2018二次函数复习专题讲义

1、实用标准文案二次函数【知识清单】1、一般的，形如 y =ax2+bx + c（a = 0,a,b,c是常数）的函数叫二次函数。例如1y = -2x,y=2x +6,y = _x -4x,y = -5x + 9x - 6 等都是一次函数。汪忠：系 3数a不能为零，b,c可以为零。2、二次函数的三种解析式（表达式）一般式：y = ax2 bx - c（a : 0,a,b,c是常数）顶点式：y = a（xh）2+k（a,h,k为常数，且a=0）,顶点坐标为（h,k）交点式：y = a（x -x1）（x -x2）（a # 0,其中x1, x2是抛物线与x轴的交点的横坐标） 3、二次函数的图像位置与系数

2、a,b,c之间的关系a：决定抛物线的开口方向及开口的大小。 当a>0时，开口方向向上；当a<0 时，开口方向向下。|a |决定开口大小，当|a |越大，则抛物线的开口越小；当|a| 越小，则抛物线的开口越大。反之，也成立。c：决定抛物线与y轴交点的位置。当c>0时，抛物线与y轴交点在y轴正半 轴（即x轴上方）；当c<0时，抛物线与y轴交点在y轴负半轴（即x轴下方）； 当c=0时，抛物线过原点。反之，也成立。a和b：共同决定抛物线对称轴的位置。当 8A0时，对称轴在y轴右边；2a当一2<0时，对称轴在y轴左边；当-上 = 0 （即当b = 0时）对称轴为y轴。 2a

3、2a反之，也成立。特别：当x=1时，y = a +b +c ;当* = 1时，有y =a b +c。反之也成立。4、二次函数y = a（x-h）2 +k的图像可由抛物线y = ax2向上（向下），向左（向右） 平移而得到。具体为：当h>0时，抛物线y=ax2向右平移h个单位；当h<0时, 抛物线y = ax2向左平移-h个单位，得到 y = a(xh)2；当k>0时，抛物线 y =a(x h)2再向上平移k个单位，当k<0时，抛物线y = a(x h)2再向下平移-k 个单位，而得到y =a(x h)2+k的图像。5、抛物线 y =ax2+bx+c(a #0)与一元二次

4、方程 ax2+bx + c = 0(a = 0)的关系： 若抛物线y =ax2 +bx +c(a #0)与x轴有两个交点，则一元二次方程ax2 +bx+c = 0(a ¥ 0)有两个不相等的实根。若抛物线y =ax2 +bx +c(a *0)与x轴有一个交点，则一元二次方程 2ax +bx+c = 0(a#0)有两个相等的头根(即一根)。若抛物线y = ax2+bx+c(a¥0)与x轴无交点，则一元二次方程 ax2 +bx+c = 0(a ¥ 0)没有实根。6、二次函数y =ax2+bx + c(a #0,a, b,c是常数)的图像与性质关系式2 .，一、y =

5、ax +bx+c(a*0)， 、 2，一、y = a(x-h) +k(a¥0)图像形状抛物线顶点坐标_b_ 4ac -b2(一,3)2a 4a(h,k)对称轴bx =一2ax = h增减性a > 0在图像对称轴左侧，即x<-或x m h , y随x的增大2a而减小；在图像对称轴右侧，即x > -一或xh, y随2ax的增大而增大；在图像对称轴左侧，即x < -或x<h, y随x的增大 2a)a <0而增大；在图像对称轴右侧，即x >或xh, y随2ax的增大而减小；最大值最小值a > 0、I/b ,4ac b=x=时，y最小值一2a4a

6、当x = h时,y最小值二ka <0、/b4ac -b2当x - 时，y最大值一2a4a当x = h时，y最大值=k【考点解析】考点一：二次函数的概念【例1】下列函数中是二次函数的是 ()2一 8 一 3Ay =8x 1 B.y - -8x -1 C.y =- D.y = - -4 xx【解析】根据二次函数的定义即可做出判断，A中y = 8x2 +1符合y = aX十bx( c 00)勺形式，所以是二次函数， B,C分别是一次函数和反比例3函数，D中右边 鸟-4不是整式，显然不是二次函数。 x【答案】A2【例2】已知函数y = (m -2m)x-3mx+(m+1)是二次函数，则 m=【解

7、析】根据二次函数的定义，只需满足两个条件即可“二次项系数不为零，且x的最高次数为2”。故有82-2m科，解得8'爪m=2,综上所述，m取2。 m2 -3m 4 =2m=1Km=2【答案】2【针对训练】 21、右函数y = (m-2 )x + mix二次函数，则该函数的表达式为 y =o考点二：待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例U已知点（a,8）在二次函数y = ax2的图象上，则a的值是（）A.2B. -2 C. _2D._、2【解析】因为点（a,8底二次函数y = ax2的图象上，所以将点（a,8）代入二次函数y =ax2中，可以得出a3 =8 ,则可得a = 2 ,【答案】

8、A.【例2】若二次函数y =ax2+bx + c的x与y的部分对应值如下表，则当 x = -1时，y的值为（x7-6-54-3-2y-27-13-3353A.5B. -3 C.-13-27【解析】设二次函数的解析式为y = a（x-h）2十k,因为 当x=Y或2时，y = 3 ,由抛物线的对称性可知h = 3 , h = 5 ,所以y = a（x + 3f + 5 ,把（-2,3） 代入得，a = -2,所以二次函数的解析式为y = -2仅+3）2 +5,当x=3时，y = <7。【答案】C【针对训练】1、过（-1,0） （3,0） （1,2）三点的抛物线的顶点坐标是（ ,一2一14A

9、1,2B.（1,2）C. -1,5D.（2,一）332、无论m为何实数，二次函数y=x2 -（2-mx + m的图象总是过定点（）A.1,3B.1,0 C.-1,3 D -1,0【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y = ax2+bx + c的图象顶点为AJ2,-2）,且过点B（0,2 ）,则y与x的函数关系式为（）.2222_Ay = x 2 B.yax-2i -2 C.ygx-2 - 2 D.ygx 2 -2【解析】 设这个二次函数的关系式为y = a(x + 22 2 ,将B(0,2)代入得2=(0+22 -2 ,解得：a =1 ,故这个二次函 数的关系 式是y = (x +

10、2；2-2,【答案】D【针对训练】1、过(-1,0 ), (3,0), (1,2)三点的抛物线的顶点坐标是。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用(与系数a, b,c的关系)【例11已知二次函数y = a(x+1)2 -b (a ¥0)有最小值1,则a、b的大小关系为Aa>b B. a<bC.a = bD.不能确定【考点】涉及二次函数顶点坐标和最值【解析】因为二次函数y =a(x+1)2 -b(a #0)有最小值1,所以a>0, -b = 1, b = T ,所以 a >b o【答案】A.【针对训练】1、二次函数y = 2x2 -4x -1的最小值是。2、二次

11、函数y = -2(x-1)2 +3的图象的顶点坐标是()A (1,3)B. (-1,3) C.(1,-3)D. (-1, 一3)3、抛物线y =-x(x-2)的顶点坐标是()Ai (-1,-1)B.(-1,1)C.(1,1)D. (1,-1)【例2】抛物线y = (x+2)2 -3可以由抛物线y=x2平移得到，则下列平移过程正确的是()A先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B.先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C.先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D.先向右平移2个单位，再向上平移3个单位【考点】涉及函数平移问题【解析】抛物线y = x2向左平移2个单位可得到抛物线y = (x +

12、2)2,再向下平移3个单位可得到抛物线y =(x+2)2 3。【答案】B.【针对训练】1、已知下列函数：(1) y=x2； (2) y = x2； (3) y = (x 1)2+2。其中，图 象通过平移可以得到函数 y =x2 +2x -3的图象的有 (填写所有正确 选项的序号)。2、将抛物线y = x2 -2向上平移一个单位后，得到新的抛物线，那么新的抛物线的表达式是 03、将抛物线y = x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是()Ay = -x2 2B. y=-(x 2)2 C. y = -(x-2)2D. y =-x2 - 2【例3】二次函数y = ax2 +bx + c的图象如

13、图所示，则下列关系式错误的是()A a 0B. c 0C. b2 - 4ac 0D. a b c 0【考点】图像与系数的关系【解析】观察题中图象可知，抛物线的开口方向向上，抛物 线与y轴的交点在y轴的正半轴上，与x轴有两个交点，所以 a0,CA0, b2 4ac>0,且当 x=1 时，y = a+b+c<0。显然选项A、R C都正确，只有选项D错误。【答案】D.【例4】已知二次函数y = ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x =1,则下列结论正确的是()A ac 0B.方程 ax 2 +bx + c = 0 的两根是 x1 = -1 , x2 = 3C. 2a -b =0

14、D.当x >0时，y随x的增大而减小【考点】图像与性质的综合应用【解析】由图象可知a<0,CA0,故A错误；因对称轴为直线x = 1,所以2=1 ,2a故C错误；由图象可知当1>x>0时，y随x的增大而增大，故D错误；由二次函数的对称性可知B选项正确，【答案】B.【针对训练】1、在同一平面直角坐标系中，函数 y = mx + m和函数y = mx2+2x + 2 (m是2、已知抛物线y =ax2+bx+c(a*0)在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论中，正确的是()A a 0B. b ：二 0C. c <0D. a +b + c a03、在反比例函数中y=

15、f(a#0),当x>0时，y随x的增大而减小，则二次函 x数y =ax2 -ax的图象大致是()D.考点四：二次函数的实际应用【例11某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1 （元）x与月份（1MXM9,且x取整数）之间的函数关系如下表:月份x123456789价格y1 （元/件）560580600620640660680700720随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2 （元）与月份x （10<X<12且X取整数）之间存在如图所示的变化趋势:,(

16、n/ft)（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出丫1与乂之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与X之间满足的一次函数关系式；（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为 50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量5（万件）与月份x满足函数关系式6=0.1x+1.1 d<x<9,且x取整数）10至12月的销售量p2 （万件）与月份x满足函数关系式p2=-0.1x+2.9 （10&x& 12且X取整数）.求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；（3）今年1至5月，每件

17、配件的原材料价格均比去年 12月上涨60元，人力成 本比去年增加20%,其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础 上提高a%,与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a% ,这样，在 保证每月上万件配件销量的前提下，完成了 1至5月的总利润1700万元的任务， 请你参考以下数据，估算出a的整数值.（参考数据：992=9901, 982=9604, 972=9409, 962=9216, 952=9025）【考点】涉及函数模型，把实际问题转化为函数，用函数的观点来解决问题，综 合性比较强，一般还涉及不等式，最值问题。【解析】（1）把表格（1）中任意2点的坐标代入直线解析式可

18、得y1的解析式.把（10, 730） （12, 750）代入直线解析式可得y2的解析式，；（2）分情况探讨得：10X09时，利润= p1x （售价-各种成本）；100X&12时，禾 = p2X （售价-各种成本）；并求得相应的最大利润即可；（3）根据1至5月的总利润1700b 560万元得到关系式求值即可。解：（1）设y =kx+b,则J b 560错误！未找2k+b = 580到引用源。，解得错误！未找到引用源。k = 20b=54精彩文档= ax + b ,则错误！未找到引用y1 =20x +540 (K x<9,且x取整数)；设 y210a+b=73a=10源。 b 3,解

19、得错误！未找到引用源。,a 0,y2 =10x+630 （ 10 J2a+b=75Jb=63< x<12,且x取整数）；（2）设去年第x月的利润为W元.1&x&9,且x取整数时W = p1 父(1000 50 30y1) = -2x2 +16x+418 = 2(x 4)2 +450，x=4 时， W 最大=450元；100 乂012,且乂取整数时，W= p2 M （1000-50-30-y2） = （x-29）2；x=10时，W最大=361元；（3）去年12月的销售量为-0.1 X 12+2.9=1.7 （万件），今年原材料价格为：750+60=810 （元）今年人

20、力成本为：50X （ 1+20% =60元.5X1000 X （ 1+a%） - 810-60- 30 X 1.7 （1-0.1 X a% ） =1700,St =a% ,整理得 10t2 99t+10 =0 ,解得t =99 69401: 9401更接近于9409,J9401#97错误！未找至U20引用源。，”=0.1, t2 = 9.8, a1 = 10 或 a2=980,1.7 （10.1 Xa%） >1,; a = 10.【答案】（1） y2 =10x+630 （10< x<12,且 x 取整数）；（2） x = 10 时，W 最大=361 元；（3） a = 10【

21、针对训练】1、在“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们 购进一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给 贫困母亲。经试验发现，若每件按24元的价格销售时，每天能卖出36件；若每 件按29元的价格销售时，每天能卖出21件.假定每天销售件数y （件）与销售 价格x （元/件）满足一个以x为自变量的一次函数。（1）求y与x满足的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（2）在不积压且不考虑其他因素的情况下，销售价格定为多少元时，才能使每 天获得的利润P最大？【例2】如图，已知二次函数图象的顶点坐标为（2, 0）,直线y=x + 1与二次函 数的图象交于

22、A,B两点，其中点A在y轴上.(1)二次函数的解析式为 y=;(2)证明点(_m,2m_1)不在(1)中所求的二次函数的图象上；(3)若C为线段AB的中点，过C点作CE _L x轴于E点，CE与二次函数的图 象交于D点.y轴上存在点K,使以K, A, D,C为顶点的四边形是平行四边形，则 KK点的 坐标是;二次函数的图象上是否存在点 P ,使得SOE =2Sbd ?求出P点坐标；若不【考点】考察函数的图像与性质，与平面图形综合为主，一般涉及存在性问题和 动点问题。【解析】(1)由二次函数图象的顶点坐标为(2,0),故根据抛物线的顶点式写出 抛物线解析式.(2)把该点代入抛物线上，得到 m的一元

23、二次方程，求根的判 别式.(3)由直线y =x+1与二次函数的图象交于 A, B两点，解得A, B两点坐标， 求出D点坐标，设K点坐标(0, a),使K, A,D,C为顶点的四边形是平行四边形， 则KA =DC ,且BA/DK ,进而求出K点的坐标.过点 B作BF 1 x轴于F , 则BFCEAO,又C为AB中点，求得B点坐标，可得到S占0e=2S启bd,设 P(x,1x2 -x+1),由题意可以解出x.4(1)解：y = 1x2 -x 1 41c(2)证明：设点(-m,2m-1)在二次函数y =1 x2-x+1的图象上，4则有：2m1=lm2+m+1,整理得 m2 4m+8 = 0 , 4.

24、 A =(4)2 4k8 = 16c0；原方程无解,;点(m,2m1)不在二次函数y=1x2 -x+1的图象上.4(3)解： K(0,_3)或(0,5) 二次函数的图象上存在点PP,使得S巾OE =2S/ABD ,如图，过点B作BF _Lx轴于F ,则BF CEAO ,又C为AB中点,1 ,OE =EF ,由于 y=_x x+1 和 y=x+1 可求得点 B(8,9)4E(4,0), D(4,1),C(4,5)ADx轴，八一八1，SOE =2SaBD =2X =<4><4=16.111 o1 o设 P(x,x2 x+1),由题意得：S&OE 二？ M4Qx2x+1)

25、= 2x2 2x + 2x = -6 或 x=10 ,1当 x =10 时，y = M100 10 +1 =16 ,4存在点 P(-6,16)和 P(10,16)，使得 Soe= 2Sabd【答案】(1) y1 x2 -x+1 ;(2)见上述解答过程；(3)存在，点P(-6,16)4和 P(10,16)【基础闯关】1、已知二次函数y = ax2 +bx+c的图象如图所示，那么这个函数的解析3、把抛物线y= 2x2向上平移5个单位，所得抛物线的解析式为 4、将二次函数y =x24x+5化成y = (x h)2+k的形式，贝U y=5、如图，抛物线的函数表达式是()22_Ay=x-x 2B. y=

26、x x 27、二次函数y = 2(x-1)2+3的图象的顶点坐标是(A (1, 3)B. ( -1 , 3)C. (1, 33)D. ( -1 , 33)128、对于抛物线y =-2(x+1) +3,下列结论：抛物线的开口向下；对称轴为直线x=1；顶点坐标为(-1, 3);x>1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为()A 1B.2C.3D.49、已知：直线y=ax+b过抛物线y =-x2-2x+ 3的顶点p,如图所示.(1)顶点p的坐标是(2)若直线y=ax+b经过另一点A (0, 11),求出该直线的表达式；(3)在(2)的条件下，若有一条直线 y=mx+n与直线y = ax+

27、b关于x轴成轴对称，求直线y = mx + n与抛物线y = -x2 2x+3的交点坐标.10、已知二次函数y=x2+2x-3,解答下列问题：(1)用配方法将该函数解析式化为 y = a(x + m)2 + k的形式；(2)指出该函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴，以及它的变化情况.【拓展提高】1、将二次函数y = 2（x-1）2 -3的图象沿y轴向上平移3个单位，那么平移后的 二次函数图象的顶点坐标是。2、若抛物线y = x2 -2x + m的最低点的纵坐标为n,则m-n的值是 c3、抛物线y =ax2+bx+c的顶点坐标是（1,3 ）,且过点（0,5）,那么二次函数y =ax2 +bx+

28、c的解析式为（）2A y = -2x 4x 52C. y - -2x 4x -12B. y = 2x 4x 52D. y = 2x 4x 3B.b = 2, c=0 C.b5、抛物线y = ax2+bx+c图象如图所示，4、抛物线y =x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为 y = x2-2x-3,a - b - c .y = -bx -4ac+b与反比例函数y =在同一坐标系 内的图 象大致为6、如图，在平面直角坐标系中，有两条位置确定的抛物线,x它们的对称轴相同，则下列关系不正确的是（）A k=n B. h=mC.k< nD, h<0, k< 07、将二次函数y =x2 2x+3化为y = （x h）2+k的形式，结果为（） ,2222A.y=（x 1）4 B. y=（x-1）4 C. y = （x 1）2 D. y = （x-1）28、企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自