排列组合复习教材

1、排列組合復習講義第十二單元排列組合基本計數原理1.加法原理 :若完成一件事情可採取A 或 B 兩種相異途徑 ,但不同時採取 .若 A 途徑有種 m1 方法 , B途徑有 m2 種方法 ,則完成此件事共有m1+ m2 種方法2.乘法原理 :若完成一件事情須經過A 及 B 兩個步驟 .若 A 步驟有種 m1 方法 , B 步驟有 m2 種方法 ,則完成此件事共有m1 ×m2 種方法3.排容原理 : (1) n( AB)n( A)n( B)n( AB)( 2) n( ABC )n( A)n( B)n(C)n( AB)n( BC )n( AC )n( ABC )(Note:n(A)代表 A

2、集合中元素的個數,亦可表成 |A| )4.樹狀圖 :例 1.臺北到台中有 3 種公車可以到達 ,台中到台南有 4 種公車可以到達 ,則從臺北到台南共有幾種不同的乘車方式可以到達 ?Ans:12 種例 2.東門至西門有八條路 ,其中由東向西單行道兩條 , 由西向東單行道三條 ,及雙向道三條 ,某人由東門開始 ,作東西一往返 ,共有多少種走法 ? 若去回不走同一條路 ,則有多少種走法 ?Ans： 30 種, 27 種例 3.設一室有 5 個門，甲乙兩人各由不同門進出一次，且兩人不得同一門進,不得同一門出 ,則共有多少種方法 ?Ans：260 種例 4.關於數字 720,(1)求其標準分解式(2)共

3、有多少個正因數 ?(3)求其所有正因數的和(4)其正因數中為完全平方數共幾個？和多少？(5)其正因數中為完全立方數共幾個 ?(6)其正因數中為 15 倍數共幾個？Ans：(1)24×32×5 (2)30 (3)2418 (4)6, 210 (5)2 (6)10例 5.52 個學生參加數學測驗,有 A,B,C 三題 ,答對 A 題者有 37 人 ,答對 B 題者有 30 人,答對 C 題者有 25人 ,答對 A,B 題者有 20 人 ,答對 A,C 題者有 16 人 ,答對 B,C 題者有 13 人,三題都答對者有5 人 ,問三題中至少答對一題者有幾人? 至少答對二題者有幾人

4、?Ans：48, 39例 6.小於 1000 的自然數中是3 或 5 或 7 的倍數共幾個？Ans：542 個例 7.甲乙兩人比賽七戰四勝，今已比過三場，甲為一勝二敗，則以後的比賽尚有幾種可能？又甲勝的情形幾種？Ans： 10 種, 4 種116排列組合復習講義例 8.由 5 種不同顏色中選塗下列各圖 ,但每區域限塗一色 ,相鄰區域塗異色 ,顏色可重複使用 ,則有幾種塗法 ?(圖形不得旋轉 )Ans： (1)260 (2)420(1)(2)直線排列1. 相異物的直線排列 :(1) n 件不同的物品全取排成一列的排列總數為Pnnn ( n1) (n2)2 1n!(2) n 件不同的物品取 m 件

5、排成一列的排列總數為Pmnn (n 1) (n 2)(n m 1)n!( nm)!(Note: 規定 0!=1 )2. 不盡相異物的直線排列 :(1) 設 n 件物品共分成 k 類,第 i 類有 mi 個 (i=1,2, ,k),且 m1+m2+ +mk=n,則此 n 件物品全取排成一列的排列總數為n!m1! m2 !mk !(2) 不全取 :分類討論3.重複排列 : n 件不同的物品任選出m 件,可重複選取 ,排成一列 ,共有 nm 種方法例 1. 求下列各小題的n 值(1) P4n 14 P3n10 P2n 1( 2) P4n 2 : P32n3 : 2Ans:(1)5(2)8例 2.甲乙

6、丙三人在排成一列的 10 個座位中(1)任選 3 位的方法幾種(2)任選 3 位相連的方法幾種(3)選 3 位均不相鄰的方法幾種Ans： (1)720(2)48(3)336例 3.四男三女站成一線，依下列方式排列，各有幾法？(1)任意排列(2)三女必相鄰(3)三女必不相鄰(4)同性相鄰(5)同性不相鄰Ans：(1)5040 (2)720 (3)1440 (4)288 (5)144117排列組合復習講義例 4.用 0,1,2,3,4 作五位數 ,數字不重複取用,由小排到大則 (1)共有幾個五位數 ?(2)第 36 個數為多少 ?(3) 30142 為第幾個數 ?(4) 求所有的五位數的總和 .A

7、ns：(1)96 (2)21430(2)50 (3)2599980例 5.甲,乙 ,丙,丁,戊 ,己 6 人排成一列，求下列各有幾種排法?(1)任意排列(2)甲排首位(3)甲不排首位(4)甲不排首位且乙不排第二位(5)甲不排首位且乙不排第二位且己不排末位(6)甲排在乙的左側Ans：(1)720 (2)120(3)600 (4)504(5)426 (6)360例 6.某人在晚間寫了五封信,欲寄給不同地址的五位友人,五封信已寫好且信封已署名,突然停電 ,某人在黑暗中摸索 ,將每份信紙各裝入一信封,則下列情形共有幾種裝法?(1) 五封信均裝錯(2)恰有三封裝錯(3)恰有一封裝對Ans：(1)44(2

8、)20 (3)45例 7.將相同的白球 3 個 ,黑球 2 個 ,紅球 1 個排成一列 ,問共有多少種排法 ?Ans：60例 8.將月月月半逢月圓七個字作直線排列，則(1) 任意排列(2) 四個 “月” 完全相鄰(3) 四個 “月” 完全分開(4) 四個 “月” 不完全連在一起Ans： (1)210(2)24(3)6(4)186例 9.用 0， 1， 1，1，2， 2， 3， 4 這八個數字作成八位數，共有幾個?Ans： 2940例 10.棋盤形的街道 ,南北街道有 7 條,東西街道有 5 條 ,今從 A 走到 B,走的路徑要最短 ,(1)其走法有多少種 ?(2)若必須經過 C 點 ,其走法有

9、幾 ? (3) 若必須經過 C 點與 D 點 ,其走法有幾 ? (4)若必須經過 C 點或 D 點,其走法有幾 ? (5)若不許經 C 點與 D 點,其走法有幾 ?Ans:(1)210(2)112(3)60(4)157(5)53例 11.有一樓梯共 10 階 ,今有一人登樓 ,若每步跨一階或二階 ,則上樓之方法有幾種？若規定要跨上第六階 ,則方法有幾種 ?Ans: 89,65例 12.有甲乙丙 3 艘渡船，每艘至多載客5 人，求(1) 5 人渡河時安全渡法幾種(2) 6 人渡河時安全渡法幾種(3) 7 人渡河時安全渡法幾種Ans:(1)243(2)726(3)2142118排列組合復習講義例

10、13.五件不同的禮物分給甲 ,乙 ,丙,丁四人 ,禮物要分完(1)若每人所得不限 ,則方法有幾 ?(2)若甲恰得一件 ,則方法有幾 ?(3)若甲至少得一件 ,則方法有幾 ?(4)若甲至少得二件 ,則方法有幾 ?(5)若每人至少得一件 ,則方法有幾 ?Ans:(1)1024(2)405(3)781(4)376(5)240例 14.(1)有 5 封信件，任意投入 3 個郵筒，共有幾種方法 ?(2) 有 5 種酒任意倒入 3 個不同的酒杯，每杯恰各倒入1 種酒，共有幾種倒法 ?Ans:(1)243(2)125例 15.用0,1,2,3,4 作五位數 ,數字可重複取用 ,由小排到大則 (1)共有幾個五

11、位數 ?(2)第 36 個五位數為多少 ?(3) 20334 為第幾個五位數 ?Ans:(1)2500(2)10120(3)720環狀排列1. n 件相異物品全取排成環狀,若只考慮其相鄰關係 ,則排列方法有 n!(n1)! 種n2. n 件相異物品取 m 件排成環狀 ,若只考慮其相鄰關係 ,則排列方法有 Pmn 種m例 1.主人夫婦與賓客四對夫婦共10 人圍坐一圓桌，求下列坐法各幾種？(1)任意坐(2)每對夫妻相鄰(3)男女相間(4)男女相間且夫妻相鄰(5)主人夫婦相對而坐Ans： (1)9!(2)768(3)2880 (4)48 (5)8!例 2.(1)八個人圍一正方桌而坐，每邊坐2 人，則

12、有多少種坐法 ?(2) 八個人圍一長方形桌而坐，長邊坐3 人，短邊坐 1 人,則有多少種坐法 ?Ans:(1)10080(2)20160例 3.將 5 粒顏色不同的珠子串成手鐲的串坐法有幾種？Ans：12例 4.如下圖之可旋轉紙板,用 7 個顏色去著色 ,每區域一色 ,顏色不重複使用,共有多少種方法 ?Ans： 840119排列組合復習講義例 5.用 6 個不同顏色塗於下列可轉動的各種立體的表面上,每面只塗一色 ,顏色不可重複 ,則有多少種方法 ? (1)正立方體(2) 正四面體(3) 正方錐臺Ans:(1)30 (2)30 (3)180組合1. 一般組合 :從 n 個相異物中取出 m 個為一

13、組 (不論其順序 )( mn )的方法有 Cmn 種(Note: CmnPmnn!)m!m! ( nm)!2.重複組合 :從 n 類物品中取出m 個為一組 (各類物品可重複選取)的方法有 H mn 種(Note: H mnCmnm 1 )3.組合數的性質 :(1) Cmn Cnn m(2) CmnCmn 1Cmn 114.分堆 :例 1.已知 n,k 爲正整數且 n > k,若 Ckn 1 ： Ckn ： Ckn 1 =1： 2： 3,則 n + k =?Ans： 19例 2.運動員 9 人中選 5 人充當選手 ,若某 2 人為當然選手 ,問有多少種選法 ?Ans：35例 3.平面上有

14、8 個相異點 ,任三點不共線 ,則此 8 個點可以決定多少條直線及多少個三角形?Ans：28, 56例 4.一平面上有 10 個相異點 ,其中 A,B,C,D 四點共線 , E,F,G三點亦共線 ,其他任三點無共線者, 則此 10 個點可以決定多少條直線及多少個三角形?Ans：38,115例 5.設一平面上有兩組平行線,其中一組有6 條 ,另一組有 5 條 , 此兩組平行線互相垂直,問共可交出多少個矩形 ?Ans： 150120排列組合復習講義例 6.一箱子中有大小 ,質地均相同的白 ,黑 ,紅三種色球 ,每種色球均超過 5 個 ,從此箱子中任意取出 5 球的所有可能有多少種 ?Ans：21例

15、 7.方程式 x +y +z +u =10 依下列條件的解有幾組？(1)非負整數解(2)正整數解(3)正偶數解(4)非負整數解 ,且 x 2, y 3Ans：(1)286(2)84(3)4(4)56例 8.不等式 xyzu10 的非負整數解有幾組？Ans： 1001例 9.將 6 枝筆全部分給 4 個人 ,依下列情形 ,方法各有幾種 ?(1) 筆皆相異(2) 筆皆相同(3) 筆皆相異且每人至少一枝(4) 筆皆相同且每人至少一枝Ans：(1)4096(2)84(3)1560(4)10例 10. 6 種不同的酒 , 4 個酒杯 ,每杯只倒入 1 種酒 ,依下列情形 ,共有幾種倒法 ?(1) 酒杯相

16、異 ,各杯中的酒相異(2) 酒杯相異 ,各杯中的酒可相同(3) 酒杯相同 ,各杯中的酒相異(4) 酒杯相同 ,各杯中的酒可相同Ans:(1)360(2)1296(3)15(4)126例 11.將 9 件不同的玩具 ,依下列敘述 ,分別求其分法 ?(1)平分給甲 ,乙 ,丙三人(2)平分成三堆(3)分給甲 4 件,乙 3 件,丙 2 件(4)按 4 件,3 件,2 件分成三堆(5)按 4 件,3 件,2 件分給三人(6)分給甲 4 件,乙 4 件,丙 1 件(7)按 4 件,4 件,1 件分成三堆(8)分給三人 ,其中二人各得 4 件,另一人得 1 件Ans:(1)1680(2)280(3)12

17、60(4)1260(5)7560(6)630(7)315(8)1890121排列組合復習講義二項式定理1. 二項式定理 :設 nN , ( xy) nC0n xnC1n xn1 y1C2n x n 2 y 2Cnn1 xyn 1Cnn y nnC kn x n k y kk02.設 nN , (1)C0nC1nC2nC3nCnn2n(2)C0nC1nC2nC3n(1) n Cnn03.多項式定理 : n N , ( xyz)nn!x p y q zrpqrnp! q! r!p ,q,rN0p,q,rn5例 1.展開 (x+y)Ans:x55x4 y110x3 y210x 2 y35x1 y 4

18、y 5例 2.求(3x-2y) 4 展開式中 ,求 x2y2 項之係數Ans： 216例 3.(2x31 )5 展開式中 ,求x2(1) 常數項(2)x5 項之係數Ans：(1)-40(2)80例 4. a(b c)2 8 展開式中 ,求(1)a5b4c2 的係數(2)共有多少不同類項Ans：(1)840(2)81例 5. (3a 2b c d )5 的展開式中(1)共有多少不同類的項?(2)與 b3 c2 同型項共有多少個?(3) a 2bd 2 項的係數為多少 ?Ans：(1)56 (2)12(3)5402 x2 )1020ak x k ,求 a1, a5 , a20例 6. (1 x1k

19、 1Ans： a110, a512, a201024例 7.求 ( 3x1)4(x2)3 展開式中 x3 的係數Ans：-28710x) k 展開式中 x5 的係數例 8.求(1k 0Ans：-462例 9.試證 : (1)C0nC1nC2nC3nCnn2n(2)C0nC1nC2nC3n( 1)n Cnn0(3)C 0nC 1n2C 2n2 2C 3n2 3C nn2 n3 n(設 nN )122排列組合復習講義自我評量1. 二年甲班有 45 位同學 ,第一次段考數學及格的有38 人 ,英文及格的有36 人 ,而兩科都不及格的有5人,則：(1) 兩科都及格的有幾人？(2) 數學及格 ,而英文不

20、及格的有幾人？(3) 英文及格 ,而數學不及格的有幾人？2. 甲、乙兩人比賽桌球 ,不計和局（即每局均分勝負） ,約定先連勝兩局或先勝三局者 ,贏得比賽 ,則比賽可能發生的情形共有多少種？3. 某人有襯衫 4 件,西裝 5 套 ,皮鞋 3 雙 ,帽子 2 頂 ,外出時要穿戴整齊 ,問共有幾種穿法？4. 從 1 到 999 的正整數中 ,總共寫了多少個 0？5. 在 xy 平面上 ,x 坐標小於 10,y 坐標小於 8,且 x、 y 坐標都是正整數的點有幾個？6. 如下圖 ,小明由 A 走到 B,若同一點不許經過兩次且走向為三種 ,但不能為 ,則由 A 到 B 的走法有幾種？BBA A7. 右圖

21、中 ,包含 A 或 B 之一的長方形有幾個？AB8. 3 位的自然數中 ,(1) 是 6 的倍數有幾個？(2) 是 8 的倍數有幾個？(3) 是 6 且是 8 的倍數有幾個？(4) 不是 6 且不是 8 的倍數有幾個？9. 若 Pm12 Pm,則 m？5310. 某地區汽車牌照號碼有6 個碼 ,前 2 碼為大寫英文字母或阿拉伯數字（但不能同時為數字）,後 4 碼是阿拉伯數字 ,請問共可組成多少種牌照號碼？123排列組合復習講義11.甲、乙、丙、丁、戊五人排成一列,(1) 若甲、乙分別排在最旁邊 ,共有多少種排法？(2) 若甲、乙排在一起 ,共有多少種排法？(3) 若甲、乙不排在一起 ,共有多少

22、種排法？12. 五男五女參加一個舞會 ,(1) 當第一首曲子響起時 ,男女任意配對 ,則配對法有幾？(2) 當第二首曲子響起時 ,重新再次配對 ,但個人必須交換舞伴 ,則配對法有幾？13. 五種不同的顏色塗下列圖形 ,相鄰區域不可同色 ,求塗法有幾種（每區域一色）？(1)(2)AAADDBBCCDDBBC14. 設有 9 人 ,圍一圓圈作團體遊戲 ,求下列排法各有幾種？(1) 任意排法 .(2) 甲、乙、丙三人完全相鄰 .(3) 甲、乙、丙三人完全不相鄰 .(4) 甲、乙、丙三人中恰有二人相鄰 .(5) 甲、乙、丙三人完全相鄰 ,且丙排在甲、乙之間 .15. 設 C n 2: Pn 257:16 ,則 n=?8416. 一袋中有編號 19 的號碼球 ,小華先從袋中取 3 球給甲 ,再從袋中取 3 球給乙 ,而