近几年高考万有引力及航天10难题详析

1、WORD格式近几年高考“万有引力与航天”10难题详析江苏省特级教师戴儒京万有引力与航天，历来是高考的重点、热点和难点，体现在每年的高考试卷 中都有有关万有引力与航天的题目，每套物理试卷或理综试卷都有有关万有引力 与航天的题目。本文就近几年高考“万有引力与航天”的难题 10题，给以详细 解析，以帮助广大高三或高一的学生学习这一部分内容。当你读本文时，对每一题，还是先自己解一下，然后再看本文的解析与答案。1. （2010年浙江卷第20题）.宇宙飞船以周期为T绕地地球作圆周运动时， 由于地球遮挡阳光，会经历“日全食”过程，如图所示。已知地球的半径为 R, 地球质量为M,引力常量为G,地球处置周期为T

2、o太阳光可看作平行光，宇航 员在A点测出的张角为0 ,则A.飞船绕地球运动的线速度为2二 RTsin( :2)B. 一天内飞船经历“日全食”的次数为 T/ToC.飞船每次“日全食”过程的时间为 aT0/（2gD.飞船周期为T=2二 R Rsin(：2)；GM sin(：2)【解析】飞船绕地球运动的线速度为v =空TRR由几何关系知 sin(汽/2)=，所以 r =rsin(1 /2)2 二R二 v 二,Tsin(1 /2)A正确;因为GmM r2 二 25卬）r所以 T=2nJ一=2nr,F .GM GM因为r= R 所以T=2n R I R , D正确sin(1 /2)sin("2

3、) ； GM sin(： /2)一天内飞船经历“日全食”的次数为 n=To/T,所以B错误；T飞船每次“日全食”过程的时间，如下图所示，是飞船沿BAC圆弧从B到 C 的时间，因为 tan-ZOBC =R , sin- = -R-,所以/ OBC=ot ,时间 t =号-丁2r 2 r2 二所以C错误；专业技术整理分享 Mm 2 二G 2 =m (R 几)2 Ti【答案】AD【点评】本题考查圆周运动与航天知识及用数学解决物理问题的能力。2. （2010安徽卷17）.为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面 高度分别为

4、和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2。火星可视为质量分布 均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为 Go仅利用以上数据，可 以计算出A.火星的密度和火星表面的重力加速度B.火星的质量和火星对“萤火一号”的引力C.火星的半径和“萤火一号”的质量D.火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力质量M4二 2(R h1)3一GTi24 二 2(R h2)3GT22和火星的半径R =,根据密度【解析】由于万有引力提供探测器做圆周运动的向心力，则有公式得：p = M=f'。在火星表面的物体有GMl = mg,可得火星V 434二 R3R2一二 R3表面的重力加速度g = G,

5、故选项A正确。R2【答案】A3. （2010全国卷1。25）. （18分）如右图，质量分别为 m和M的两个星球 A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为 L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为 Go求两星球做圆周运动的周期。在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B,月球绕其轨道中心运行为的周期记为 Tio但在近似处理问题时，常 常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期丁2。已知地球和月球的质量分别为5.98 X024kg和7.35 Xi022kg。求T2与Ti两者平方之比。（结果 保留3位小数）

6、【解析】A和B绕O做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力， 则A和B的向心力相等。且 A和B和O始终共线，说明A和B有相同的角速 度和周期。因此有m切2r=Mo2R, r+R = L,连立解得 R = mL , r = MLm Mm M对A根据牛顿第二定律和万有引力定律得 GMm= m（）2 - LL2T M m'L3化简彳马丁=2冗G（M m）将地月看成双星，由得1=2二L3 G(M m)将月球看作绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得GMm 2：、2,=m( )LL2 T2422所以两种周期的平方比值为守=喘产8m73510 =1.012 1.012【答案】(1)

7、 T =2njL. G(M m)4、（2009年海南物理6）.近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分 别为Ti和T2,设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为gi、g2,则A.g1g2B.D.g1g2【解析】卫星绕天体作匀速圆周运动由万有引力提供向心力有 GM2m =m（竺）2R,RT.2可得Tr = K为常数，由重力等于万有引力 GMm = mg,联立解得g=GM,则R3R23 T4K24g与T3成反比。【答案】B5、（2009年重庆17）.据报道，嫦娥一号”和 嫦娥二号”绕月飞行器的圆形轨道 距月球表面分别约为200km和100km,运动速率分别为V1和V2,那么V

8、1和V2的 比值为（月球半径取1700km）a 19A. 18D.1819【解析】 嫦娥一号”和 嫦娥二号”绕月作圆周运动，由万有引力提供向心力有2GMm = mJ可得v= J GM- （M为月球质量），它们的轨道半径分R1=1900Km、 RRRR2=1800Km,则 V1：V2 =【答案】C6、（2009年全国卷II第26题）.如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在 P 点正下方一球形区域内储藏有石油， 假定区域周围岩石均匀分布，密度为p石油 密度远小于p,可将上述球形区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力 加速度（正常值）沿竖直方向，当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向 会

9、与正常情况有微小偏高，重力回速度在原竖直方向（即 PO方向）上的投影相 对于正常值的偏离叫做 重力加速度反常为了探寻石油区域的位置和石油储 量，常利用P点到附近重力加速度反常现象，已知引力常数为G（1）设球形空腔体积为V,球心深度为d （远小于地球半径），玩=乂求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在 6与k6（k>1） 之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为 L的范围的中心，如果这种反 常是于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积P八d【解析】（1）如果将近地表的球形空腔填满密度为 P的岩石，则该地区

10、重力加速 度便回到正常值。因此，重力加速度反常可通过填充后的球形区域产生的附加引力GMmnmAg来计算，式中的m是Q点处某质点的质量，M是填充后r球形区域的质量，M = W 而r是球形空腔中心O至Q点的距离r =、d2 +x2 Ag在数值上等于由 于存在球形空腔所引起的 Q点处重力加速度改变的大小。Q点处重力加速度改 变的方向沿 OQ方向，重力加速度反常 Ag'是这一改变在竖直方向上的投影g' = dAg 联立以上式子得rG ：Vd22、3/2 ,(d x )G PV由式得，重力加速度反常&g '的最大值和最小值分别为（Ag ）max= d（饨焉=就冷由题设有9

11、g,篇=通（时焉4 联立以上式子得，地下球形空腔球心的深度和空腔的体积分别为Lk2/3 -1,V =LkG ：(k2/3-1)【答案】（1）G Vd(2)d,Vk2/3 -1L2k、.GD(k2/3 -1)之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）- * 一式中Te=1年rE=1天文单位7、（2009年天津卷第12题）.2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了 银河系中央的黑洞 人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一 星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为 9.50x 102天文单位（地球公 转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得

12、 到S2星的运行周期为15.2年。（1）若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50M102天文单位的圆轨道，试估算人马 座A*的质量Ma是太阳质量Ms的多少倍（结果保留一位有效数字）；（2）黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，具具有的 动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为Ep=-G Mm （设粒子在离黑洞无限远处的势能为零），式中M、 R分别表示黑洞的质量和半径。已知引力常量G=6.7m 10-11N-m2 3/2(d x )/kg2,光速c=3.0M108m/s,太阳质量 Ms=2.0M 10设地球质量为mE,公转轨道半

13、径为rE,周期为Te,则GM¥ = mE02rE0kg,太阳半径 Rs=7.0108m,不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座 A*的半径Ra与太阳半径Rg【解析】（1） S2星绕人马座A做圆周运动的向心力由人马座 A对S2星的万有 引力提供，设S2星的质量为mS2,角速度为以周期为T,则MAmS2代入数据可得MA =4 106Ms(2)引力对粒子作用不到的地方即为无限远，此时料子的势能为零。处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，具具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束 缚”，说明了黑洞表面处以光速运动的粒子在远离黑洞的过程中克服引力做功， 粒子在到达无限远之前，其动能

14、便减小为零，此时势能仍为负值，则其能量总和 小于零，则有 !mc2-G<02R依题意可知R=Ra, M=Ma可得代入数据得Ra2GM a：2_10RA < 1.2 1010mA17【答案】(1) 4X106 , (2) <178.(06天津理综25)神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑 洞的方案之一是观测双星系统的运动规律.天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX3双星系统，它由可见星 A和不可见的暗星 B构成.两星 视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运 动，它们之间的距离保持不变，如图所示.引力常量为G由观测能够得

15、到可见星A的速率v和运行周期T.(1)可见星A所受日§星B的引力Fa可等效为位于O点处质量为m'的星体(视 为质点)对它的引力，设A和B的质量分别为m、m,试求m'(用m、m表示)；(2)求暗星B的质量m与可见星A的速率v、运行周期T和质量m之间的关 系式：(3)恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量 m的2倍，它将有可能成为黑 洞.若可见星A的速率v=2.7 x 105m/s,运行周期T=4.7冗x 104s,质量m=6 m, 试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？(G=6.67 x 10-11 N 02/ kg2, m=2.0 乂 1030 kg)【解析】(1)设

16、A、B的圆轨道半径分别为ri、2,由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为.由牛顿运动定律，有FA=m 2r iFB=m2 2r 2Fa=Fb设A、B之间的距离为r,又r =ri+2,由上述各式行m1m2 .rlm2由万有引力定律，有FA=Gmm r3将代入得F=Gm(mi m2)2 ri2令 FA=Gmim' ri比较可得m'=3m2(mi m2)22 由牛顿第二定律，有Gm3 = m, rirl又可见星A的轨道半径一二三27r33T由式解得一m2- =(mi +m2)2 tG(3)将m=6 ms代入式，得33丁m2_ v T(6ms m2)22兀 G代入数据得3m

17、2(6ms m?)2 = 3.5 ms设m2=nm( n > 0),将其代入式,得3m22(6ms m2)n人 ms = 3.5 ms62L I)2n可见,3m2(6ms m2)2的值随n的增大而增大，试令n=2,(6 1)ms =0.125ms ： 3.5 ms2n若使式成立，则n必大于2,即暗星B的质量m必大于2m,由此得出结论：暗星B有可能是黑洞.3【答案】(1) m2 2(mi m2)m；_ v3T(m1 m2)22兀 G(3)暗星B有可能是黑洞9. (2008高考全国理综2卷第25题，20分)我国发射的“嫦娥一号”探月卫星 沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息

18、，让卫星轨道平面 缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。 设地球和月球的质量分 别为M和m,地球和月球的半径分别为 R和Ri,月球绕地球的轨道半径和卫星 绕月球的轨道半径分别为r和ri,月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月 运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面， 求在该周期内卫星发射的微 波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间 (用M、m、R、Ri、r、ri和T表示, 忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响)。【解析】如图，O和O'分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上， A是地 月连心线OO'与地月球面的公切线ACD的交点，D、C和B分别是该公切线与 地

19、球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。根据对称性，过A点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于E点。卫星在BE弧上运动时发出的信号被遮挡。设探月卫星的质量为m0,万有引力常量为G,根据万有引力定律有Mm-2-rMm02-1=m()2r/2 二、2= mo() r1T1式中，T1是探月卫星绕月球转动的周期。由式得T1 2 M r1 3(二)=(1)T m r设卫星的微波信号被遮挡的时间为t ,则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有tTi =式中，口 =NCO A,P =/COB。由几何关系得r cos: = R - R|r1 cos - - R由式得t =T冗叫(arccosR - 3mrR1 ar

20、ccosB) r110. (2010上海物理24).如图，三个质点a、b、c质量分别为m1 >m2、M(M L mi,M _ m2).在C的万有引力作用下，a、b在同一平面内绕c沿逆时针则它们的周期之比方向做匀速圆周运动，轨道半径之比ra:rb=1：4,;从图示位置开始，在b运动一周的过程中,a、b、c共线了Ta : Tb =【解析】根据G萼=mr4二 2 /曰 丁 Fr ,得丁 二GM,所以工Tb在b运动一周的过程中， 解法1。物理情境分析法a运动8周，a、b、c共线了多少次。在a运动第1周的时间内，b运动了 1周，如下左图，a与b共线1次,8bl在a运动第2到第4周的时间内，b运动了

21、 3周，a每周与b共线2次，在a运8动第5周的时间内，b运动了 1周，如上中图，也是共线1次，在a运动第6到8第8周的时间内，b运动了 3周，a每周与b共线2次，（上右图是第8周）。所8以从图示位置开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了 14次。解法2。计算法设从图示位置开始，在时间t内a转过的角度为生，则3=8 / =2t ；在时间t Ta内b转过的角度为*,则为=%t = 2" t。因为Ta = 1 ,不妨设Ta =1,贝UTb =8, TbTb 8所以有工=2Q , 0b =-t ,转换为角度为10a =360t , ¥ =45t ,要求从图示位置 4开始，则从

22、图示位置开始计时，因为沿逆时针方向a在b前550 （笔者按原图用量角器量的），所以应该是9a = 360t +55 ,求在b运动一周的过程中，a、b、c 共线了 次，即” “ =180n ,将19a =360t+55和，=45t代入并整理得:3611并且0 :二t .三8一 n -6363 为保险起见，我逐次计算,25 一 一 n=1,t1=0.40,63n=2, t2 = = 0.97 , 63在a运动的第1周，a、b、c共线了 2次;_97. _.n=3, t3 = 1.54 ,63在a运动的第2周，a、b、c共线了 1次;133 n=4, t4 =2.11,63169 n=5, t

23、67; = = 2.68 ,63在a运动的第3周，a、205n=6, t6=3.25,63241n=7, t7 =丝=3.83, 63在a运动的第4周，a、c 277n=8, t8 = 4.40,63n=9, t9 =313 =4.97, 63在a运动的第5周，a、349 n=10, 305.54 ,63在a运动的第6周，a、385 一 n=11, 3 =空=6.11,63421n=12, t12 = 421 =6.68 ,63在a运动的第7周，a、457 八 n=13, 5 =也=7.25,63 493 n=14, 3 =7.83,63在a运动的第8周，a、b、c共线了 2次;b、c共线了

24、2次;b、c共线了 2次;b、c共线了 1次;b、c共线了 2次;b、c共线了 2次;529n=15, t15 =529=8.40 > 8,不再计算。63a、b、c共线了 14次综上，从图示位置开始，在 b运动一周的过程中, 本题考查万有引力和圆周运动。难度：难。难在以前白题目从a、b共线开始，在b运动一周的过程中，a、b、c共线了 16 次，本题开始时刻a、b不共线，所以少了 2次，为14次。解法3。公式法设经过时间t , a、b、c共线1次，则6at -8bt =冗，因为=空，且£ =1 TTb 8所以0a =8-，b ,所以在时间Tb内a、b、c共线次数为n = 一 =14。【答案】1:8,14进一步研究，a、b、c共线次数是否与初始位置有关，有什么关系？之前，我们看到过这样的题，初始位置 a、b、c在一条线上，如下图贝肝艮据露一 eb =180n ,将19a =360t和9b =45t代入并整理得：t = 36 n63且0 <t <80所以n/、变。a、b、c共线的时间（时刻）分别是:8 s75612162024丁,28323640尸丁, Vs4448527s, 7S, 3s,其中在a运动的第1周,a、b、c共线1次（