棱柱、棱锥的概念和性质

1、1棱柱、棱锥的概念和性质棱柱、棱锥的概念和性质要点梳理要点梳理1.1.棱柱、棱锥的定义棱柱、棱锥的定义平行平行平行平行多边形多边形有一个公共顶有一个公共顶点点2两个侧面的公共边两个侧面的公共边互相平行的面互相平行的面侧面与底面的公共侧面与底面的公共顶点顶点 各侧面的公共顶点各侧面的公共顶点两个底面所在平面两个底面所在平面的公垂线段的公垂线段 顶点到底面所在平面的顶点到底面所在平面的垂线段垂线段多边形多边形32.2.棱柱、棱锥的性质棱柱、棱锥的性质平行四边形平行四边形三角形三角形与底面全等的与底面全等的多边形多边形与底面相似的多边形与底面相似的多边形43.3.四棱柱的一些常用性质四棱柱的一些常用

2、性质 （1 1）平行六面体的四条对角线）平行六面体的四条对角线 且在且在 ； （2 2）直棱柱的）直棱柱的 与高相等，直棱柱的与高相等，直棱柱的 及及 过过 的截面都是矩形，直棱柱的侧的截面都是矩形，直棱柱的侧 面与面与 垂直；垂直； （3 3）正四棱柱与正方体的底面都是）正四棱柱与正方体的底面都是 ，正方，正方 体的侧面和底面都是体的侧面和底面都是 ； （4 4）长方体的）长方体的 等于同一个顶等于同一个顶 点上三条棱长的点上三条棱长的 . .交于一点交于一点该点该点互相平分互相平分侧棱长侧棱长侧面侧面不相邻两条侧棱不相邻两条侧棱底面底面正方形正方形正方形正方形一条对角线长的平方一条对角线长

3、的平方平方和平方和5若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三条棱所成角分别为成角分别为、，则，则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2= = ；若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所若长方体的一条对角线与过同一个顶点的三个面所成角分别为成角分别为、，则，则coscos2 2+cos+cos2 2+cos+cos2 2= = . .1 12 264.4.正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究正棱锥是棱锥的特殊情形，是棱锥的主要研究 对象对象 (1)(1)定义：定义： 底面是底面是 ，并且顶点在底面上的射影是底，并且顶点在底

4、面上的射影是底 面的面的 ，这样的棱锥叫做，这样的棱锥叫做 . . (2) (2)性质：性质： 侧面是侧面是 ，与底面所成二面角，与底面所成二面角 均均 ； 侧棱均侧棱均 ，侧棱与底面所成的角均，侧棱与底面所成的角均 ； 平行于底面的截面也是平行于底面的截面也是 ；纵截面是；纵截面是 ； 正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面正棱锥中的基本元素：侧棱、斜高、高、底面 外接圆半径、底面内切圆半径外接圆半径、底面内切圆半径. .正多边形正多边形中心中心正棱锥正棱锥全等的等腰三角形全等的等腰三角形相等相等相等相等相等相等正多边形正多边形等等腰三角形腰三角形75.5.体积公式体积公式 （1 1）柱体

5、体积公式为）柱体体积公式为V V= = ，其中，其中 为底面面为底面面 积，积， 为高为高; ; （2 2）锥体体积公式为）锥体体积公式为V V= = ，其中，其中 为底面面为底面面 积，积， 为高为高. .6.6.侧面积与全面积侧面积与全面积 （1 1）棱柱的侧面积是各侧面）棱柱的侧面积是各侧面 ，直棱柱的，直棱柱的 侧面积是底面周长与侧面积是底面周长与 ；棱锥的侧面积是各；棱锥的侧面积是各 侧面侧面 ，正棱锥的侧面积是底面周长与，正棱锥的侧面积是底面周长与 . . （2 2）全面积等于）全面积等于 与与 之和，即之和，即S S全全= = + + . .ShShh hS SS Sh hSh3

6、1面积之和面积之和高之积高之积面积之和面积之和斜斜高积的一半高积的一半侧面积侧面积S S侧侧S S底底底面积底面积8基础自测基础自测1.1.以下命题中正确的是以下命题中正确的是 （ ） A.A.有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面有两个面是对应边平行的全等多边形，其他面 都是平行四边形的多面体是棱柱都是平行四边形的多面体是棱柱 B.B.有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面有一个面是多边形，其他面都是三角形的多面 体是棱锥体是棱锥 C.C.有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱有三个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D.D.长方体一定是正四棱柱长方体一定是正四棱柱C92.2.棱柱成为直棱柱的一个必要但不

7、充分条件是（棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分条件是（ ） A.A.棱柱有一条侧棱与底面垂直棱柱有一条侧棱与底面垂直 B.B.棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C.C.棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直棱柱有一个侧面是矩形，且与底面垂直 D.D.棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直棱柱有两个侧面是矩形，且与底面垂直B3.3.已知长方体的全面积为已知长方体的全面积为1111，十二条棱长度之和为，十二条棱长度之和为 2424，则这个长方体的一条对角线长为，则这个长方体的一条对角线长为 （ ）6 .D5 .C14.B32 .AC104.4.（20092009陕西文，陕西文

8、，1111）若正方体的棱长为若正方体的棱长为2 2，则以，则以 该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积 为为 （ ） 解析解析 由题意可知，此几何体是由同底面的两个由题意可知，此几何体是由同底面的两个 正四棱锥组成的，底面正方形的边长为正四棱锥组成的，底面正方形的边长为1 1，每一个，每一个 正四棱锥的高为正四棱锥的高为 ，所以，所以32.D33.C32.B62.A22.32221312VB115.5.若一个正三棱柱的高为若一个正三棱柱的高为1 1，体积为，体积为2 2 ，则一条侧，则一条侧 棱到与它相对的面之间的距离为棱到与它相对的面之间的距离为

9、 （ ） 解析解析 由体积公式由体积公式V V= =ShSh可得底面积为可得底面积为 若设底面三角形的边长为若设底面三角形的边长为a a，则有，则有 所所 以以a a=2 =2 ，故侧棱到相对面的距离为，故侧棱到相对面的距离为36.D3.C2.B1 .A, 32hVS, 32432a2. 623aD12题型一题型一 棱柱、棱锥的概念和性质棱柱、棱锥的概念和性质【例例1 1】 如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它如果四棱锥的四条侧棱长都相等，就称它 为为“等腰四棱锥等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下，四条侧棱称为它的腰，以下5 5 个命题中：个命题中： 等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等；等

10、腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等； 等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等 或互补；或互补； 底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥；底面四边形存在外接圆的四棱锥是等腰四棱锥； 底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥；底面是正方形的四棱锥是等腰四棱锥； 等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上. . 其中真命题为其中真命题为 （写出所有真命题的序号）（写出所有真命题的序号）. .13思维启迪思维启迪 结合结合“等腰四棱锥等腰四棱锥”的概念，逐一进行的概念，逐一进行判断判断. .解析解析 真真. .因为因为“等腰四棱锥等腰四棱锥”四条

11、侧棱长都相四条侧棱长都相等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上等，故在底面上的射影长也相等，即顶点在底面上的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面的射影是底面四边形外接圆的圆心，所以腰与底面所成的角都相等；所成的角都相等；假假. .如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在如当底面是矩形（不是正方形）时，且顶点在底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是底面上的射影是底面中心时，这个四棱锥是“等腰等腰四棱锥四棱锥”，但它的侧面与底面所成的二面角显然不，但它的侧面与底面所成的二面角显然不都相等或互补都相等或互补. .故是假命题；故是假命题；假假. .如当底面是正方形时，底面四边形存在外接如当

12、底面是正方形时，底面四边形存在外接圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个圆，但顶点在底面上的射影不是底面中心时，这个四棱锥显然不是四棱锥显然不是“等腰四棱锥等腰四棱锥”；14假假. .理由同理由同；真真. .因为由因为由知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的知底面存在外接圆，故等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上各顶点必在同一球面上，球心在该棱锥的高上. .答案答案 本题要注意本题要注意“等腰四棱锥等腰四棱锥”的定义，并的定义，并会研究其简单的性质与判定方法会研究其简单的性质与判定方法. .掌握掌握“侧棱都相侧棱都相等，则侧棱与底面所成的角都相等等，则侧棱与底面所成的角都相等”

13、，“侧棱都相侧棱都相等，则底面多边形有外接圆等，则底面多边形有外接圆”，“棱锥各侧面三角棱锥各侧面三角形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形形的高相等，且顶点在底面上的射影在底面多边形内，则侧面与底面所成的角都相等内，则侧面与底面所成的角都相等”等一些常用结等一些常用结论论. . 探究提高探究提高15知能迁移知能迁移1 1 设有以下四个命题：设有以下四个命题： 底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体；底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体； 底面是矩形的平行六面体是长方体；底面是矩形的平行六面体是长方体； 直四棱柱是直平行六面体；直四棱柱是直平行六面体； 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，

14、则此棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此 棱锥可能是六棱锥棱锥可能是六棱锥. . 其中真命题的序号是其中真命题的序号是 . . 解析解析 命题命题符合平行六面体的定义符合平行六面体的定义, ,故命题故命题是是 正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与正确的；底面是矩形的平行六面体的侧棱可能与 底面不垂直底面不垂直, ,故命题故命题是错误的；因直四棱柱的底是错误的；因直四棱柱的底 面不一定是平行四边形面不一定是平行四边形, ,故命题故命题是错误的是错误的, ,若六若六 棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边 形形. .由几何图形知，若以正六边形

15、为底面，侧棱长由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长 必然要大于底面边长，故命题必然要大于底面边长，故命题是错误的是错误的. .16题型二题型二 棱柱、棱锥中的平行与垂直棱柱、棱锥中的平行与垂直【例例2 2】如图所示，在直三棱柱】如图所示，在直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1中，中，ACBACB=90=90, ,ABAB=2,=2,BCBC=1,=1, AAAA1 1= .= . （1 1）证明：）证明：A A1 1C C平面平面ABAB1 1C C1 1； （2 2）若）若D D是棱是棱CCCC1 1的中点，在棱的中点，在棱ABAB上是否存在一点上是否存在一点 E

16、E，使，使DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1？证明你的结论？证明你的结论. . （1 1）充分挖掘已知条件，利用线面垂）充分挖掘已知条件，利用线面垂 直的判定定理；直的判定定理； （2 2）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质）利用线面平行的判定定理或面面平行的性质 定理定理. .3思维启迪思维启迪17证明证明 （1 1）ACBACB=90=90，BCBCACAC. .三棱柱三棱柱ABCABCA A1 1B B1 1C C1 1为直三棱柱，为直三棱柱，BCBCCCCC1 1. .ACACCCCC1 1= =C C，BCBC平面平面ACCACC1 1A A1 1. .A A1 1C C

17、平面平面ACCACC1 1A A1 1，BCBCA A1 1C C. .BCBCB B1 1C C1 1，B B1 1C C1 1A A1 1C C. . 在在RtRtABCABC中，中，ABAB=2=2，BCBC=1=1，ACAC= .= .AAAA1 1= = ，四边形四边形ACCACC1 1A A1 1为正方形，为正方形，A A1 1C CACAC1 1. .B B1 1C C1 1ACAC1 1= =C C1 1，A A1 1C C平面平面ABAB1 1C C1 1. .（2 2）当）当E E为棱为棱ABAB的中点时，的中点时，DEDE平面平面ABAB1 1C C1 1. .证明如下：

18、证明如下：3318如图所示，取如图所示，取BBBB1 1的中点的中点F F，连结，连结EFEF，FDFD，DEDE，D D，E E，F F分别为分别为CCCC1 1，ABAB，BBBB1 1的中点的中点, ,EFEFABAB1 1. .ABAB1 1平面平面ABAB1 1C C1 1，EFEF平面平面ABAB1 1C C1 1，EFEF平面平面ABAB1 1C C1 1. .同理可证同理可证FDFD平面平面ABAB1 1C C1 1. .EFEFFDFD= =F F，平面平面EFDEFD平面平面ABAB1 1C C1 1. .DEDE平面平面EFDEFD，DEDE平面平面ABAB1 1C C1

19、 1. .探究提高探究提高 在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面在棱锥、棱柱中进行线线、线面、面面的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与的平行与垂直的证明，除了要正确使用判定定理与性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确性质定理外，对几何体本身所具有的性质也要正确把握把握. .如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊如正棱锥、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等梯形的使用等. .19知能迁移知能迁移2 2 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P P ABCDABCD的底面是矩形，侧面的底面是矩形，侧面PADPAD是是 正三角形，且侧面正三角形，且侧面PADPAD底面底面ABCDABC

20、D， E E为侧棱为侧棱PDPD的中点的中点. . （1 1）求证：）求证：PBPB平面平面EACEAC； （2 2）求证：）求证：AEAE平面平面PCDPCD. . 解解 （1 1）连结）连结BDBD与与ACAC交于交于O O，连结，连结OEOE， O O, ,E E分别为分别为BDBD，PDPD的中点，的中点， OEOEPBPB，且，且OEOE平面平面EACEAC，PBPB平平 面面EACEAC，PBPB平面平面EACEAC. . （2 2）方法一方法一 ABCDABCD是矩形，是矩形， CDCDADAD. .又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD， 平面平面ABC

21、DABCD平面平面PADPAD，20CDCD平面平面PADPAD. .又又AEAE平面平面PADPAD，CDCDAEAE. .正三角形正三角形PADPAD中，中，E E为为PDPD的中点，的中点，AEAEPDPD. .又又PDPDCDCD= =D D,AEAE平面平面PCDPCD. .方法二方法二 ABCDABCD是矩形，是矩形，CDCDADAD. .又平面又平面PADPAD平面平面ABCDABCD= =ADAD，平面平面ABCDABCD平面平面PADPAD，CDCD平面平面PADPAD. .又又CDCD平面平面PDCPDC,平面平面PDCPDC平面平面PADPAD. .正三角形正三角形PAD

22、PAD中，中，E E为为PDPD的中点，的中点，AEAEPDPD. .又平面又平面PDCPDC平面平面PADPAD= =PDPD. .AEAE平面平面PCDPCD. .21题型三题型三 棱柱、棱锥中的角和距离棱柱、棱锥中的角和距离【例例3 3】 如图所示，四棱锥如图所示，四棱锥P PABCDABCD的的 底面是边长为底面是边长为a a的正方形，侧面的正方形，侧面PABPAB和和 侧面侧面PADPAD都垂直于底面都垂直于底面ACAC，且侧棱，且侧棱PBPB、 PDPD都和底面成都和底面成4545角角. . （1 1）求）求PCPC与与BDBD所成的角；所成的角； （2 2）求）求PCPC与底面与

23、底面ABCDABCD所成角的正切值；所成角的正切值； （3 3）若）若MM、N N分别为分别为BCBC、CDCD的中点，求底面中心的中点，求底面中心 O O到平面到平面PMNPMN的距离的距离. . 在（在（3 3）中，关键是确定）中，关键是确定O O在平面在平面PMNPMN中中 的射影的位置，故最好能找到过的射影的位置，故最好能找到过O O且垂直于平面且垂直于平面 PMNPMN的平面，而平面的平面，而平面PACPAC正是我们需要的平面正是我们需要的平面. .思维启迪思维启迪22解解 （1 1）侧面侧面PABPAB和侧面和侧面PADPAD都垂直于底面都垂直于底面ACAC，且两侧面交于且两侧面交

24、于PAPA，PAPA底面底面ACAC. .又又BDBDACAC，BDBDPCPC，即即PCPC与与BDBD所成的角为所成的角为9090. .（2 2）PAPA底面底面ACAC，PCAPCA是是PCPC与底面与底面ACAC所成的角，所成的角，PBAPBA为为PBPB与底与底面面ACAC所成的角所成的角. .在在RtRtPABPAB中，中，PAPA= =ABAB= =a a，ACAC= = a a，（3 3）BDBDACAC, ,BDBDPAPA,BDBD平面平面PACPAC. .又又MNMNBDBD，MNMN平面平面PACPAC. .平面平面PACPAC平面平面PMNPMN. .2.22tanP

25、CA得23设设MNMNACAC= =Q Q，连结，连结PQPQ，则平面则平面PACPAC平面平面PMNPMN= =PQPQ. .作作OHOHPQPQ，垂足为，垂足为H H，则则OHOH平面平面PMNPMN，OHOH的长即为的长即为O O到平面到平面PMNPMN的距离，的距离，作作AGAGPQPQ于于G G. .在在RtRtPAQPAQ中，中，PAPA= =a a, ,42343aACAQ.171731.17173.434aAGOHaPQAQPAAGaPQ24探究提高探究提高 （1 1）解决空间角度问题，应特别注意垂）解决空间角度问题，应特别注意垂直关系直关系. .如果空间角为如果空间角为909

26、0，就不必转化为平面角来，就不必转化为平面角来求；（求；（2 2）注意借助辅助平面（如本题中的平面）注意借助辅助平面（如本题中的平面PACPAC），将空间距离转化为平面距离来求；（），将空间距离转化为平面距离来求；（3 3）棱）棱锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看锥体积具有自等性，即把三棱锥的任何一个顶点看作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到作顶点，相对的面作为底面，利用等积法可求点到平面的距离等平面的距离等. .25知能迁移知能迁移3 3 如图，四棱锥如图，四棱锥P PABCDABCD中，中， PAPA平面平面ABCDABCD，底面，底面ABCDABCD为直角为直角 梯形，

27、且梯形，且ABABCDCD，BADBAD=90=90， PAPA= =ADAD= =DCDC=2=2，ABAB=4.=4. （1 1）求证：）求证：BCBCPCPC； （2 2）求）求PBPB与平面与平面PACPAC所成的角的正弦值；所成的角的正弦值； （3 3）求点）求点A A到平面到平面PBCPBC的距离的距离. . （1 1）证明证明 在直角梯形在直角梯形ABCDABCD中，因为中，因为ABABCDCD， BADBAD=90=90，ADAD= =DCDC=2=2， 所以所以ADCADC=90=90，且，且ACAC=2 .=2 . 取取ABAB的中点的中点E E，连结，连结CECE，由题意

28、，由题意 可知，四边形可知，四边形AECDAECD为正方形，所以为正方形，所以AEAE= =CECE=2.=2.226则则ABCABC为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，所以所以ACACBCBC. .又因为又因为PAPA平面平面ABCDABCD，且，且ACAC为为PCPC在平面在平面ABCDABCD内内的射影，的射影，BCBC平面平面ABCDABCD，由三垂线定理得，由三垂线定理得BCBCPCPC. .（2 2）解解 由（由（1 1）可知，）可知，BCBCPCPC，BCBCACAC，PCPCACAC= =C C，所以所以BCBC平面平面PACPAC. .又因为又因为PCPC是是PBPB在平面在

29、平面PACPAC内的射影，内的射影，所以所以CPBCPB是是PBPB与平面与平面PACPAC所成的角所成的角. .又又CBCB=2 =2 ，PBPB2 2= =PAPA2 2+ +ABAB2 2=20=20，.21, 221ABCEABBE所以又227PBPB=2 =2 ，sinsinCPBCPB= =即即PBPB与平面与平面PACPAC所成角的正弦值为所成角的正弦值为（3 3）解解 由（由（2 2）可知，）可知，BCBC平面平面PACPAC，BCBC平面平面PBCPBC, ,所以平面所以平面PBCPBC平面平面PACPAC. .过过A A点在平面点在平面PACPAC内作内作AFAFPCPC于

30、于F F，所以所以AFAF平面平面PBCPBC. .则则AFAF的长即为点的长即为点A A到平面到平面PBCPBC的距离的距离. .在直角三角形在直角三角形PACPAC中，中，PAPA=2=2，ACAC=2 =2 ，PCPC=2 =2 ，所以所以 ，即点，即点A A到平面到平面PBCPBC的距离为的距离为,510.51023362AF.362528题型四题型四 棱柱、棱锥的体积和面积棱柱、棱锥的体积和面积【例例4 4】（】（1212分）如图所示，四棱锥分）如图所示，四棱锥P P- -ABCDABCD 的底面的底面ABCDABCD是半径为是半径为R R的圆的内接四边形，的圆的内接四边形， 其中其

31、中BDBD是圆的直径，是圆的直径， ABDABD=60=60,BDCBDC=45=45, ,ADPADPBADBAD. . （1 1）求线段）求线段PDPD的长；的长； （2 2）若）若PCPC= = 求三棱锥求三棱锥P P- -ABCABC的体积的体积. . 思维启迪思维启迪 解答本题时求线段解答本题时求线段PDPD的长只需利用的长只需利用 ADPADP与与BADBAD相似即可求出，而求三棱锥相似即可求出，而求三棱锥P P ABCABC的体积需先证明的体积需先证明PDPD平面平面ABCABC，即，即PDPD为三棱为三棱 锥的高即可求解锥的高即可求解. .,11R29解题示范解题示范解解 (1

32、)(1)BDBD是圆的直径是圆的直径,BADBAD=90=90. .又又ADPADPBADBAD，(2)(2)在在RtRtBCDBCD中，中，CDCD= =BDBDcos 45cos 45= =PDPD2 2+ +CDCD2 2=9=9R R2 2+2+2R R2 2=11=11R R2 2= =PCPC2 2PDPDCDCD, ,又又PDAPDA=90=90=DABDABPDPD底面底面ABCDABCD 8 8分分.321243430sin)60sin(,222RRRBDBDBAADDPADDPBAAD故故4 4分分R230 几何体的体积计算是一种常见的题型，几何体的体积计算是一种常见的题型

33、，除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常除了直接套用公式求体积的方法以外，还有一些常用的方法：用的方法：.41334133131413)22212223(221)4560sin(2322RRRPDSVABCPRRRBCABSABCABCPABC的体积为三棱锥1010分分1212分分探究提高探究提高31（1 1）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套）体积转换法：当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出用公式或套用公式时某一量（面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法特别适

34、合于求三棱锥的体积行计算求解，该方法特别适合于求三棱锥的体积. .（2 2）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及）割补法：在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法求两个几何体的体积之比时，经常要用到割补法. .割割补法是割法与补法的总称补法是割法与补法的总称. .补法是把不熟悉的（或复补法是把不熟悉的（或复杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几杂的）几何体延伸或补加成熟悉的（或简单的）几何体，把不完整的图形补成完整的图形何体，把不完整的图形补成完整的图形. .割法是把复割法是把复杂的几何体切割成简单的几何体杂的几何体切割成简单的几何体. .割与补是对

35、立统一割与补是对立统一的，是一个问题的两个方面的，是一个问题的两个方面. .32知能迁移知能迁移4 4 （20092009海南、宁夏文，海南、宁夏文，1818）如图，在如图，在 三棱锥三棱锥P PABCABC中，中，PABPAB是等边三是等边三 角形，角形，PACPAC=PBCPBC=90=90. . (1) (1)证明：证明：ABABPCPC； (2)(2)若若PCPC=4=4，且平面，且平面PACPAC平面平面 PBCPBC，求三棱锥，求三棱锥P PABCABC的体积的体积. . (1) (1)证明证明 因为因为PABPAB是等边三角形，所以是等边三角形，所以PBPB= =PAPA. .

36、因为因为PACPAC=PBCPBC=90=90, ,PCPC= =PCPC， 所以所以RtRtPBCPBCRtRtPACPAC， 所以所以ACAC= =BCBC. . 如图，取如图，取ABAB中点中点D D，连结，连结PDPD、CDCD， 则则PDPDABAB, ,CDCDABAB, ,又又PDPDCDCD= =D D33所以所以ABAB平面平面PDCPDC, ,所以所以ABABPCPC. .(2)(2)解解 作作BEBEPCPC, ,垂足为垂足为E E，连结，连结AEAE. .因为因为RtRtPBCPBCRtRtPACPAC，所以，所以AEAEPCPC, ,AEAE= =BEBE. .由已知

37、，平面由已知，平面PACPAC平面平面PBCPBC，故，故AEBAEB=90=90. .因为因为AEBAEB=90=90，PEBPEB=90=90, ,AEAE= =BEBE, ,ABAB= =PBPB, ,所以所以RtRtAEBAEBRtRtBEPBEP, ,所以所以AEBAEB、PEBPEB、CEBCEB都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形. .由已知由已知PCPC=4=4，得，得AEAE= =BEBE=2=2，AEBAEB的面积的面积S S=2.=2.因为因为PCPC平面平面AEBAEB. .所以三棱锥所以三棱锥P PABCABC的体积的体积.3831PCSV34思想方法思想方法 感悟提

38、高感悟提高方法与技巧方法与技巧1.1.要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利要准确地理解棱柱、棱锥的概念和性质，充分利 用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加用直线和平面的位置关系，对这些概念和性质加 以研究以研究. .2.2.棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所棱柱、棱锥问题中经常遇到侧棱、侧面与底面所 成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面成角的问题，解决这些问题时一般从顶点向底面 作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的作垂线，利用前面学过的知识，准确判断垂足的 位置，以此沟通各种关系位置，以此沟通各种关系. .3.3.求棱柱的侧面积，如果有直截面存在，可利用公求棱柱

39、的侧面积，如果有直截面存在，可利用公 式式S S侧侧= =C C直截面直截面侧棱；如果无直截面存在，则需分侧棱；如果无直截面存在，则需分 别求各侧面的面积，然后相加别求各侧面的面积，然后相加. . 35 失误与防范失误与防范1.1.在解正棱锥的问题时，要注意利在解正棱锥的问题时，要注意利 用四个直角三角形，如图所示，用四个直角三角形，如图所示，O O 为底面正多边形的中心，为底面正多边形的中心，E E为为ABAB的的 中点，四个直角三角形为中点，四个直角三角形为RtRtVOAVOA、 RtRtAEOAEO、RtRtVEAVEA和和RtRtVOEVOE，它们包含了棱锥，它们包含了棱锥 高、斜高、

40、侧棱、底边长的一半、底面正多边形高、斜高、侧棱、底边长的一半、底面正多边形 半径半径. .2.2.在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思在求空间几何体的体积时，也常用到转化的思 想，将其转化为其他几何体的体积来求想，将其转化为其他几何体的体积来求. .36定时检测定时检测一、选择题一、选择题1.1.下列命题中，成立的是下列命题中，成立的是 （ ） A.A.各个面都是三角形的多面体一定是棱锥各个面都是三角形的多面体一定是棱锥 B.B.四面体一定是三棱锥四面体一定是三棱锥 C.C.棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定棱锥的侧面是全等的等腰三角形，该棱锥一定 是正棱锥是正棱锥 D.D.底面多边

41、形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相底面多边形既有外接圆又有内切圆，且侧棱相 等的棱锥一定是正棱锥等的棱锥一定是正棱锥37解析解析 A A是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底是错误的，只要将底面全等的两个棱锥的底面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，面重合在一起，所得多面体的每个面都是三角形，但这个多面体不是棱锥；但这个多面体不是棱锥；B B是正确的，三个面共顶点，另有三是正确的，三个面共顶点，另有三边围成三角形是四面体也必定是个三边围成三角形是四面体也必定是个三棱锥；棱锥；C C是错误的，如图所示，棱锥的是错误的，如图所示，棱锥的侧面是全等的等腰三角形，但该棱锥不是正三棱侧面是全等的等腰

42、三角形，但该棱锥不是正三棱锥；锥；D D也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，也是错误的，底面多边形既有内切圆又有外接圆，如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥如果不同心，则不是正多边形，因此不是正棱锥. .答案答案 B382.2.正棱锥的高缩小为原来的正棱锥的高缩小为原来的 ，底面外接圆半径扩，底面外接圆半径扩 大为原来的大为原来的3 3倍，则它的体积是原来体积的（倍，则它的体积是原来体积的（ ） 解析解析 设原棱锥高为设原棱锥高为h h，底面面积为，底面面积为S S，21倍倍倍倍49.D43.C29.B23.A.29,293121931.9,21,31VVShhSVShShV底面

43、面积为新棱锥的高为则B393.3.如图，已知高为如图，已知高为3 3的直三棱柱的直三棱柱ABCABC A A1 1B B1 1C C1 1的底面是边长为的底面是边长为1 1的正三角形，的正三角形， 则三棱锥则三棱锥B B1 1ABCABC的体积为的体积为 （ ） 解析解析 因为因为ABCABC是边长为是边长为1 1的正三角形，故面积的正三角形，故面积 为为 故三棱锥的体积为故三棱锥的体积为41.D63.C21.B43.A,431432.43343311ABCBVA404.4.若长方体的三条棱长之比为若长方体的三条棱长之比为123123，全面积为，全面积为 8888，则它的对角线长为，则它的对角

44、线长为 （ ） A.12 B.24 C. D.A.12 B.24 C. D. 解析解析 设长方体的三条棱长分别为设长方体的三条棱长分别为k k，2 2k k，3 3k k，则，则 由题意可知由题意可知2 2（k k22k k+2+2k k33k k+3+3k kk k）=88=88，故，故k k2 2=4.=4. 于是，对角线长为于是，对角线长为142144.14294222kkklC415.5.（20082008四川文，四川文，1212）若三棱柱的一个侧面是边若三棱柱的一个侧面是边 长为长为2 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为 6060的菱形的菱

45、形, ,则该棱柱的体积等于则该棱柱的体积等于 （ ） A. B. C. D.A. B. C. D. 解析解析 如图所示如图所示, ,由题意可得由题意可得 AAAA1 1C C1 1=AAAA1 1B B1 1=60=60, , AAAA1 1= =A A1 1B B1 1= =B B1 1C C1 1= =A A1 1C C1 1=2.=2. 所以过点所以过点A A作作AOAO平面平面A A1 1B B1 1C C1 1, , 则则O O在在B B1 1A A1 1C C1 1的平分线上的平分线上. . 过过O O作作OEOEA A1 1B B1 1, ,连结连结A A1 1O O, ,AEA

46、E, ,222232442易证易证coscosAAAA1 1E E=cos=cosAAAA1 1O OcoscosOAOA1 1E E，答案答案 B. 22362443,362,3330cos60coscos1ShVAOOAA棱柱即436.6.（20092009辽宁理，辽宁理，1111）正六棱锥正六棱锥P PABCDEFABCDEF中，中， G G为为PBPB的中点的中点, ,则三棱锥则三棱锥D DGACGAC与三棱锥与三棱锥P PGACGAC 体积之比为体积之比为 （ ） A.11 B.12 C.21 D.32A.11 B.12 C.21 D.32 解析解析 如图，设棱锥的高为如图，设棱锥的

47、高为h h， . 1:2:, 1:2:.23121,2131GACPGACDABCADCABCABCGABCPGACPADCDACGGACDVVSShSVVVhSVV故又C44二、填空题二、填空题7.7.已知正四棱锥的体积为已知正四棱锥的体积为12,12,底面对角线的长为底面对角线的长为2 ,2 , 则侧面与底面所成的二面角等于则侧面与底面所成的二面角等于 . . 解析解析 如图所示如图所示, ,设底面边长为设底面边长为a a, ,则则2 2a a2 2=(2 )=(2 )2 2， a a=2 =2 ，OMOM= .= . 6633.33, 333tan. 3,12)32(312角为侧面与底面

48、所成的二面又VMOVMOhhV3458.8.设正三棱锥设正三棱锥V VABCABC底面边长为底面边长为2 ,2 ,高为高为2,2,则侧则侧 棱与底面所成角的大小为棱与底面所成角的大小为 . . 解析解析 如图所示如图所示, ,由已知在正由已知在正ABCABC 中中, ,ABAB=2 ,=2 ,O O为为ABCABC重心重心, , AOAO=2,=2,VOVO=2,=2,且且VOVOAOAO， VAOVAO=45=45. .334545469.9.（20082008江西理，江西理，1616）如图（如图（1 1）所示，一个正四）所示，一个正四 棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底棱柱形的密闭

49、容器水平放置，其底部镶嵌了同底 的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a a升水时，升水时， 水面恰好经过正四棱锥的顶点水面恰好经过正四棱锥的顶点P P. .如果将容器倒如果将容器倒 置，水面也恰好过点置，水面也恰好过点P P（如图（如图（2 2）所示）所示）. .有下列有下列 四个命题：四个命题：47A.A.正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半；B.B.将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P P；C.C.任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经 过点过点

50、P P；D.D.若往容器内再注入若往容器内再注入a a升水，则容器恰好能装满升水，则容器恰好能装满. . 其中真命题的代号是其中真命题的代号是 . .（写出所有真命题的代（写出所有真命题的代 号）号）解析解析 设正四棱柱底面边长为设正四棱柱底面边长为b b，高为，高为h h1 1, ,正四棱锥高正四棱锥高为为h h2 2, ,则原题图（则原题图（1 1）中水的体积为：）中水的体积为：图（图（2 2）中水的体积为：）中水的体积为：b b2 2h h1 1- -b b2 2h h2 2= =b b2 2（h h1 1- -h h2 2），），.3231222222hbhbhb.D,A,35),(3

51、22121222正确错误故所以所以hhhhbhb48对于对于B B，当容器侧面水平放置时，当容器侧面水平放置时，P P点在长方体中截点在长方体中截面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好面上，又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过经过P P点，故点，故B B正确正确. .对于对于C C，假设，假设C C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，经计算得水的体积为重合时，经计算得水的体积为矛盾，故矛盾，故C C不正确不正确. .答案答案 B.D,3236252222hbhb49三、解答题三、解答题10.10.（20092009福建文，福建文，2020）如图，

52、如图， 平行四边形平行四边形ABCDABCD中，中，DABDAB =60=60, ,ABAB=2,=2,ADAD=4.=4.将将CBDCBD 沿沿BDBD折起到折起到EBDEBD的位置，的位置， 使平面使平面EBDEBD平面平面ABDABD. . (1) (1)求证：求证：ABABDEDE. . (2) (2)求三棱锥求三棱锥E EABDABD的侧面积的侧面积. . (1) (1)证明证明 在在ABDABD中，中，ABAB=2,=2,ADAD=4,=4, DABDAB=60=60, ,. 32cos222DABADABADABBD50ABAB2 2+ +BDBD2 2= =ADAD2 2,ABABBDBD. .又又平面平面EBDEBD平面平面ABDABD，平面平面EBDEBD平面平面ABDABD= =BDBD，ABAB平面平面ABDABD，ABAB平面平面EBDEBD. .DEDE平面平面EBDEBD，