32405=3x104+2x103+4x102+0 x101+5x100十进制数的基数（或底数）为0、1、2、3、十进制数的每位数字的权值不同，权是10的指数，从右至左依次为0、1、2、3二、数的表示u每一个基数用一个数码符号表示u数的表示（数码）p阿拉伯数：0、1、2、3、4p罗马计数：I、

2、II、III、IV、V、X、p汉语中的数字：零、壹、伍、拾、p二、数的表示u“零”的问题p阿拉伯数：0、10、100、p汉语中的数字：零、拾、佰、仟p天干地支：没有零p罗马数字：没有零二、数的表示u0是什么都没有吗？p计数功能：0 即 没有p标记功能：如0C、海拔高度u0 1吗？p一般地，数字 01p标记 0 没有大小p有时候，0可能大于1，比如数字电路中用0表示高电平，而用1表示低电平二、数的表示u进位计数法p罗马计数法不是进位计数法，进位没有意义p十进制数 32405=3x104+2x103+4x102+0 x101+5x100p十六进制数A20F=Ax163+2x102+0 x161+F

3、x160p二进制数110101=1x25+1x24+0 x23+1x22+0 x21+1x20二、数的表示如果把10n理解为“n个10的乘机”u如何理解100=1？u能理解10-1=？u可以理解20、2-1、2-2、吗？三、数的运算u进位制运算算术运算p加法：逢十（二、十六）进一p减法：借一当十（二、十六）u如何计算大数加、减法？p需要死记硬背吗？p灵活运用规则三、数的运算u无进位运算布尔运算p逻辑运算是一种最基本的运算p可用布尔运算表示与01000101或01001111异或01001110四、计算机中的二进制数u计算机中为什么使用二进制数？p巴贝奇的差分机使用十进制p冯诺依曼计算机采用二进

4、制l运算规律简单l实现容易（设备部件造价低）l可实现布尔运算p有没有不足？四、计算机中的二进制数u数值转换方法p十进制转化为二进制p二进制转化为十进制p二进制转化为八进制、十六进制p八进制、十六进制转化为二进制四、计算机中的二进制数u符号位p计算机的字若字长为8，则35的内存形式为00100011若字长为16，则为0000000000100011p符号位将字的最高位作为符号位，0表示正数，1表示负数四、计算机中的二进制数u原码p符号位表示正负数，其他位是数的绝对值对应的二进制数若字长为8，则35的原码为00100011-35的原码为10100011p利用原码能实现算术运算吗？p0的原码是什么？

5、“-0”问题四、计算机中的二进制数u反码p对于原码，若符号位为0，则其他位不变，若符号位为1，则其他位取反，得到该原码的反码35的反码为00100011-35的原码为11011100p利用反码能实现算术运算吗？p“-0”问题依然存在四、计算机中的二进制数u补码p整数的补码和反码相同，负数的补码是反码在最低位加1得到的35的补码为00100011-35的补吗为11011101p利用补码能实现算术运算吗？p0的补码是什么？“-0”问题还存在吗？四、计算机中的二进制数u求补码的原码（真值）p可以先把补码转化为反码再转化为原码p将补码当作“原码”，按照相同的方法求“反码”和“补码”，该“补码”就是原码

6、p这一特性极大地节省了部件成本四、计算机中的二进制数u一个神奇的数p若字长为8，则原码有0127、-0-127共256个，反码也有256个，他们都有一个特殊的“-0”p补码没有“-0”，难道只有255个数吗？p10000000是谁的补码？p答案：-128。因此补码的256个数是-128127练习u假设计算机的字长为8，试用二进制补码的加法运算模拟计算67-149，给出计算过程u请给出以下整数的补码127、1、-1、-127、-128考考你之一1 2 3 4 998 999 1000(1)瓶子编号(2)编号用二进制表示瓶子编号对应二进制数定长二进制110000000001210000000001

7、031100000000119981111100110111110011099911111001111111100111100011111010001111101000(3)需要10只小白鼠(4)小白鼠只喝标记为1的瓶子中的水000000000100000000100000000011.111110011011111001111111101000(5)把死掉的小白鼠标出来(6)得到毒瓶子的编码0100110001 305 000000000100000000100000000011.111110011011111001111111101000考考你之一五、编程中的“0”u0有类型吗？p整数0、

8、小数0.0、字符0、字符串“”有什么区别？p变量的初值都是 0 吗？p一个没有初始化的变量的初值是多少？lBASIC、FORTRAN中的变量lC、JAVA中的变量五、编程中的“0”u除以0异常问题程序执行时，若除数为0，则出现异常u解决之道BASIC语言： ON ERROR GOTO Java语言:try . catch (e) .C语言：if ( div!=0) . else . 六、二进制数的乘法和除法u怎样计算二进制数的乘法？例：试计算1101与1011的乘积（假设字长为8）1101X 101111011101. 0000.1101.10001111结果为10001111可否用十进制验证

9、？思考：能编程吗？六、二进制数的乘法和除法u用加法和移位实现二进制数的乘法基本规则：要计算A、B的乘积S，首先令S各位为0，从左到右顺序取B的一位，如果为0，则将S各位左移一位，如果为1，则将S与A相加后再将S左移一位，直到B最后一位六、二进制数的乘法和除法要计算1101与1011的乘积（假设字长为8）：开始，A=1101，B=1011，S=00000000B的第1位是1，S+A=1101，移位S=00011010B的第2位是0，移位S=00110100B的第3位是1，S+A=01000001，移位S=10000010B的第4位（最后）是1，S+A=10001111六、二进制数的乘法和除法u怎

10、样计算二进制数的除法？例：试计算1010010除以111的商和余数 即 82 / 7 = 11 余 500001011111 )01010010111.11010111. 1100 111101六、二进制数的乘法和除法u用减法和移位实现二进制数的除法设被除数为A、除数为B、商为Q、余数为R，Q和R初值为0。将A由左到右依次左移进入R，每次移位进入后比较R和B的值，如果RB，则将这一位的Q的值置1，然后从R中减去B（做补码加法运算），否则不做操作。Q与A移位同步进行。直到A全部进入R单元为止。六、二进制数的乘法和除法令A=1010010，B=111，Q=R=0A左移1位进入R，A=010010，R=1，因RB，Q=0A左移，A=10010，R=10，因RB，Q=0A左移，A=0010，R=101，因RB，R=R-B=11，Q=1A左移，A=10，R=110，因RB，R=R-B=110，Q=101A左移，A空，R=1100，因RB，R=R-B=101，Q=1011考考你某明星到大学里搞活动，场面异常火爆（人很多），但学生素质高，秩序井然。活动的组织者想知道到底来了多少人？你能帮他想想办法吗？考考你之二现有1000张1元纸币，请设法分装在10个信封中，要求能用这些信封组合出任意不大于1000的数额，而不用拆开信封。作业u试编写一个函数，将存放在字符