苏科版八年级上册第一章全等三角形经典培优题型(无答案)

1、全等三角形辅助线含 倍长中线、截长补短辅助线做法找全等三角形的方法：(1)可以从结论出发，看要证明相等的两条线段(或角)分别在哪两个可 能全等的三角形中；(2)可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；(3)从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；(4)若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法：延长中线构造全等三角形；利用翻折，构造全等三角形；引平行线构造全等三角形；作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思 维模式是全等变换中的“对折”.2)遇到三角形的

2、中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”.3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的 “对折” ， 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等， 或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某

3、点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答常见辅助线写法：过点 A 作 BC 的平行线AF 交 DE 于 F过点 A 作 BC 的垂线，垂足为D延长AB至C,使BC=AC在AB上截取 AC,使 AC = DE作/ ABC的平分线，交 AC于D取AB中点C,连接CD交EF于G点»8-：单移变Ift »如图，AB= CD= 1 , / AOC = 60° ,证明：AC + BD >1o（2007年北京中考）如图，已知 4ABC请你在BC边上分别取两点 D、E （BC的中点除外），连接 AD、AE,写出使此图中只存在两对面积相 等的三角形的相应条件

4、，并表示出面积相等的三角形；请你根据使成立的相应条件，证明AB+AOAD + AE。例3已知线段 OA、OB、OC、OD、OE、OF。/AOB = / BOC=Z COD = Z DOE = Z EOF = 60°。且 AD = BE=CF=2。v、3。如图1,在四边形 ABCD中，连接对角线 AC、BD,如果/ 1 = 7 2,那么/ 3=7 4。仔细阅读以上材料，完成下面的问题。如图 2,设 P 为 DABCD 内一点，/ RAB=Z PCB,求证：/ PBA= / PDA。 集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图

5、形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。 平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将ABC平移至 DEF。1 .在正方形 ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA边上的点，且 EG，FH ,求 证：EG=FH。2 .如图所示，P为平行四边形 ABCD内一点，求证：以 AP、BP、CP、DP为边可以构成一 个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。3 .如图，已知 ABC的面积为16,BC=8,现将ABC沿直线BC向右平移a个单位到 DEF 的位置。当a=4时，求 ABC所扫过的面积；连接AE、AD,设AB =

6、 5,当 ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。4.如图，AA' BB' CC' =J/AOB' 3 BOC' ZCOA' =6Q° 求证:SaobSboc Scoa :秘籍二：雄转如图，E、F分别是正方形 ABCD的边BC、CD上的点，且/ EAF = 45°, AHXEF, H为垂足，求证：AH = AB。例2 ABC 中，/ ACB = 90°, AC=BC, P 是ABC 内的一点，且 AP=3, CP= 2, BP = 1,求/ BPC的度数。B例3已知在 ABC中，AB=AC, P为三角形内一点，

7、且/ APB>/ APC,求证：PBvPC。有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等角度能拼成的特殊角指的是 180°, 90°等等;群籍二：翻折例4已知 ABC, /1 = /2, AB=2AC, AD=BD。求证：DCXACoA/TX例5BE=CE。 ABC为等腰直角三角形， ZABC=90 °, AB = AE, Z BAE = 30 °,求证:例6在4ABC 中，E、F 为 BC 边上的点，已知/ CAE=/BAF, CE=BF,求证：AC = AB。出现轴对称的时候可以考虑翻折，

8、尤其注意有角平分线，有角相等或者出现 特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。强调：旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将 ABC旋转或翻折至 DEF。1.如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形纸板的圆心方在 O点处，并将纸板绕。点旋转，其半径分别交 AB、AD于点M、N,求 证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。2. （2008 山东）在梯形 ABCD 中，AB/CD, /A=90°, AB=2, BC=3, CD = 1, E是AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。3 .如

9、图，P是等边 ABC内一点，若 AP = 3, PB=4, PC =5,求/ APB的度数。4 .已知：在 RtAABC中，/ BAC=90°, AB=AC,点D、E分别为线段 BC上两动点, / DAE=45° 。猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。5 .如图，已知等腰直角三角线 ABC, BD平分/ ABC, CEXBD ,垂足为 E,求证：BD = 2CE。6 .如图，折叠长方形的一边 AD,使点D落在BC边的点F

10、处，如果AB=8, BC=10,求 EC的长。BF(D)C）中点的妙用一、倍长中线法例1（北京文汇中学 2009-2010期中测试题）,AD是4ABC中BC边上的中线，若 AB=2, AC=4,则AD的取值范围是。例2已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长 BE交AC于F, AF =EF , 求证：AC =BEoD例4如图1, 4ABC与4BDE均为等腰直角三角形， BAXAC, ED，BD ,点D在AB边上。连接EC, 取EC中点F,连接AF, DF,猜测AF, DF的数量关系和位置关系，并加以证明。图1如图2,将 BDE旋转至如图位置，使 E在AB延长线上，D在CB延

11、长线上，其他条件不变, 则中AF, DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。图2已知四边形ABCD 四边形。A如图，已知四边形 延长线交于E、F,ABCD中，AB=CD, M、N分别为 BC、AD中点，延长 MN与AB、CD 求证/ BEM =/CFMM中，E, F, G, H分别为 AB, BC, CD, DA的中点，求证 EFGH为平行例7已知 ABD和 ACE都是直角三角形，且/ ABD = / ACE=90° ,连接 DE ,设M为DE的中点。 求证：MB=MC;设/ BAD=/CAE,固定RtAABD ,让RtACE移至图示位置，此时 MB=MC是否成立？请证 明

12、你的结论。出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法倍长中线法构造中位线如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线例7如图，已知 ABC和4ADE都是等腰直角三角形，点 M为EC中点，求证 BMD为等腰直角三 角形。MD1.在4ABC中，AB=12, AC = 30,求BC边上的中线 AD的范围。2 .在 4ABC 中，D 为 BC 边上的点，已知/ BAD = / CAD , BD = CD,求证：AB = AC。3 .如图，在 ABC中，AD ± BC, M是BC中点，/ B=2/ C,如图，求证： DM = 1 AB2D14 .已知 ABC 中，AC=7, BC=4, D 为 AB

13、 中点，E 为边 AC 上一点，且/AED =90©十，NC ,2求CE的长。5 .在任意五边形 ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点,MN、PQ的中点，求证： KL平行且等于 -AE oK、L、分别为46 .如图，已知 ABC中，AB=AC, CE是AB边上的中线，延长 AB至ijD,使BD=AB,那么CE是CD的几分之几?7 .四边形ABCD四边中点分别为 E、F、G、H,当四边形 ABCD满足 时，EFGH为菱形；当四边形 ABCD满足 时，EFGH为矩形；当四边形ABCD满足时，EFGH为正方形。例1在 ABC 中，/B=2/C, / BAC 的平分

14、线 AD 交 BC 与 D。求证：AB + BD=AC。AD例3ABCD是正方形，P为BC上任意一点，/ PAD的平分线交 CD于Q,求证：DQ=APBP。已知 ABC, / ABC=90° ,以AB、AC为边向外做正方形 ABDE和ACFG ,延长 BA交EG 于 H ,贝U BC =2AH。补形法AD是4ABC的角平分线，BELAD交AD的延长线于 E, EF/AC交AB于F。求证：AF = FB。E例5如图，六边形 ABCDEF的六个内角都相等，已知 BC + CD = 11, DE_AB = 3,求DC+EF的值。如图所示：BC>AB, AD=AC, BD 平分/ AB

15、C,求证：/ A + /C = 180°。A1.如图，在 ABC中，AB +BD =AC, / BAC的平分线 AD交BC与D,求证：/ B=2/C已知 ABC,以AB、AC为边向外作正方形 ABGF、ACDE , M是BC中点，连接 AM 求证：EF=2AM 且 AM LEF。GA3 .在 4ABC 中，AB = AC, /A=100° , BE 评分 / B 交 AC 与 E,如图，求证：AE+BE = BC4 .在 ABC中，D、E为AB、AC中点，DE与/ B的平分线交与 F,如图所示。求证：AF ±BF5 .在4ABC中，MB、NC分别是三角形的外角/

16、ABE、/ ACF的角平分线， AM ± BM , ANXCN,垂足分别是 M, No 求证：MN/BC, MN = : (AB+AC + BC)6 .在 ABC中，MB、NC分别是三角形的内角/ ABC、/ ACB的角平分线， AM ± BM , ANXCN,垂足分别是 M, No 求证：MN/BC, MN = ； (AB + AC BC)MBC巧构等边求/ BAD的度数。在四边形 ABCD 中，已知 AB=BC=CD, / ABC =70°, / BCD =170°,如图， ABC 中，AB=AC, AD=BC, / A =20°,求/ D

17、CA 的度数。例3任意 ABC,试在 ABC内找一点 P,使得PA+PB十PC的值最小例4（2000北京初二数学竞赛），在等腰ABC中，延长边AB到点D,延长边CA到点E,连接DE,恰有 AD =BC =CE =DE。求证：/ BAC = 100° 。AB例5如图所示，在 ABC中，/ B =60°/A = 100°, E为AC的中点，/ DEC =80°, D是BC边上的点，BC=1,求4ABC的面积与 CDE的面积的两倍的和。如图所示，在 ABC中，/ACB=2/ABC, P为三角形内一点, 求证：/ BAC=3/BAP。AP=AC, PB=PC,1

18、 .如图所示，在四边形 ABCD中，BC =CD , NBCA _/ACD =60，求证：AD+CD之AB。2 .在 MBC 中，AB=AC, 60°<ZA <120°, P 为 AABC 内部一点， PC = AC , /PCA=120°/A ,求 ZCBP 的度数。3 .在等边/ ABC内有一点P,它到三个顶点 A、B、C的距离分别为1、尼曲,求/ APB的度数。4 .在凸四边形 ABCD 中，/ DAC=30°, / CAB =20°, /ADB=50°, /BDC=30°, 四边形的对角线交于点P,求证：

19、PB=PC5 .在等月ABC中，/ B=/C=40°,延长 AB至点D,使AD=BC,求/ BCD的度数。6 .如图，D 是 4ABC 外一点，AB=AC=BD+CD, / ABD =60°。求/ ACD 的度数。全等三角形常见辅助线的作法一倍长中线法倍长中线法：就是将三角形的中线延长一倍，以便构造出全等三角形，从而运用 全等三角形的有关知识来解决问题的方法.图2倍长中线法的过程：延长XX到某点，使什么等于什么（延长的那一条），用SAS证全等（对顶角）方法总结：遇中线，要倍长，倍长之后 构造全等三角形，转移边、转移角，然后和已知条件重新组合解决问题【例题精讲】 例1、如图1

20、,在4ABC中，AD为BC边上的中线.求证：AB+AC>2AD.分析：因为AD为中线，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE;进而利用全等三角形的判定（SAS） AABDA ECD;由全等可得_AB=EC_;证明：延长AD至E,使DE=AD ,连接EC. AD 是中线 . .DC=DB在4CDE和ABDA中DE=AD ,J/CDE=ZBDA,DC=DB.-.CDEABDA (SAS) . CE=AB在MEC 中 CE+AC>AE, CE=AB .AB+AC>AE v DE=AD .AE=2AD VAB+AC>AE .AB+AC>2AD例2如图CB,CD分别是钝角

21、AECffi锐ijA ABC勺中线，且AC=AB.求证：CE2CD例3、赢胃为AABC中，AD交BC于点D ,点E是BC中点，EF II AD交CA的 延长线于点F ,交EF于点G ,若BG=CF ,求证：AD为MBC的角平分线.F例4、如图，在 MBC中，AD是BC边的中线，E是AD上一点, 长BE交AC于点F.求证：AF= EFH、截长补短法截长：1.过某一点作长边的垂线2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段,再证剩下的线段与另一短边相等。补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。【例题精讲】例 1.如图，4ABC中，/AC氏2/B, /1 = /2 求证：AB= AC+ CD证法一：(补短法)延长AC至点F,使得AF=AB在4ABD和4AFD中 AFN 2AD = AD.ABDA AFD (SAS). B=/ F /ACB