第一章 矢量分析重点内容总结

1、第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波1（1 1） 矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxBABABAABBAcos1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/ A BAB1.1 矢量代数矢量代数第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波2（2）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式

2、为写成行列式形式为ABBABAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则方向：右手螺旋法则方向：右手螺旋法则数值大小：数值大小：第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波3（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算)()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波41、圆柱面坐标系、圆柱面坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,坐标变量坐标变量zeee,坐标单位矢量坐标单位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd线元矢量线元矢量zVddd

3、d体积元体积元面元矢量面元矢量1.2 三种常用的正交坐标系三种常用的正交坐标系第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波5ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSrdddddrrelleSr2、球面坐标系、球面坐标系球面坐标系球面坐标系球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererelr线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波63、坐标单位矢量之间的关系、坐标单位矢量之间的关系

4、xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系xeyesinsinsincoscossinoz单位圆单位圆 柱坐标系与球坐标系之间柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 oxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系 xeyeeezeeree第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波7sincosx

5、yeeee cossinxyeeee sinreeree 柱坐标与直角坐标微分关系柱坐标与直角坐标微分关系球坐标与直角坐标微分关系球坐标与直角坐标微分关系reecosee0esincosreee 4、柱坐标和球坐标系与直角坐标系的关系、柱坐标和球坐标系与直角坐标系的关系 第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波8 81）不同的位置上，圆柱和圆球坐标轴单位矢量方向不同。2）当矢量场的方向为圆柱面的法向或切向时，用圆柱 坐标表示不但形式简单，而且形象，更易理解。 3）当矢量场的方向为圆球面的法向或切向时，用圆球坐标表示不但形式简单，而且形象，更易理解。小结第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与

6、电磁波9梯度的表达式梯度的表达式：zueueueuz1圆柱面坐标系圆柱面坐标系 ureurerueursin11球面坐标系球面坐标系zueyuexueuzyx直角面坐标系直角面坐标系 1、标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）graduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向|maxlueunnuel1.3 标量场的梯度标量场的梯度第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波10标量场的梯度是矢量场，它在空间某标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）点

7、的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波11例题： 证明RR)()()(zzeyyexxeRzyxRRzzyyxxezzzzyyxxeyyzzyy

8、xxexxzReyRexReRzyxzyx222222222)()()(2)(2)()()(2)(2)()()(2)(2222zzyyxxRR)()()(3RRR12)(RRR) 1 (33222)()()()()()()1()1()1(1RRzzyyxxezzeyyexxRzeRyeRxeRzyxzyx证明：证明：第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波122、矢量场的通量、矢量场的通量 dddnSSFSF eS通量的概念通量的概念：ddnSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e S穿过面积元穿过面积元 的通量；的通量；

9、 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向是闭合的，则规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：外，矢量场对闭合曲面的通量是：ddnSSFSF eS),(zyxFSdne面积元矢量面积元矢量1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波130通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果 闭合曲面的通量从闭合曲面的通量从宏观上宏观上建立了

10、矢量场通过闭合曲面的通建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义通量的物理意义第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波143、矢量场的散度、矢量场的散度0( , , ) d( , , )limSVF x y zSF x y zV 为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小为了定量研究场与源之间的关系，需建立场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。利用极限方法得到这一关系：用极限方法得到这一关系：称为矢量场的称为矢量场的散度散度。 散

11、度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。体积之比的极限。F第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波15柱面坐标系柱面坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球面坐标系球面坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(为常量)()()()为常矢量(0第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波164、散度定理（高斯定理）、散度定理（高斯定理）VSVFSFdd体积的剖分

12、体积的剖分VS1S2en2en1S 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即 散度定理是闭合曲面积散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换分与体积分之间的一个变换关系，在电磁理论中有着广关系，在电磁理论中有着广泛的应用。泛的应用。证明证明第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波171.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通

13、量不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭源的矢量源，它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为合曲面的通量为零。但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。零。第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波18q 如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为如果矢量场的任意闭合回路的环流恒为零，称该矢量场为无无旋场旋场，又称为，又称为保守场保守场。q 如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为如果矢量场对于任何闭合曲线的环流不为零，称该矢量场为有旋矢量场有

14、旋矢量场，能够激发有旋矢量场的源称为，能够激发有旋矢量场的源称为旋涡源旋涡源。电流是。电流是磁场的旋涡源。磁场的旋涡源。ClzyxFd),(环流的概念环流的概念 矢量场对于闭合曲线矢量场对于闭合曲线C 的环流定义为该矢量对闭合曲线的环流定义为该矢量对闭合曲线C 的线积分，即的线积分，即第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波19 过点过点M 作一微小曲面作一微小曲面 S，它的边界曲线记为，它的边界曲线记为C，曲面的法线，曲面的法线方向方向n与曲线的绕向成右手螺旋法则。当与曲线的绕向成右手螺旋法则。当 S0时，极限时，极限01rotlimdCnSFFlS称为矢量场在点称为矢量场在点M 处沿方

15、向处沿方向n的的环流面密度环流面密度。 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内旋涡源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与旋涡源的关系，引入矢量场的旋度。量场的旋度。 SCMFn特点特点：其值与点：其值与点M 处的方向处的方向n有关。有关。2、矢量场的旋度、矢量场的旋度（ ） F （1）环流面密度）环流面密度第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波20概念概念：矢量场在矢量场在M点处的旋度为一矢量，其数值为点处的旋度为一矢量，其数值为M点的环流面点的环流面 密度最大值，其方向为

16、取得环量密度最大值时面积元的法密度最大值，其方向为取得环量密度最大值时面积元的法 线方向，即线方向，即nMaxrotnFeF物理意义物理意义：旋涡源密度矢量。旋涡源密度矢量。（2）矢量场的旋度）矢量场的旋度第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波21zyxzyxxyzzxyyzxFFFzyxeeeyFxFexFzFezFyFeF旋度的计算公式旋度的计算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12直角坐标系直角坐标系圆柱面坐标系圆柱面坐标系球面坐标系球面坐标系第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波22旋度的有关公式旋度的有关公式：0()()()(

17、)()0()0CCffCfFfFfFFGFGFGGFFGFu 矢量场的旋度矢量场的旋度的散度恒为零的散度恒为零标量场的梯度标量场的梯度的旋度恒为零的旋度恒为零第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波23SCSFlFdd3、Stokes定理定理 Stokes定理是闭合曲线积定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换分与曲面积分之间的一个变换关系式，也在电磁理论中有广关系式，也在电磁理论中有广泛的应用。泛的应用。曲面的曲面的剖分剖分方向相反大小方向相反大小相等结果抵消相等结果抵消 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环流等于矢量场的

18、旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即流等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即证明证明第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波244、散度和旋度的区别、散度和旋度的区别 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波251、矢量场的源、矢量场的源散度源散度源：是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量是标量，产生的矢量场在包围源的封闭面上的通量 等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和，等于（或正比于）该封闭面内所包围的源的总和， 源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量源在一给定点的（体）密度等于（或正比于）矢量 场在该点的散度；场在该点的散度； 旋度源旋度源：是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面是矢量，产生的矢量场具有涡旋性质，穿过一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回的旋度源等于（或正比于）沿此曲面边界的闭合回 路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于路的环量，在给定点上，这种源的（面）密度等于 （或正比于）矢量场在该点的旋度。（或正比于）矢量场在该点的旋度。1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场第1章 矢量分析电磁场与电磁波电磁场与电磁波262、矢量场按源的分类、矢量场按源的分类（1）无旋场）无旋场0dClF性质性质：，线积分与路径无关，是保守场。线积