数学归纳法(讲课用)

1、2021/3/91高二数学组高二数学组 林占生林占生2021/3/92 课前篇检查与展示2021/3/93问题问题 1 1: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 对对于于数数列列已已知知，猜猜想想其其通通项项公公式式111a 212a 1nan 313a 问题问题2：某人看到树上乌鸦是黑的，某人看到树上乌鸦是黑的，深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。深有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一问题情境一.我是白的哦！2021/3/942021/3/95思考：归纳法有什么优点和缺点？思考：归纳法有什么优点和缺点？优点：优点：可以帮助我们从一些具体事可以帮助我们从一些具体事 例中发现一般

2、规律例中发现一般规律缺点：缺点：仅根据有限的特殊事例归纳仅根据有限的特殊事例归纳 得到的结论有时是不正确的得到的结论有时是不正确的2021/3/96思考思考1 1：与正整数与正整数n n有关的数学命题能否有关的数学命题能否通过通过一一验证一一验证的办法来加以证明呢？的办法来加以证明呢？思考思考2 2：如果一个数学命题与正整数如果一个数学命题与正整数n n有有关关, ,我们能否找到一种既简单又有效的证我们能否找到一种既简单又有效的证明方法呢？明方法呢？2021/3/97数学归纳法数学归纳法【命题成立的连命题成立的连续性续性】2021/3/982021/3/99137951+3+5+(2n1)=n

3、2 (nN*)证明：证明：例例1：观察：观察归纳猜想：归纳猜想：你能得出什么结论？你能得出什么结论？并用数学归纳法证并用数学归纳法证明你的结论。明你的结论。nn（1）当）当n=1时，左边时，左边=1, 右边右边=12=1，等式成立等式成立.（2）假设）假设n=k时等式成立，时等式成立， 即即1+3+5+(2k1)=k2 ,则则n=k+1时，时， 1+3+5+2(k+1)1= 1+3+5+(2k1)+2(k+1)-1= k2+2k+1=(k+1)2.即即n=k+1时等式也成立时等式也成立.根据（根据（1）,（2）知等式对一切）知等式对一切nN*都成立都成立.2021/3/910135（2n1）用

4、数学归纳法证明用数学归纳法证明n2即当即当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1 1）和（）和（2 2）可知，等式对任何都成立。）可知，等式对任何都成立。n N证明：证明：135（2k1）+2(k+1)1那么当那么当n=k+1时时（2）假设当）假设当nk时，等式成立，即时，等式成立，即（1）当）当n=1时，左边时，左边1，右边，右边1，等式成立。，等式成立。135（2k1）k2 + 2(k+1)1k2 2k1k2 （k+1）2（假设）（假设）（利用假设）（利用假设）注意：注意：递推基础不可少，递推基础不可少， 归纳假设要用到，归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉结论写明莫忘掉。证明传

5、递性证明传递性（凑结论）凑结论）2021/3/911数学归纳法步骤，用框图表示为：数学归纳法步骤，用框图表示为： 验证验证n= =n0 0时时命题成立。命题成立。若若n = k ( k n0 0 ) 时命题成立，时命题成立，证明当证明当n=k+1时命题也成立。时命题也成立。 命题对从命题对从n0 0开始的所有开始的所有的正整数的正整数n都成立。都成立。归纳奠基归纳奠基归纳递推归纳递推 注：两个步骤注：两个步骤,一个结论一个结论,缺一不可缺一不可2021/3/912证明证明：（1）当当n=1时时，,1a 左边左边,011ada 右右边边等式是成立的等式是成立的（2）假设当假设当n=k时等式成立，

6、就是时等式成立，就是,) 1(1dkaak 那么那么daakk 1ddka )1(1这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，等式也成立由（由（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何 都成立都成立Nndka1)1(1 dnaan)1(1 如果如果 是等差数列，已知首项为是等差数列，已知首项为 公差为公差为 ，那么，那么na1ad对一切对一切 都成立都成立 Nn例例2 2试用数学归纳法证明试用数学归纳法证明2021/3/913 因此数学归纳法是一种科学的递推方法因此数学归纳法是一种科学的递推方法 (1)(1)是是递推的递推的基础基础 (2)(2)是是递推的递推的依据依据都

7、成立。何对任时等式都成立，即等式，知道推下去，就时等式也成立，这样递），时等式成立，再根据（也成立。由于时等式），时等式成立，再根据（），：根据（上述结论是容易理解的Nnnnnnn 6 5 431222211211 nn -1n1已 知 数 列 a 为 等为 q,求 证 : 通 项：公 式 为 a= a qn nn n - -1 1练练 习习比比 数数 列列 ，公公 比比（ 提提 示示 ： a a= = q qa a）2021/3/9142021/3/915例例3：用数学归纳法证明用数学归纳法证明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 从从n=k

8、n=k到到n=k+1n=k+1有什么变化有什么变化利 用 假利 用 假设设凑结论凑结论证明证明:2)假设假设n=k时命题成立时命题成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk则当则当n=k+1时，时， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk= =)2)(1( kk)131( k n=k+1时命题正确。时命题正确。 由由(1)和和(2)知，当知，当 ，命题正确，命题正确。Nn = 2111)1(31 kkk1)当当n=1时，左边时，左边=12=2,右边右边= =2. 命题成立命题成立1 11 12 23 33 32021/3/916练

9、习练习2用数学归纳法证明用数学归纳法证明6) 12)(1(3212222nnnn证明：证明：（1）当）当n=1时，左边时，左边121，右边，右边等式成立。等式成立。（2）假设当）假设当n=k时，等式成立，就是时，等式成立，就是163216) 12)(1(3212222kkkk那么那么2021/3/917 61)1(21)1()1(6)32)(2)(1(6)672)(1(6)1(6)12)(1()1(6)12)(1()1(32122222222 kkkkkkkkkkkkkkkkkkk这就是说，当这就是说，当n=k+1时等式也成立。时等式也成立。根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可

10、知等式对任何nN都成立。都成立。2021/3/918思考思考1 1：试问等式试问等式2+4+6+2+4+6+2+2n nn n2 2+n+1+n+1成立吗？某成立吗？某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？学得到的结论正确吗？解解: :设设n nk k时成立，即时成立，即这就是说，这就是说，n nk+1k+1时也成立时也成立2+4+6+2kk2+k+1则当则当n=k+1n=k+1时时 2+4+6+2+4+6+2k+2(k+1)+2k+2(k+1) k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1 所以等式对任何所以等式对任何n

11、NnN* *都成立都成立事实上，当事实上，当n n1 1时，左边时，左边2 2，右边，右边3 3左边左边右边，等式不成立右边，等式不成立该同学在没有证明当该同学在没有证明当n=1n=1时，等式是否成立的前提时，等式是否成立的前提下，就断言等式对任何下，就断言等式对任何nNnN* *都成立，为时尚早都成立，为时尚早2021/3/919证明：证明：当当n=1时，左边时，左边,21右边右边,212111 假假设设n=k时，时，等式成立，等式成立，,2112121212132kk 那么那么n=k+1时时 1322121212121kk等式成立等式成立这就是说，当这就是说，当n=k+1时，等式也成立时，

12、等式也成立根据（根据（1）和（）和（2），可知等式对任何），可知等式对任何nN都成立都成立即即211)21(1 211 k.2111 k第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合第二步的证明没有在假设条件下进行，因此不符合数学归纳法的证明要求数学归纳法的证明要求思考思考2 2：下面是某同学下面是某同学 用数学归纳法证明等式用数学归纳法证明等式成立的过程成立的过程, ,它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么它符合数学归纳法的证明要求吗？为什么？（nN）nn2112121212132 2021/3/920 因此，用数学归纳法证明命因此，用数学归纳法证明命题的两个步骤，缺一不可。第一题的两个步骤，缺一不可。第一步是步是递推的递推的基础基础，第二步是，第二步是递递推的推的依依据据。缺了第一步递推失。缺了第一步递推失去基础；缺了第二步，递推失去去基础；缺了第二步，递推失去依据，因此无法递推下去。依据，因此无法递推下去。2021/3/9211.1.数学归纳法是一种证明与数学归纳法是一种证明与正整数正整数有关的数有关的数学命题的重要方法学命题的重要