中考复习：几何图形中的最值问题

1、中考复习：几何图形中的最值问题几何图形中的最值问题 1.如图，在 RtABC 中，/ACB=90 , AB=5, BC=3.若点 D 是 AB边上任意一点，且不与点 A、B重合，连接CD.将 BCD沿着CD 所在的直线翻折，使得点B落在点B处，连接AB；则AB的最小值 为.1【解析】在RtzABC中，根据勾股定理可得：AC = a/aB2- BC2 = 452-32 = 4,由对称性可知：BC=BC=3, BC的长度固定，.当 AB'+ BC的值最小时，AB'的值最小，根据 两点之间，线段最短”可 知当A、B'、C三点共线时，AB最小，/.AB= AC-BC=4-3=1

2、. 2.如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，3, /ABC= 60°,点 M、N 分别 是BC、CD上任意一点，点 P是BD上一点，连接PM、PN,则PM + PN的最小值为.第2题图第2题解图6【解析】如解图，作点N关于BD对称的点N；根据菱形的对称性可知点N在AD上，又由两平行线之间，垂线段最短，过点 N作NMLBC于点M,故MN与BD的交点P即满足PM+PN的值最小, 故 MN = AB sin/ABC= 4小学=6. 3.如图，在矩形ABCD中，AB=9, BC=12,点E是BC中点，点F是边CD上的任意一点，当zAEF的周长最小时，则 DF的长为AI)第3题解图6【解析】

3、如解图，作点E关于直线CD的对称点E',连接AE交CD于点F, 在矩形ABCD中，AB=9, BC= 12,点E是BC中点，CE， CF 一 6.BE=CE = CE= 6, VABXBC, CDXBC, /.CE，= CF,即=BE AB 12 + 6CF"9",解得 CF = 3, .DF = CD CF=93=6. 4.如图，在 RtzABO 中，/ AOB= 90 , AO+BO=5,延长 AO 到 C,使OC=3,延长BO到D,使OD = 4,连接BC、CD、DA,则四边 形ABCD面积的最大值为.ZL C次A B第4题图18 【解析】设 OA=x, OB

4、=y, . AO+BO=5, ，x+ y=5, .延长 AO 至U C, OC = 3,延长 BO 至U D, OD=4,连接 BC、CD、DA,111/AOB=90 , S 四边形 abcd = Saacd + Sabc= 2AC OD + ?ACOB=211,AC (OD+OB) = 2AC BD = 2(x+3)(y+ 4), . x+y = 5, S 四边形 ABCD111° 一一= 2(x + 3)(5-x+ 4) = 2(x+3)(9 x) = /(x3)2+18. .四边形 ABCD 的最大面积为18. 5.如图，已知四边形 ABCD, /BAD=120°,

5、CB±AB, CDXAD, 且AB = AD = 3,点E、F分别是 BC、CD边上的动点，那么zAEF 周长的最小值是.M E第5题图第5题解图6场 【解析】如解图，延长AB至点M,使BM = AB,延长AD至点 N,使DN=AD,连接MN,交BC于点E,交DC于点F./CBXAB, CDXAD,.BC、CD 是 AM、AN 的垂直平分线，/.AE=ME, AF = FN.vAAEF 的周长=AE+EF + AF=ME + EF+FN=MN,此时 AEF 的周长为线段 MN 的长.v AB = AD = 3,.AM = AN = 6, ./BAD=120 ,/M=/N=30 ,MN

6、 = 2AM cos30 = 12X= 6 3. 6.如图，在 RtABC 中，ABXBC, AB= 6, BC = 4, P 是4ABC 内部的一个动点，且满足 /PAB=/PBC,则线段 CP长的最小值为A7 / 7第6题图第6题解图2 【解析】如解图，./ PAB=/PBC, / ABC= 90°,. / BAP+/ PBA = 90； /APB = 90； .点P始终在以AB的中点。为圆心，以OA= OB=OP=2aB=3为半径的圆上，由解图知，只有当在点 P在OC 与。的交点处时，PC的长最小.在RtzOBC中，OC=yOB2TBC2 =32+42=5, /.PC=OC-O

7、P = 5 3 = 2,线段 CP长的最小值 为2. 7.如图，在矩形 ABCD中，AD = 2, AB= 3,点E是AD边的中点，点F是射线AB上的一动点，将4AEF沿EF所在直线翻折得到 AEF,连接AC,则AC的最小值为.第7题图第7题解图小01【解析】如解图，点E是AD的中点，.根据翻折性质得-11AE = AE=DE = 2AD = 2><2= 1, .点F为动点，.随着点F的运动，点A的运动轨迹是以点E为圆心，AE为半径在矩形ABCD内的圆弧， 当E、A'、C不在同一直线上时，则 CA'、AE和CE围成三角形，根 据三角形的三边关系，即 AC>CE

8、-AE,当E、A'、C在同一直线上 时，即AC=CE AE,综上所述AC毛E AE, 当E、A'、C在同 一直线上时，AC有最小值，在RtzCDE中，CD=3, DE=1,.CE = a/CD2 + DE2 = <3W =忻,.AC 的最小值为 CE-DE = V10- 1. 8.如图，正方形ABCD的边长为4, / DAC的平分线交DC于点E. 若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则 DQ + PQ的最小值是API)A P I)第8题图第8题解图2y2【解析】如解图，作D关于AE的对称点D； DD交AE于F, 再过 D作 DPLAD 于 P, v DD AE,. / A

9、FD = / AFD/AF = AF, /DAE=/CAE, . ADFAADF, /.AD = AD = 4, . D'与 D 关于 AE 对称，/.QD=QD；. DQ +PQ= QD'+ PQ=PD；.DP' 即为DQ + PQ的最小值，四边形ABCD是正方形，./DAD'=45；AP=PD'，.在 RtAPD中，PD2+AP2 = AD2,即 2PD2=16,PD'=2也即DQ + PQ的最小值为2y2. 9.如图，点P为边长为2的正方形ABCD外一动点，且PAX PB, 连接AC、PC,则APAC的最大面积为.第9题图第9题解图1【解析

10、】如解图，作出以AB为直径的。交线段AC于点E, 连接PE、OE、BE,由AC为正方形的对角线及。的直径为AB,可 得4AEB为等腰直角三角形，则点E为AC的中点，.$ apc=2Sxape, 要使得4APC的面积最大，只需使得 4APE面积最大即可./ AE1 _长度为定值，只需使4APE中AE边上的图最大即可，VAE=-AC= 1s/aB2+BC2 =/，OA=OB=OE=1, .AOE 是等腰直角三角 形，.口AOE中，利用等面积法求得AE边上的高为OAEE=%= *，.APE中AE边上的高的最大值为1+乎，.APE面积的最 大值为 2 X1+g)W2 = 222+ 2，.PAC 的最大

11、面积为 2乂、22+：)=2+1. 10如图，在四边形 ABDE中，C是BD边的中点，BD=8, AB=2,DE = 8.ZACE=135 ,则线段AE长度的最大值是 .10 + 4啦 【解析】如解图 ，分别将AABC、zCDE沿AC、CE翻 折，则点B落到点F处，点D落在点G处，连接AG、FG.由两点之 间线段最短”可知 AGWAF + FG, AEWAG+EG,.AEWAF + FG + EG, .如解图所示，当点A、F、G、E四点共线时，AE最大，此 时，AE = AF+FG + EG,由翻折可证 AACBAACF,.CB=CF, AB = AF, / ACB=/ACF.同理，ACDEACGE, CD = CG, DE = GE, / ECD = / ECG. /Z ACE= 135 ,. / ACB+ / ECD = 45