“定区间动轴法”求区间最值

1、仅供参考“定区间动轴法”求区间最值所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间a,b(或(a,b)标在数轴上，无论该区间是 动的还是静的，根据运动的相对性，都将其看作“静止”的，然后分对称轴X0Ma、aWxoWb、Xo>b三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分X。<a二艺和xoa¥两种情况进行讨论.这样让区间标在数轴上不动，而 22让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏， 并且简捷易行.1.条件中给出区间，直接采用 “定区间动轴法”求区间最值例1已知f(x)=x

2、2+4x+3,xw R,函数g(t)、h(t)表示函数f(x)在区间t,t+1上的最小值，最大值，求g(t)、h(t)表达式.分析：此题属于区间最值问题，结合图形，将区间t,t+1在数轴上相对固定，让对称轴x = -2的区间t,t+1内外移动，即分成-2 <t ； t< -2< t+1 ； -2At+1三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数f(x)在区间t,t+1上的最小值.而只需分2 W t十(t+1)与_2 > t十(t+1)两种情况 22讨论便可求出f(x)在区间t,t+1上的最大值.解：由f(x)=x2+4x+3 = (x+2)2-1,知图象关于x = -2

3、对称，结合图象知，当2<t,即 t>2 时，g(t) = f (t) =t2+4t+3;而当 t02&t+1,即30t&-2时，g(t) = f(2)= A J，当 t+1c2,即 tc3时，g(t)= f(t+1)=t2+6t+8.t2 6t 8,t (-:,-3)g(t) =-1,t-3,-2.t2 +4t +3”(-2,y)h(t) = f(th(t) = f(t)当20 t *(t +1) ,即 t>-5 时, 22当 _2>39,即 t<-5 时， 22 5t 6t 8,t -,二) .h(t)=2 5 .t2 4t 3,t -(-:,-

4、)2评注：本题采用了 “定区间动轴法”，分-2<t; tw_2&t+1; 2>t+1三种情况和2Wt+(t +1)； -2>t+(t+1)两种情况进行讨论,使本来因分类讨论带来的繁琐、思维混乱，变得脉络 22清晰、思维流畅、条理性强，降低了分类讨论中因分类不清带来的难度.此法是解决区间最值的一种非常有效的方法.该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段，是解题的一个有效 途径，用数形结合法解题，直观、便于发现问题，启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解 决问题的能力.应用分类讨论思想的前提是：审题准确、切入方向正确、分类严谨.引起分类讨论的 原因主要有：字

5、母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等.有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘.在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏.当然，有时也可采用转化思想避开 分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识.例2已知二次函数y = f(x)的定义域为R, f=2且在x = t处(twR)取得最值，若y = g(x)为一次函数，且 f(x) g(x) =x2 2x -3(1)求y = f(x)的解析式(2)若xw_1,2时，f(x)1何成立，求t的取值范围-I ，分析：(2)若xw1,2时，f(x)1何成立，条件的实质即为：当xw1,2时f(x)的最小值在于或等于-1 ,从而将问题归结为区间最值问

6、题.作出函数的大致图象，借助函数图象的直观性 让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论. / ； j 1解：(1)设 f (x)=a(xt)2+b, g(x)为一次函数，a=1又 f (1)=2, . (1t)2+b =2 , . b = t2+2t+1 , . f x ；=x2 -2tx 2t 1(2)即 fmin(x) > -1i| 3当 t < 1 时，f (x)m = f (-1)=2+4t > -1 ,得 9 _34当-1<t< 2 时，f(x)min =f(t)=t2 +2t + 11 ,得 1J3Wt01+J3当 t >2时，f(x)min =

7、f (2) = 42t +11 ,得 t 0 3由，得：173wtW3.评注：给定自变量区间求解最值问题时， 最重要的策略就是结合二次函数图象， 利用对称轴与 区间的位置关系，可直观显示相应的最值.2.通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解例 3 设函数 f (x) = x2- 4x- 5 .当k>2时，求证：在区间-1, 5上，y = kx+3k的图像位于函数f (x)图像的上方.分析：通过转化思想，将文字语言y= kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方，转化为符号语言 g(x)= k(x+ 3)- (- x2+ 4x+ 5)> 0 ,当 x? 1,

8、 5时恒成立.而当 x? 1, 5时,g(x)=k(x+3)- (- x2+ 4x+ 5)> 0恒成立只需g(x)min >0,所以，本题的实质为区间最值问题.解：当 x? 1,5时,f (x) = - x2 + 4x + 5.罗 4- k： k2- 20k + 36额 2 ；44- kk> 2 , . < 1.又-1 #x 5,24- k2，4- k当-1? 1 ,即2< k? 6时，取x =22_g(x)min =-k - 20k + 36 _4V 16? (k 10)2< 64,(k- 10)2- 64< 0 ,则 g(x)min > 0

9、.4- k 当< -1 ,即 k> 6时，取 x= - 1, g(x)min = 2k> 0.2由 、可知，当k> 2时，g(x)> 0, x? 1, 5.因此，在区间-1, 5上，y = k(x+ 3)的图像位于函数f(x)图像的上方.评注：因为k> 2条件的限制，降低了问题的难度，使讨论的情况减少.很多问题通过转化思想 都可以达到化生为熟、化未知为已知、化繁杂为简单的目的，体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型，通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解， 让我们有一种豁然 开朗的感觉.例4设a为实数，,1记函数f (x) =aJ1 -

10、x2 + J1 +x + J1 -x的最大值为g(a).(I)设t = J1 +x +11 -x ,求t的取值范围，并把f (x)表示为t的函数m(t),求m(t)和表达式及t的取值范围.(H)求 g(a).分析：本题看似与区间最值无关，但通过换元、转化思想，可将问题化归为区间最值解：(I ) ； t = Ji +x + Ji - x ,要使t有意义，必须1+x>0且1-x>0,即-1&x01.；t2 =2+24 -x2 w 12,4 , t0,.t的取值范围是 W，2.mt = a i 1t2-1 )+t =gat匚,0 I,则 g(a)=m(2)=a 2 . a :二2

11、评注：此题也给我们启发：遇陌生或比较棘手的问题时，可采用化归、转化思想，将其转化为 熟知的问题、简单的问题，从“数”方面难以入手时，可考虑借助形来说理.例5求函数y = sin2 x + psin x+q的最值.分析：由已知条件的形式特点，可采用配方法，从而将问题转化为二次函数区间最值问题， 但 要注意-1Wsinx01的条件限制，在此条件限制下，其实质即为区间最值问题，采用“定”区间“动” 轴法，结合图形便可求出函数f(x)在区间-1,1上的最值. +t a , t w V?2 I.1(II )由题息知g(a脚为函数m(t )=at +t-a , t w V2,2 I的最大化11汪息到直线t

12、 =(a #0)是抛物线m(t ) = (at2+t-a的对称轴，分以下几种情况讨论.(1)当a>0时，函数y =m(t ), t w 点,2的图像是开口向上的抛物线的一段，由t = 1(。知m(t班立2 I上单调递增，g(a)= m(2)=a+2 .(2)当 a = 0时，m(t ) = t , t w 砂,2 I, . g(a )=2.(3)当a<0时，函数y = m(t ), t w3叵21的图像是开口向下的抛物线的一段.1=(0,扬，即 a <-,贝U g(a 尸m(T2 )=72 . a2_工三百2,即 a ",-1,贝U g (a 尸 m _'=_a1一匚(2, +笛)，即a ag(a日-a 一一，2aa22, a2a解： y = sin2 x psin x q = (sin x )24q - p24(1)若-1<-p<1, IP -2 < p < 2 ,则当 sinx = R 时，ym. = 4q - p ;最大值在 sinx = 1 或 224sin x = 1时取得.(2)若B < 1 ,即 p >2 ,则当 si