【校级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题-

1、绝密启用前【校级联考】浙江省宁波市九校2018-2019学年高二第一学期期末联考数学试题试卷副标题题号一一三总分得分考试范围：xxx;考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1 .答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2 .请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1.椭圆一A. 8B一的短轴长为（）.10 C. 5D. 42.设复数满足,其中 为虚数单位，则复数 对应的点位于（）A.第一象门!B.第二象限C.第三象限D.第四象限3 .已知 ，A.若B.若C.若是两条小同的直线， 是两个小同的平面，卜列说法正确的是（）,贝 U,则,则4.

2、有卜列四个命题：“相似二角形周长相等”的否命题；“若，则”的逆命题；“若，则”的否命题；“若，则方程有实根”的逆否命题；其中真命题的个数是（)A.0个 B. 1个C. 2个D. 3个5.已知，则“且”是“抛物线的焦点在 轴非负半轴上”的（）D.若平面 内有不共线的三点到平面的距离相等，则试卷第8页，总6页A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.下列命题正确的是A.是向量不共线的充要条件B.在空间四边形中,C.在棱长为1的正四面体中,D.设，三点不共线,为平面外一点，若四点共面与双曲线一有公共的焦点，点是两条曲线的交点,椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，且

3、A.B.C.D.8.已知为双曲线为其左顶点,其右焦点,满足,则点到直线的距离为（A.B.C.D.9.如图,四边形一,现将折起,当二面角的大小在时,直线 和所成角为，则的最大值为A.B.C.D.10.若长方体中,上的点，.分别记二面角的平面角为，A.B.C.D.与的值有关题答内线订装在要不请派 rkr 八 夕 一的焦点坐标是,渐近线方程是第II卷（非选择题） 请点击修改第II卷的文字说明12.在空间四边形中，分别是的中点，是 上一点，且.记13.设复数,其中 为虚数单位，则一的虚部是14. 一个空间几何体的三视图如图所示，则其表面积是山一推*B15.已知是抛物线上的点，则的最大值是16 .已知椭

4、圆的左右焦点分别为 ，动弦 过左焦点.若恒成立，则椭圆 的离心率的取值范围是题答内线订装在要不请派17.已知矩形中,为的中点,沿着向上翻折，使点到.若在平面上的投影落在梯形内部及边界上,则的取值范围为 rkr 八 夕 一评卷人得分11.双曲线一二、填空题评卷人得分三、解答题18.已知恒成立,命题：双曲的离心率(I)若命题 为真命题，求实数 的取值范围;(n) 若命题 和 中有且只有一个真命题，求实数的取值范围.19 .如图,在四面体(I)求点到平面的距离;(H)求异面直线所成角的大小.20.如图，已知多面体平面 ，(n)求直线 与平面所成角的正弦值.21 .已知点是圆上的动点,定点的垂直平分线

5、交 于点.(I)求点的轨迹的方程;(n)过点 作两条斜率之积为-的直线分别与轨迹交于记得到的四边形的面积为，求的最大值.外，过点 作抛物线 的两切线，设两切点分别22.如图，点在抛物线的中点为(H)证明：线段(出)设点为圆的中点在抛物线上;上的点，当 取最大值时，求点 的纵坐标.题答内线订装在要不请派 rkr 八 夕 一本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考参考答案1. . A【解析】【分析】利用椭圆的方程，直接求解即可.【详解】解：椭圆一 一 ，可知焦点在x轴上，b=4,所以椭圆一一的短轴长为8.故选：A.【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，是基本知识的考查.2. D【解析】【

6、分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：由（1+i） 2?z= 2+i,得 2iz=2+i,，复数z对应的点的坐标为（-1）,位于第四象限.故选：D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题.3. A【解析】【分析】在A中，由线面垂直的性质定理得 m/n；在B中，“与3相交或平行；在 C中，3;在D中，a与3相交或平行.【详解】解：由m, n是两条不同的直线，a, 3是两个不同的平面，知：在A中，若m，a, n± 3, a/ 3则由线面垂直的性质定理得m/n,故A正确；在B中，若m/ a, m/ 3则a与3相交

7、或平行，故 B错误；在C中，若m，a, m/ 3则a± 3故C错误；在D中，若平面a内有不共线的三点到平面3的距离相等，则 a与3相交或平行，故 D错误.故选：A.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空 间想象能力，是中档题.4. C【解析】【分析】写出命题的逆命题可判断 ；写出逆命题，可判断 ；写出命题的否命题，可判断 ；由 判别式法可判断原命题的真假，进而判断.【详解】解：“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”不正确，根据逆否命题同真同假，可得其否命题不正确；“若x>y,则x>|y|"的逆命

8、题为“若 x>|y|,则x>y”正确；“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若 xw 1,则x2+x-2W0”不正确；“若 bW0,则方程 x22bx+b2+b=0 有实根”由4= 4b2- 4 (b2+b) = 4b> 0,可得原 命题正确，其逆否命题也正确.故选：C.【点睛】本题考查简易逻辑的知识， 主要是四种命题的真假和相互关系，考查推理能力，属于基础题.5. A【解析】【分析】求出抛物线的标准方程，结合抛物线的焦点坐标，建立不等式关系进行判断即可.【详解】解：抛物线 mx2+ ny= 0的标准方程为 xy= 4 （ ）y,对应的焦点坐标为（0,），若焦点在y轴非

9、负半轴上，则一>0,即mnv0,则 mv 0且 n>0或 n<0且 m>0,则“mv 0且n>0”是“抛物线 mx2+ny=0的焦点在y轴非负半轴上”的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合抛物线的标准方程以及抛物线的焦点坐标建立不等式关系是解决本题的关键.6. B【解析】【分析】由向量共线和充分必要条件的定义可判断A;由向量的加减和数量积的定义可判断B;由向量数量积的定义计算可判断C;由四点共面的条件可判断D.【详解】解：由I L | |<|,向量，可能共线，比如共线向量，的模分别是2, 3,故A不正确；在空间四边形

10、ABCD中，（）？0,故B正确在棱长为1的正四面体 ABCD中,1X1Xcos120°故C错误;设A, B, C三点不共线，O为平面ABC外一点，若 -，由-1=2金1,可得P, A, B, C四点不共面，故 D错误.故选：B.【点睛】本题考查向量共线和向量数量积的定义、以及四点共面的条件，考查运算能力和推理能力, 属于基础题.7. B【解析】【分析】设PF1 = s, PF2=t,由椭圆的定义可得 s+t=2a1,由双曲线的定义可得 s-t=2a2,运用余弦定理和离心率公式，计算即可得ei的值.【详解】解：不妨设P在第一象限，再设PFi = s, PF2 = t,由椭圆的定义可得

11、s+t = 2a1，由双曲线的定义可得 s- t= 2a2,解得 s= a1+a2, t= a1 一 a2,由/ F1PF2 一,可得-.，由 e1e2 = 1,即 一,得：,解得：(舍)，或 -，即 二故选：B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，考查运算能力，属于中档题.8. D【解析】【分析】由题意可得 APF为等边三角形，求出 P的坐标，利用双曲线的第二定义，列出方程，可得c= 4a,由等边三角形的高可得所求值.【详解】解：由题意，A (-a, 0), F (c, 0),右准线方程为x ,|AF|=|PF|, /PFA=60° ,可得 APF

12、为等边三角形，即有 P (，一(a+c),由双曲线的第二定义可得 化为 c2 - 3ac - 4a2= 0,可得c= 4a,由c= 4 一，可得a则点F至ij PA的距离为 一(a+c)?5 .故选：D.【点睛】本题考查双曲线的定义和性质，考查等边三角形的性质，以及化简运算能力，属于中档题.9. C【解析】【分析】取BD中点O,连结 AO, CO,以。为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点 O作平面BCD 的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与CD所成角的余弦值取值范围.【详解】解：取BD中点O,连结AO, CO,AB= BD= DA=4. BC = CD-, c COXB

13、D, AOBD,且 CO = 2, AO/AOC是二面角 A-BD-C的平面角，以。为原点，OC为x轴，OD为y轴，过点O作平面BCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，B (0, - 2, 0) , C (2, 0, 0), D (0, 2, 0),设二面角A - BD -C的平面角为。，则，连 AO、BO,则/ AOC=A( 一 ，一 )，一 ， ， ， ， ， ，设AB、CD的夹角为飞贝 U cos a =,-,cos|1| 0 , 1+-.cos的最大值为故选：C.答案第20页，总19页本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.10. C【

14、解析】【分析】设。为过G点彳GM_CD于过M做MNLEF于N点，由 3 =1,所以3的大小.【详解】过G点作GML CD于M点，过 M做MNL EF于N点,MN： CE设。为又 3,<故选：C（1）求二面角大小的过程可总结为：“一找、二证、三计算。（2）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面 角的平面角.利用双曲线的a, b, c的关系，直接计算.解：双曲线 一一 1 中 a2= 12, b2 = 3,则 c2=a2+b2=15.且焦点在y轴上，双曲线一 一1的焦点坐标是（

15、0,），渐近线方程是y -故答案为：（0,）, y=± 2x【点睛】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，考查学生的计算能力，属于基础题.12. （一，-，-）【解析】【分析】利用空间向量加法定理能求出（x, v, z）；利用空间向量数量积公式能求出| |.【详解】解：.在空间四边形 OABC中，E, F分别是AB, BC的中点，H是EF上一点，且EH -EF,)-,/ BOC = 60。，且 |= |=|=1,故答案为：（-，-，-）,空间向量数量积本题考查空间向量的求法，考查向量的模的求法，考查空间向量加法法则、 公式等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础

16、题.13. 1利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. z= (一) 2018+解：;)2019 = ( - i) 2018+i2019=i2+i3= - 1 - i,，一,则一的虚部为1.团一.故答案为：1;【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题.14. -【解析】【分析】根据三视图，画出几何体的直观图，利用三视图的数据，代入表面积与体积公式计算.【详解】解：由三视图知几何体是三棱柱与一个正方体一个长方体的组合体，正方体的棱长为1,如图：几何体的表面积：-15 ，几何体的体积 V= 1-；故答案为：15 一； -，本题考查了由三视图求几何体的表

17、面积与体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量.15. 一【解析】【分析】根据题意画出图形， 利用数形结合法把x化为|PA|- |PF|+2,从而求得最大值.【详解】解：根据题意画出图形，如图所示;由图形知，x= |PA|-x=|PA|- ( |PM| - 2)= |PA|- (|PF|-2)=|PA|PF|+2W AF|+2 2;即x的最大值是 -2.故答案为：一 2.工二Q 寸八【点睛】本题考查了抛物线的方程与应用问题，也考查了数形结合的解题方法，是中档题.16. 一【解析】【分析】由条件可得，转化为一 ，从而得到椭圆的离心率的取值范围【详解】由可得,即,故答案为：一

18、【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a, b, c的方程或不等式，再根据a, b, c的关系消掉b得到a, c的关系式，建立关于 a, b, c的方程或不等 式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等17. 首先明确 在平面 上的投影 的轨迹，建立平面直角坐标系，求出直线方程与点的坐标，即可得到的取值范围.【详解】取AB中点为H ,连接DH交AE于G,由题意可知：在平面 上的投影 落在线段GH上,如图建立平面直角坐标系，直线GH方程为，易得：F到直线的距离为:故 的取值范围为故答案为： 一本题考查线段的长度， 考查线面间的位置关系， 考查空间想象能

19、力与计算能力，属于中档题.18. (I)-(n) -【分析】(I)由p真，结合对勾函数的单调性和基本不等式，可得最小值，即可得到所求范围；(n)由双曲线的离心率公式，可得a的范围，由题意可得 p真q假，p假q真，解不等式组，即可得到所求范围.【详解】(I)当 - 时，因为 在- 上为减函数，在上为增函数， 在 -上最小值为当 - 时，由函数- -恒成立，得 解得-.(n)若命题 为真命题，则 ,解得若为真命题且 为假命题，则-，可得-若 为假命题且 为真命题，则一，此时 由上可知，的取值范围为-【点睛】本题考查命题的真假判断， 主要是不等式恒成立问题和双曲线的离心率，考查不等式的解法,属于基础

20、题.19.(1) 2 ( n)【解析】【分析】(I)作 平面 于，连，证明 是的角平分线，由求得 ，即可得到点到平面 的距离；(n)取空间基底为，用基底表示，代入夹角公式即可得到结果.【详解】(I)作 平面 于，连作于，于，连平面 ， 平面 ，,所以,四边形 为正方形, 是的角平分线，-一，即A（n）（方法1）记 ， ，则，记， ，又 ，,，即 ，所以异面直线与所成角的大小为（方法2）以， ，所在直线分别为 ，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， ， ，则，一设异面直线 与所成角为，则,所以异面直线与所成角的大小为ix:Fr;“【点睛】本题考查空间点到平面的距离， 异面直线所成角，考查空间

21、问题坐标化，考查计算能力与空 间想象能力，属于中档题.20. (I)见证明；(n)【解析】【分析】(I)由余弦定理得 PB ，从而PBLAB,由AD，平面 PAB,得ADLPB,再由PBXAB, 能证明PBL平面ABCD.(n)由余弦定理求出 cos/PDC ,从而sin/PCD ，S*cd=2,设直线PA与平面PCD所成角为 。，点A到平面PCD的距离为h,由Va-pdc = Vp-acd,得h 二,从而sin 0 ，由此能求出直线 PA与平面PCD所成角的正弦值.【详解】(I)在中， ，所以，一，所以，因为，所以，四点共面.又 平面 ， 平面 ，所以又，所以 平面 所以_ ,一.设直线 与

22、平面所成的角为，设点到平面的距离为，因为，所以-，即-所以二，故直线 与平面所成的角的正弦值为 .（方法二）由（I）知，平面 ，以点 为坐标原点，以 ，所在直线分别为 ，轴建立如图的空间直角坐标系,则 一，所以一，一，设直线 与平面所成的角为，设平面 的一个法向量为，由得取 一，则，所以.所以 =，故直线 与平面所成的角的正弦值为（方法三）延长相交于点，连结因为的中位线,点，分别为 ， 的中点.所以为等腰三角形中点，连所以所以平面平面平面平面所以就是直线与平面所成的角.因为所以所以所成的角的正弦值为故直线与平面【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题.21. (I) ( n)【解析】【分析】(I