清华大学计算固体力学第八次课件_单元技术

1、非线性有限元非线性有限元第第8 8章章 单元技术单元技术 计算固体力学计算固体力学第第8 8章章 单元技术单元技术 1 1引言引言2 2单元性能单元性能3 3单元性质和分片试验单元性质和分片试验4 4Q4Q4和体积自锁和体积自锁5 5多场弱形式和单元多场弱形式和单元6 6多场四边形剪切自锁多场四边形剪切自锁7 7一点积分单元沙漏一点积分单元沙漏面对问题，如何选择单元？面对问题，如何选择单元？各种单元有什么特点？各种单元有什么特点？如何应用？如何应用？1 引言引言 发展单元技术是使单元具有更好的性能，如大规模计算和不可发展单元技术是使单元具有更好的性能，如大规模计算和不可压缩材料。压缩材料。 当

2、应用于不可压缩材料的计算时，低阶单元趋向于当应用于不可压缩材料的计算时，低阶单元趋向于体积自锁体积自锁。在体积自锁中，通过大的因数不能预测位移：相对于其它合理的网在体积自锁中，通过大的因数不能预测位移：相对于其它合理的网格，一个过小量级的位移导致不寻常的结果。格，一个过小量级的位移导致不寻常的结果。 尽管在线性应力分析中很少是不可压缩材料，而在非线性中，尽管在线性应力分析中很少是不可压缩材料，而在非线性中，许多材料行为是接近于不可压缩的性质。例如：橡胶、肌肉细胞许多材料行为是接近于不可压缩的性质。例如：橡胶、肌肉细胞是不可压缩的；是不可压缩的；MisesMises弹弹- -塑性材料的塑性行为是

3、不可压缩的，塑性材料的塑性行为是不可压缩的，任任何体积自锁的单元均不能很好地计算何体积自锁的单元均不能很好地计算MisesMises材料材料。 在非线性有限元中，有效地处理不可压缩材料的能力是非常在非线性有限元中，有效地处理不可压缩材料的能力是非常重要的。然而，当应用于不可压缩或者接近于不可压缩材料时，重要的。然而，当应用于不可压缩或者接近于不可压缩材料时，大多数单元具有一定的弱点。选择单元时，掌握这些弱点以及对大多数单元具有一定的弱点。选择单元时，掌握这些弱点以及对它们的补救措施是至关重要的。它们的补救措施是至关重要的。1 引言引言 对于大规模计算，对于大规模计算，应用不完全积分以加快单元计

4、算应用不完全积分以加快单元计算。对于三维问题，。对于三维问题，将不完全与完全积分比较，产生了计算成本减少将不完全与完全积分比较，产生了计算成本减少8 8阶的效果。然而，不阶的效果。然而，不完全积分需要单元的稳定性。在大规模计算中它是普遍存在的。从理论完全积分需要单元的稳定性。在大规模计算中它是普遍存在的。从理论上它是有根据的并且能够结合多场的概念以获得高精度的单元。上它是有根据的并且能够结合多场的概念以获得高精度的单元。 为了消除体积自锁，可以采用两种方法：为了消除体积自锁，可以采用两种方法：1 1 多场单元多场单元，这里压力或者应力和应变场都可以作为非独立的变量。，这里压力或者应力和应变场都

5、可以作为非独立的变量。2 2 减缩积分程序减缩积分程序，这里弱形式的某些项是采用不完全积分。，这里弱形式的某些项是采用不完全积分。 多场单元是基于多场弱形式或者变分原理；即多场单元是基于多场弱形式或者变分原理；即混合单元和杂交单元混合单元和杂交单元。除了位移，还要考虑变量诸如应力或应变作为非独立变量，并且是位移除了位移，还要考虑变量诸如应力或应变作为非独立变量，并且是位移的独立插值，所设计的应变或者应力场能够避免体积自锁。附加的变量的独立插值，所设计的应变或者应力场能够避免体积自锁。附加的变量事实上是事实上是LagrangeLagrange乘子，它们能够约束诸如不可压缩，以便于更有效地乘子，它

6、们能够约束诸如不可压缩，以便于更有效地解决问题。解决问题。 1 引言引言 许多关于混合法的文章似乎给予这样的印象，对于单一场单许多关于混合法的文章似乎给予这样的印象，对于单一场单元，混合单元是具有先天优势的，但是，对于这一说法尚无令人元，混合单元是具有先天优势的，但是，对于这一说法尚无令人信服的证据。而可参考的证据是在没有约束的情况下，混合单元信服的证据。而可参考的证据是在没有约束的情况下，混合单元的的收敛速度收敛速度绝不可能超过相应的单一场单元的收敛速度。因此，绝不可能超过相应的单一场单元的收敛速度。因此，应用混合单元能够实现的唯一目标是避免自锁应用混合单元能够实现的唯一目标是避免自锁，并改

7、善所选择某，并改善所选择某种类型问题的行为，诸如梁弯曲。种类型问题的行为，诸如梁弯曲。 在某些情况下，对于梁弯曲或者其它特殊问题，在某些情况下，对于梁弯曲或者其它特殊问题，需要设计需要设计应应变或者应力场取得更好的精度。混合单元可以改善单元的能力，变或者应力场取得更好的精度。混合单元可以改善单元的能力，仅适用于约束介质或者特殊类型的问题。当没有约束时，混合法仅适用于约束介质或者特殊类型的问题。当没有约束时，混合法不能改善一个单元的一般性能。不能改善一个单元的一般性能。1 引言引言 本章首先描述了在模拟连续体中广泛应用的许多单元的特性，本章首先描述了在模拟连续体中广泛应用的许多单元的特性，仅限于

8、那些基于二阶或者低于二阶的多项式表示的单元，因为在仅限于那些基于二阶或者低于二阶的多项式表示的单元，因为在非线性分析中目前很少应用高阶单元。非线性分析中目前很少应用高阶单元。 定义了若干术语，诸如一致性、多项式完备性和再造条件。定义了若干术语，诸如一致性、多项式完备性和再造条件。对于在线性问题中的各种单元，给出了收敛率。对于非线性问题，对于在线性问题中的各种单元，给出了收敛率。对于非线性问题，基于结果的光滑性以检验这些结果的内涵。基于结果的光滑性以检验这些结果的内涵。 忽略了升阶谱单元和忽略了升阶谱单元和P P单元，它们在非线性分析中极少应用。单元，它们在非线性分析中极少应用。 P P单元（单

9、元（PolynomialPolynomial），增加单元基底函数的阶次，改善计算），增加单元基底函数的阶次，改善计算精度，如多项式插值函数。精度，如多项式插值函数。 升阶谱单元，属于升阶谱单元，属于P P单元，由常规的位移协调元逐渐增加附加单元，由常规的位移协调元逐渐增加附加自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。自由度，以不违反位移连续条件的逐次升幂多项式为基底函数。1 引言引言 分片试验（分片试验（patch testpatch test） 对于一个单元理论的可靠性和它的程序的正确性，重要的是试对于一个单元理论的可靠性和它的程序的正确性，重要的是试验。分片试验可以用于检验单

10、元是否收敛、是否避免了自锁和是否验。分片试验可以用于检验单元是否收敛、是否避免了自锁和是否稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。稳定。有各种形式的分片试验，可以应用于静态和显式问题。 将展示单元的正确的秩和亏损的秩的概念。将展示单元的正确的秩和亏损的秩的概念。 为了说明单元技术，以为了说明单元技术，以4 4节点等参四边形单元（节点等参四边形单元（Q4Q4）为例。对）为例。对于没有任何修正的可压缩材料，这种单元是收敛的。但是，对于于没有任何修正的可压缩材料，这种单元是收敛的。但是，对于不可压缩和接近不可压缩的材料，这种单元自锁。不可压缩和接近不可压缩的材料，这种单元自锁。1 引言

11、引言 将描述某些主要的将描述某些主要的多场弱形式多场弱形式和他们在单元发展中的应用。和他们在单元发展中的应用。第一个多场变分原理是第一个多场变分原理是Hellinger-ReissnerHellinger-Reissner的应力和位移的二的应力和位移的二场变分原理场变分原理，因为它不容易应用于由应变控制的本构方程中，因为它不容易应用于由应变控制的本构方程中，所以没有考虑它。所以没有考虑它。 在各种形式的在各种形式的应力、应变度量和位移应力、应变度量和位移三场弱形式上，它们三场弱形式上，它们与与Hu-WashizuHu-Washizu变分原理变分原理有关，在弱形式中，应力、应变度量和有关，在弱形

12、式中，应力、应变度量和位移是依赖于变量的，即未知场，将给出完全的位移是依赖于变量的，即未知场，将给出完全的LagrangianLagrangian形形式和变分原理的扩展。式和变分原理的扩展。2 单元性能单元性能 在二维问题中，最在二维问题中，最经常应用的低阶单元是经常应用的低阶单元是 3 3节点三角形和节点三角形和4 4节点四节点四边形。边形。 在三维单元中，是在三维单元中，是 4 4节点四面体和节点四面体和8 8节点六节点六面体单元。面体单元。 三角形和四面体单元的位移场是线性的，位移场和速度场的三角形和四面体单元的位移场是线性的，位移场和速度场的梯度是常数。四边形和六面体单元的位移场分别是

13、双线性和三线梯度是常数。四边形和六面体单元的位移场分别是双线性和三线性的，并且应变是常数和线性项的组合；应变不是完全线性的。性的，并且应变是常数和线性项的组合；应变不是完全线性的。所有这些单元都可以精确地复制一个线性位移场和一个常数应变所有这些单元都可以精确地复制一个线性位移场和一个常数应变场。因此，它们满足标准分片试验。场。因此，它们满足标准分片试验。2 单元性能单元性能 最简单的二维单元是最简单的二维单元是3 3节点三角形，在三维中是节点三角形，在三维中是4 4节点四面节点四面体。他们是体。他们是单纯单元单纯单元，单纯指在，单纯指在n n维中是一组维中是一组n+1n+1个节点。个节点。对于

14、对于不可压缩材料，这两种单元表现很差。不可压缩材料，这两种单元表现很差。 在平面应变问题中，在平面应变问题中，三角形单元表现为严重的自锁三角形单元表现为严重的自锁。注意：。注意：体积自锁不发生在平面应力问题中体积自锁不发生在平面应力问题中，对于平面应力，可以改变，对于平面应力，可以改变单元的厚度以适应不可压缩材料。单元的厚度以适应不可压缩材料。 对于不可压缩和接近于不可压缩材料，四面体单元自锁。对于不可压缩和接近于不可压缩材料，四面体单元自锁。 对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，对于完全不可压缩或接近不可压缩的材料，运动是等体积的运动是等体积的 iixvJJJDtDJvdiv0J = 1e

15、devijdevijiiduKW2,212int式中式中K K是体积模量，是体积模量， 是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元的整个体积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体的整个体积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体积的。否则，当积的。否则，当K K是一个非常大的数时（一个接近于不可压缩材是一个非常大的数时（一个接近于不可压缩材料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。 内部节点力的完全积分可能引起单元的自锁，即出现很小的内部节点力的完全积分可能引起单元的自锁，即出现很小的位移而且不收敛或收敛得非

16、常慢。位移而且不收敛或收敛得非常慢。考虑一个线性材料，如果分解考虑一个线性材料，如果分解线性弹性应变能为静水和偏量部分，可以写为线性弹性应变能为静水和偏量部分，可以写为2 单元性能单元性能 为了克服这个困难，最容易的方法是使用局部减缩积分。在局为了克服这个困难，最容易的方法是使用局部减缩积分。在局部减缩积分中，压力为不完全积分，而应力矩阵的其余部分为完全部减缩积分中，压力为不完全积分，而应力矩阵的其余部分为完全积分。为此，将应力张量分解为静水部分和偏斜部分积分。为此，将应力张量分解为静水部分和偏斜部分ijhyddevijij 体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运动。体积自锁源于单元没

17、有能力准确地表示一个等体积运动。为了为了消除自锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中整个单元的膨消除自锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中整个单元的膨胀为零，运动是等体积的。胀为零，运动是等体积的。 pkkhyd31ijhydijdevij2 单元性能单元性能 局部减缩积分包含在偏斜功率上的局部减缩积分包含在偏斜功率上的完全积分完全积分和在膨胀功率上的和在膨胀功率上的减缩积分减缩积分。对于一个。对于一个4 4节点四边形单元内力的局部减缩积分表达式为节点四边形单元内力的局部减缩积分表达式为 41intint,QQdevjiQjIQQiIi ITiINJwpNJff0002 单元性能单元性能

18、 通过对单元采用特殊的排列，可以避免通过对单元采用特殊的排列，可以避免单纯单元单纯单元的体积自锁。的体积自锁。例如，三角形的交叉对角排列消除了自锁，如图例如，三角形的交叉对角排列消除了自锁，如图(a)(a)所示。但是，所示。但是，这种网格类似于划分四边形的网格，失去了三角形网格划分的优越这种网格类似于划分四边形的网格，失去了三角形网格划分的优越性。进一步说，当中心节点没有恰好位于对角线的交叉点上，如图性。进一步说，当中心节点没有恰好位于对角线的交叉点上，如图(b)(b)所示，交叉对角网格自锁。在大位移问题中，如此构形总是在所示，交叉对角网格自锁。在大位移问题中，如此构形总是在发展。另外，交叉对

19、角网格不满足发展。另外，交叉对角网格不满足LBBLBB稳定性条件（约束体积自锁，稳定性条件（约束体积自锁，可能带来压力不稳定），压力振动是可能发生的。可能带来压力不稳定），压力振动是可能发生的。 在其它状态下，单纯在其它状态下，单纯单元也显示出单元也显示出刚性行为刚性行为，如梁弯曲。刚性行为是收如梁弯曲。刚性行为是收敛的，对于粗糙的网格表敛的，对于粗糙的网格表现出很差的精度。现出很差的精度。 尽管刚性行为不像自尽管刚性行为不像自锁那么有害，还是不受欢锁那么有害，还是不受欢迎的，它的出现意味着必迎的，它的出现意味着必须须采用非常细划的网格才采用非常细划的网格才能获得合理的精度能获得合理的精度。2

20、 单元性能单元性能 2 单元性能单元性能 线性单元线性单元CPS4CPS4和和C3D8C3D8的挠度值远远低于理论值，其结果不可的挠度值远远低于理论值，其结果不可用。粗糙的网格使结果精度降低。即使用。粗糙的网格使结果精度降低。即使8 82424的网格，精度只有的网格，精度只有5656。线性完全积分单元在厚度方向采用单元多少差别不大。线性完全积分单元在厚度方向采用单元多少差别不大。其原因是其原因是剪力自锁剪力自锁，剪力自锁使单元弯曲时太硬。，剪力自锁使单元弯曲时太硬。 纯 弯 曲 时 ，纯 弯 曲 时 ， 2222=0=0 , 1212=0=0，而，而这里这里1212不为零，不为零，引引起伪剪应

21、力的原因起伪剪应力的原因是是线性单元的边不线性单元的边不能弯曲，应变能引能弯曲，应变能引起剪切变形，而不起剪切变形，而不是弯曲变形。是弯曲变形。 二次单元没有剪切自二次单元没有剪切自锁问题，其边界会弯曲。锁问题，其边界会弯曲。2 单元性能单元性能 4 4节点四边形和节点四边形和8 8节点六面体分别比节点六面体分别比3 3节点三角形和四面体更为精节点三角形和四面体更为精确。当完全积分时，对于四边形为确。当完全积分时，对于四边形为2 2 2 2积分，六面体为积分，六面体为2 2 2 2 2 2积分。积分。对于不可压缩材料，这些单元也发生自锁，在梁弯曲中它们趋向于对于不可压缩材料，这些单元也发生自锁

22、，在梁弯曲中它们趋向于刚性行为。刚性行为。 在这些单元中，通过在这些单元中，通过减缩积分减缩积分可以避免体积自锁，即每个方向可以避免体积自锁，即每个方向少用一个积分点，或者采用少用一个积分点，或者采用选择减缩积分选择减缩积分，在体积项上采用一点积，在体积项上采用一点积分，在偏量项上采用完全积分。分，在偏量项上采用完全积分。 2 单元性能单元性能 当应用当应用4 4节点四边形和节点四边形和8 8节点六面体单元模拟弯曲构件时，节点六面体单元模拟弯曲构件时，在厚度方向至少应采用在厚度方向至少应采用4 4个单元。当只有个单元。当只有1 1个线性减缩积分单元个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于中性轴

23、上，从而该模型不能承受弯曲时，所有的积分点都位于中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷载荷( (见表中的见表中的* *号项号项) )。2 单元性能单元性能 4 4节点四边形和节点四边形和8 8节点六面体单元的不完全积分、选择减缩积分节点六面体单元的不完全积分、选择减缩积分和多场形式都被一个主要的缺陷困扰着：和多场形式都被一个主要的缺陷困扰着：在压力场下，它们表现出在压力场下，它们表现出空间的不稳定性空间的不稳定性LBBLBB条件条件。压力常常是振荡的，在压力下的振荡。压力常常是振荡的，在压力下的振荡图形是已知的图形是已知的棋盘模式棋盘模式。棋盘模式有时是无害的：如。棋盘模式有时是无害的：如Mis

24、esMises弹塑性弹塑性定律控制的材料，其应变率是独立于压力的，若发生弹性应变的误定律控制的材料，其应变率是独立于压力的，若发生弹性应变的误差，压力振荡几乎是无害的。差，压力振荡几乎是无害的。尽管如此，它仍然是不受欢迎的。尽管如此，它仍然是不受欢迎的。 通过过滤或者借助粘性，可以避免棋盘模式。使用者必须意识通过过滤或者借助粘性，可以避免棋盘模式。使用者必须意识到这些单元出现棋盘模式的可能性。对于基于多场变分原理的绝大到这些单元出现棋盘模式的可能性。对于基于多场变分原理的绝大多数单元，在应力中发生振荡是可能的。多数单元，在应力中发生振荡是可能的。压力场的稳定性性质与LBBLBB条件有关，L L

25、代表Ladezhvanskaya(1968)。这个条件对于假设应力和应变场强制了严格的约束。关于这一理论可以在Bathe(1996)中读到。2 单元性能单元性能 四边形最快的计算形式是不完全积分，四边形最快的计算形式是不完全积分，一点积分单一点积分单元元：它通常比：它通常比选择减缩积分选择减缩积分四边形单元的速度快四边形单元的速度快3 3到到4 4倍。倍。在三维中，速度提高在三维中，速度提高6 68 8个数量级。个数量级。 一点积分单元也遭受压力振荡，另外在位移场中出一点积分单元也遭受压力振荡，另外在位移场中出现不稳定性。这些不稳定性有各种名称：沙漏、梯形、现不稳定性。这些不稳定性有各种名称：

26、沙漏、梯形、运动模式、伪零能量模式和铁丝网等。这些模式可以十运动模式、伪零能量模式和铁丝网等。这些模式可以十分有效地得到控制，收敛率没有降低，所以，对于许多分有效地得到控制，收敛率没有降低，所以，对于许多大型计算，带有沙漏控制的一点积分是非常有效的。大型计算，带有沙漏控制的一点积分是非常有效的。沙漏模式沙漏模式 例如受弯矩例如受弯矩M M的减缩积分线性单元的变形，的减缩积分线性单元的变形，单元中虚线的长度单元中虚线的长度没有改变，它们之间的夹角也没有改变，这意味着在单元单个积没有改变，它们之间的夹角也没有改变，这意味着在单元单个积分点上的所有应力分量均为零。由于单元变形没有产生应变能，分点上的

27、所有应力分量均为零。由于单元变形没有产生应变能，这种弯曲的变形模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没这种弯曲的变形模式是一个零能量模式。由于单元在此模式下没有刚度，所以单元不能抵抗这种形式的变形。在粗糙的网格中，有刚度，所以单元不能抵抗这种形式的变形。在粗糙的网格中，这种零能量模式会在网格中扩展，从而产生无意义的结果。这种零能量模式会在网格中扩展，从而产生无意义的结果。2 单元性能单元性能 线性的减缩积分单元由于存在来自本身的所谓线性的减缩积分单元由于存在来自本身的所谓沙漏沙漏(hourglassing)数值问题而过于柔软。数值问题而过于柔软。 沙漏模式沙漏模式 2 单元性能单元性能 在在

28、ABAQUSABAQUS中，对减缩积分单元引入少量的人工中，对减缩积分单元引入少量的人工“沙漏刚度沙漏刚度”以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种以限制沙漏模式的扩展。当模型中应用更多的单元时，这种“刚刚度度”限制沙漏模式是更有效的。这说明只要采用合理的精细网格，限制沙漏模式是更有效的。这说明只要采用合理的精细网格，线性减缩积分单元会给出可接受的结果，所产生的误差是在一个线性减缩积分单元会给出可接受的结果，所产生的误差是在一个可接受的范围内。可接受的范围内。 当应用这类单元模拟弯曲构件时，在厚度方向至少应采用当应用这类单元模拟弯曲构件时，在厚度方向至少应采用4 4个单元。当只有个

29、单元。当只有1 1个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于个线性减缩积分单元时，所有的积分点都位于中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷中性轴上，从而该模型不能承受弯曲载荷( (见表见表4-24-2中的中的* *号项号项) )。 线性减缩积分单元对变形的要求不严格，因此可在变形较大线性减缩积分单元对变形的要求不严格，因此可在变形较大的任何模拟中采用划分较细的此类单元。的任何模拟中采用划分较细的此类单元。2 单元性能单元性能 在大变形问题中，当边界中间的节点有明显地移动时，这些单在大变形问题中，当边界中间的节点有明显地移动时，这些单元的性能退化；高阶单元令人苦恼的缺陷是扭曲，它们的收敛率明元的性能

30、退化；高阶单元令人苦恼的缺陷是扭曲，它们的收敛率明显地下降，当过度扭曲时，计算程序常常中止。显地下降，当过度扭曲时，计算程序常常中止。 对于不可压缩材料，对于不可压缩材料，6 6节点三角形不满足节点三角形不满足LBBLBB条件。在一个线性条件。在一个线性压力场作用下，由多场变分原理建立的压力场作用下，由多场变分原理建立的9 9节点四边形单元节点四边形单元满足满足LBBLBB条条件，并且不发生自锁。到目前为止，件，并且不发生自锁。到目前为止，对于不可压缩材料，这是唯一对于不可压缩材料，这是唯一没有缺陷行为的单元没有缺陷行为的单元。 应用应用LagrangianLagrangian网格，高阶单元不

31、能很好地适用于动态或者大网格，高阶单元不能很好地适用于动态或者大变形问题。难以建立很好的对角质量矩阵。在大变形问题中，这些变形问题。难以建立很好的对角质量矩阵。在大变形问题中，这些单元经常失效，并且比低阶单元更迅速地破坏精度，因为单元经常失效，并且比低阶单元更迅速地破坏精度，因为JacobianJacobian行列式在积分点上可以很容易地成为负值。行列式在积分点上可以很容易地成为负值。是否可以这样质疑有限元：是否可以这样质疑有限元： 两端固定边界条件，是否可以应用单两端固定边界条件，是否可以应用单一线性梁单元建立模型，如果不能，即为一线性梁单元建立模型，如果不能，即为“有限元的尴尬有限元的尴尬

32、”？2 单元性能单元性能 3 单元性质和分片试验单元性质和分片试验 对于检验单元公式的可靠性以及它们的完备性和稳定性，分片试验是极为有用的。 标准分片试验是检验位移场多项式的完备性，即单元再造一个指定阶数多项式的能力。另外，试验检查编程和程序。有时候单元是正确的，但是失败于分片试验，其原因是编程的错误。 在标准分片试验中，采用的单元必须是歪斜的，因为矩形单元可以满足分片试验，而任意的四边形单元不一定满足。绝对不能施加体积力，材料性质必须是均匀的线弹性。 3 单元性质和分片试验单元性质和分片试验 标准分片试验的意义在于它证明了再造条件。当一个精确解是在有限元近似的子空间中，有限元解答必须对应于精

33、确解。公式(8.3.1)是线弹性问题的精确解，证明如下：由于应变是常数，并且材料性质均匀，则应力是常数。由于没有体力，平衡方程是精确满足的。由于线弹性解答是唯一的，所以(8.3.1)是精确解。 yxuyxuyyyyxxxx210210 xx jijiixu0 x(8.3.1)二维二维一般意义一般意义4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元Q4单元的各种性质，在当前构形和母单元之间的运动映射为单元的各种性质，在当前构形和母单元之间的运动映射为iiIIixNtxNx,四个等参形状函数的行矩阵四个等参形状函数的行矩阵 4321,NNNNNIN 4 , 1),1)(1 (41),

34、()(INNIIIIxi，i = 1到到2，是节点坐标的列矩阵，是节点坐标的列矩阵 Txxxx43211, xxTyyyy43212, yx4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元位移和速度位移和速度 iiIIiuNuNuiiIIivNvNv变形率场变形率场 BvyIxIxIyIyIxIxyyxvvNNNNDDD,0,0,2单元单元Jacobian行列式行列式 41323214123434214231312481yxyxyxyxyxyxJ,yxyxJ单元单元Jacobian行列式在母单元原点处的值行列式在母单元原点处的值 48142313124AyxyxJ4 Q4和体积自

35、锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元 xyyxTbbb00b0B在母单元坐标系的原点，在母单元坐标系的原点，B矩阵可以表示为矩阵可以表示为 134231241,21,yyyyAxTTxNbb312413422,21,xxxxAyTTyNbb 对于不可压缩或者接近于不可压缩的材料，当完全积分时，Q4在平面应变中发生自锁。 4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元 对于不可压缩材料的运动必须是等体积的，即对于不可压缩材料的运动必须是等体积的，即 J=1 以率形式以率形式 0J它是等价于它是等价于0, iiv 对于对于Q4，给出体积自锁的两种解释。首先是不可压缩材料，

36、给出体积自锁的两种解释。首先是不可压缩材料，然后扩展到接近于不可压缩材料。然后扩展到接近于不可压缩材料。 矩形单元的网格，两边固定；仅显示了部分网格矩形单元的网格，两边固定；仅显示了部分网格4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元考虑单元考虑单元1，仅可能非零的节点速度是在，仅可能非零的节点速度是在3点点bvavyx2313K是任意值是任意值 单元单元 1 的所有其它节点速度必须为零以满足边界条件。的所有其它节点速度必须为零以满足边界条件。对于一个任意的运动，其膨胀率为对于一个任意的运动，其膨胀率为yyTxxTyTyxTxyyxxiihhvvD,vvvbvbbbbbabT

37、x21baaaaabTy21b111141T节点节点3的速度给出的速度给出2/1xTxvb，2/2yTyvb所以，膨胀率的常数项是非零的，除非所以，膨胀率的常数项是非零的，除非21因此，因此，一个等体积运动需要一个等体积运动需要膨胀率为零膨胀率为零，即，即214 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元当当21 yxahbhDxyii2,41 其中其中 byyaxx/,/只有沿着直线只有沿着直线xy 上式才为零！上式才为零！ 尽管单元的运动是一个常数体积运动，除了在该直线上，膨胀尽管单元的运动是一个常数体积运动，除了在该直线上，膨胀率是处处非零。为了满足在整个单元中的等体积运

38、动，率是处处非零。为了满足在整个单元中的等体积运动， 必须为零，必须为零，并且节点并且节点3 3不能移动。不能移动。 如果节点如果节点3 3不能移动，在单元不能移动，在单元2 2的左侧，则由节点的左侧，则由节点2 2和和3 3提供了刚提供了刚性边界，并且对于单元性边界，并且对于单元2 2，重复这些讨论可以证明节点，重复这些讨论可以证明节点6 6是不能移动是不能移动的。这一讨论则可以对网格中的所有单元重复，以证明所有节点的的。这一讨论则可以对网格中的所有单元重复，以证明所有节点的速度必须为零。即速度必须为零。即有限元模型自锁有限元模型自锁。这一讨论也适用于歪斜单元。这一讨论也适用于歪斜单元。 4

39、 Q4和体积自锁和体积自锁Q4-4节点四边形单元节点四边形单元另一种检验的方法是考虑单元的双线性速度场另一种检验的方法是考虑单元的双线性速度场 膨胀率给出为膨胀率给出为yyxxyxyyxxiihhvvD,3321通过在整个单元域上积分膨胀率，计算一个单元面积的变化通过在整个单元域上积分膨胀率，计算一个单元面积的变化eyyxxyxeiidAhhdAD,3321021AdADyxeii线性分量线性分量 双线性项积分为零，其导数正交于常数场双线性项积分为零，其导数正交于常数场h证明对于任意的等体积速度场，证明对于任意的等体积速度场，12xy保持单元面积为常数的运动的膨胀率则是保持单元面积为常数的运动

40、的膨胀率则是 是必要的是必要的 yyxxiihhD,33设上式结果为零，以反映等体积运动，设上式结果为零，以反映等体积运动，4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元尽管所有单元的变形是保持体积不变，这一膨胀率在单元中的任何区域尽管所有单元的变形是保持体积不变，这一膨胀率在单元中的任何区域都是非零的，除非沿着曲线都是非零的，除非沿着曲线yyxxhh,33 这样，单元不能再造一个等体积运动。注意上式也证明了引起困难的一部这样，单元不能再造一个等体积运动。注意上式也证明了引起困难的一部分运动是沙漏模式，因为它保持了体积，但是在单元内的膨胀率是非零的。分运动是沙漏模式，因为它保持

41、了体积，但是在单元内的膨胀率是非零的。 这些讨论扩展到接近于不可压缩的材料中，为了简单，考虑一个线性材料。这些讨论扩展到接近于不可压缩的材料中，为了简单，考虑一个线性材料。如果分解线性弹性应变能为静水部分和偏量部分，为如果分解线性弹性应变能为静水部分和偏量部分，为 edevijdevijiiduKW2,212int式中式中K是体积模量，是体积模量， 是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元的整个体是剪切模量。在任意的等体积运动中，单元的整个体积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体积的。否则，当积将保持常数。然而，在整个单元中的运动必须是等体积的。否则，当K是是一个非常大的数时（一个接近

42、于不可压缩材料），任何非零体积应变将吸收一个非常大的数时（一个接近于不可压缩材料），任何非零体积应变将吸收所有的能量。所有的能量。4 Q4和体积自锁和体积自锁Q44节点四边形单元节点四边形单元 因此，因此，体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运体积自锁源于单元没有能力准确地表示一个等体积运动动。为了消除自锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中单。为了消除自锁，必须设计应变场，这样在假设的应变场中单元的膨胀率为零。元的膨胀率为零。 为了避免自锁，对于任意保持单元体积的速度场，在整个单为了避免自锁，对于任意保持单元体积的速度场，在整个单元的应变场必须是等体积的。特别是对于四边形单元，因为

43、这一元的应变场必须是等体积的。特别是对于四边形单元，因为这一运动是等体积的，对于沙漏模式，在整个单元中膨胀必须为零。运动是等体积的，对于沙漏模式，在整个单元中膨胀必须为零。 在平面应力单元中没有体积自锁问题。在平面应力单元中没有体积自锁问题。4 Q4和体积自锁和体积自锁应用杂交单元应用杂交单元5 5 多场弱形式和单元多场弱形式和单元 Hu-WashizuHu-Washizu 弱形式：最通用的多场弱形式是弱形式：最通用的多场弱形式是H-WH-W变分原理。变分原理。这一变分原理是在两场原理的这一变分原理是在两场原理的ReissnerReissner发展之后建立起来的，发展之后建立起来的，Helli

44、nger-ReissnerHellinger-Reissner两场原理是指两场原理是指位移位移和和应力应力是未知的两个场。是未知的两个场。在非线性分析中很少应用两场原理，因为它与应变控制的本构在非线性分析中很少应用两场原理，因为它与应变控制的本构模型是不相容的。模型是不相容的。 关于三场原理的一个有趣的轶事出现在关于三场原理的一个有趣的轶事出现在Eric Eric ReissnerReissner完成完成二场原理的工作后，二场原理的工作后，WashizuWashizu拜访了他，拜访了他，WashizuWashizu告诉他有关对告诉他有关对三场理论的发展。三场理论的发展。ReissnerReis

45、sner叙述这个故事时说：叙述这个故事时说：“我首先反对，我首先反对，因为只有应力和位移可以在问题的边界条件中出现，除了定义因为只有应力和位移可以在问题的边界条件中出现，除了定义应变应变- -位移关系之外的方式，任何考虑应变位移关系之外的方式，任何考虑应变- -位移关系都是不自位移关系都是不自然的。然而不久之后，我就被三场原理说服了，我个人认为，然的。然而不久之后，我就被三场原理说服了，我个人认为，由由WashizuWashizu和和HuHu分别独立提出的三场原理是一个我所希望的有价分别独立提出的三场原理是一个我所希望的有价值的进展。值的进展。”胡海昌胡海昌-鹫津久一郎原理鹫津久一郎原理H-W

46、三场原理包括三场原理包括速度，应变率和应力速度，应变率和应力。 kinextHWppddDvDDDDv:,05 5 多场弱形式和单元多场弱形式和单元iijjibxH-W三场原理弱形式。类似三场原理弱形式。类似UL形式。形式。动量方程动量方程*jijjtnij外力边界条件外力边界条件在在 上上.etc,Dijij本构条件本构条件 ijjiijijxvxvDD21v应变度量应变度量0ijin内部连续条件内部连续条件在在 上上int通过通过Hu-Washizu原理建立的有限元方程涉及三个张量场的近似。原理建立的有限元方程涉及三个张量场的近似。标量场的结果数目是非常之大标量场的结果数目是非常之大 。三

47、维。三维6、6、3，二维，二维3、3、2。6 6 多场四边形多场四边形 自锁的单元是没有用处的，通过假设应变的方法建立多场四自锁的单元是没有用处的，通过假设应变的方法建立多场四边形。设计速度边形。设计速度- -应变场以避免体积自锁和在弯曲中的剪切自锁。应变场以避免体积自锁和在弯曲中的剪切自锁。假设与速度假设与速度-应变场相联系的速度场是应变场相联系的速度场是 xyyxcxyyycyyxxcxxyxTxTxTyTyTyTyTxTxxyyxyyxxhqhqDhqDhqDhhhhvvvv,2,0,0,vvbbbbD上角标上角标c表示速度表示速度-应变场的常数部分。应变场的常数部分。 对于不可压缩材料

48、，具有对于不可压缩材料，具有2 2 2 2积分点的积分点的Q4Q4自锁。自锁是由于膨自锁。自锁是由于膨胀场与沙漏模式相联系。从公式看出沙漏模式导致了扩展速度应变胀场与沙漏模式相联系。从公式看出沙漏模式导致了扩展速度应变的非常数部分。的非常数部分。 在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生自在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生自锁，有两种办法。锁，有两种办法。假设速度应变避免体积自锁假设速度应变避免体积自锁6 6 多场四边形多场四边形第一种方法导致了假设速度应变为第一种方法导致了假设速度应变为 xyyxcxycyycxxhqhqDDD,2D第二种方法中，假设速度应变场

49、给出为第二种方法中，假设速度应变场给出为 xyyxcxyxxyycyyyyxxcxxhqhqDhqhqDhqhqD,2,D假设速度应变避免体积自锁假设速度应变避免体积自锁1 可以省略前两行的非常数项；可以省略前两行的非常数项；2 可以修正前两行，以使在沙漏模式中不发生体积速度应变可以修正前两行，以使在沙漏模式中不发生体积速度应变 在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生在构造一个速度应变插值时，它对于不可压缩材料将不发生自锁，有两种办法：自锁，有两种办法：6 6 多场四边形多场四边形剪切自锁和它的消除剪切自锁和它的消除 寄生寄生剪切的影响多少与剪切的影响多少与寄生寄生体积应变是有区

50、别的。体积应变是有区别的。当发生体积自锁时，结果因完全不能收敛而失败；发生伪剪切，当发生体积自锁时，结果因完全不能收敛而失败；发生伪剪切，结果收敛，但收敛的非常缓慢。因此术语结果收敛，但收敛的非常缓慢。因此术语超剪切刚度超剪切刚度可能是可能是更准确的。常常应用的术语是剪切自锁，更准确的。常常应用的术语是剪切自锁，剪力自锁使单元弯曲时剪力自锁使单元弯曲时太硬。太硬。 纯 弯 曲 时 ，纯 弯 曲 时 ， 22=0 , 12=0，而这，而这里里12不为零，不为零，引起引起伪剪应力的原因是伪剪应力的原因是线性单元的边不能线性单元的边不能弯曲，应变能引起弯曲，应变能引起剪切变形，而不是剪切变形，而不是

51、弯曲变形。弯曲变形。6 6 多场四边形多场四边形剪切自锁和它的消除剪切自锁和它的消除 在纯弯曲中力矩是常数，所以合成剪切在纯弯曲中力矩是常数，所以合成剪切0dysxy 通过平衡，通过平衡，弯矩的导数为弯矩的导数为剪力剪力，然而在弯曲时，所有的单元，然而在弯曲时，所有的单元以以x-方向的沙漏模式变形，剪切是非零的。方向的沙漏模式变形，剪切是非零的。 6 6 多场四边形多场四边形剪切自锁和它的消除剪切自锁和它的消除 为了消除剪切自锁，由于沙漏模式引起的剪切速度应变部分必为了消除剪切自锁，由于沙漏模式引起的剪切速度应变部分必须消失。这可以通过令须消失。这可以通过令公式公式中的中的 来实现。来实现。0

52、3e一个更一般形式是：一个更一般形式是： dBDTxTxTyTyTyTyTyTxTxTxhehehehehehe,312321bbbbB假设与速度假设与速度-应变场相联系的速度场是应变场相联系的速度场是 xyyxcxyyycyyxxcxxyxTxTxTyTyTyTyTxTxxyyxyyxxhqhqDhqDhqDhhhhvvvv,2,0,0,vvbbbbD 通过消除与沙漏模式有关的剪切应变，这样在弯曲中的寄生剪通过消除与沙漏模式有关的剪切应变，这样在弯曲中的寄生剪切为零。切为零。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 任何不是刚体运动的运动，并导致在单元中没有应变是一个任何不是刚体运动的

53、运动，并导致在单元中没有应变是一个伪奇异模式。伪奇异模式。 检验一点积分单元。当检验一点积分单元。当Q4Q4单元应用一点积分时，单元应用一点积分时，单元是秩不单元是秩不足的足的。对于大规模的计算，因为一点积分单元的速度和精度，它。对于大规模的计算，因为一点积分单元的速度和精度，它是受欢迎的。然而，一点积分单元要求稳定性。是受欢迎的。然而，一点积分单元要求稳定性。由公式给出的内部节点力，其积分点对应于在参考平面内坐标系的原点由公式给出的内部节点力，其积分点对应于在参考平面内坐标系的原点 xyyyxxxyyxTAAbbbb00Bf00)(int在积分点上的假设变形率给出为在积分点上的假设变形率给出

54、为 d0B0D对于这些模式，在积分点上速度应变为零，应力亦为零。对于这些模式，在积分点上速度应变为零，应力亦为零。 7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 沙漏：通过沙子至上而下地流动，作为测量时间的一种工具。沙漏：通过沙子至上而下地流动，作为测量时间的一种工具。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 下图中展示一种网格下图中展示一种网格的沙漏模式。在竖向的一的沙漏模式。在竖向的一对单元像一个沙漏，基于对单元像一个沙漏，基于这个原因，这一伪奇异模这个原因，这一伪奇异模式常常称为是沙漏模式或式常常称为是沙漏模式或者沙漏。者沙漏。 图中的伪模式是称为图中的伪模式是称为x-x-沙漏，

55、因为它的运动仅沙漏，因为它的运动仅能沿着能沿着x-x-方向。方向。 上图中展示了矩形单元的伪模式；这两种模式是在左边分别单独上图中展示了矩形单元的伪模式；这两种模式是在左边分别单独表示，两种模式作用的变形在右边表示。表示，两种模式作用的变形在右边表示。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 4节点四边形平面单元，有节点四边形平面单元，有8个自由度，数值积分单元刚度矩阵为个自由度，数值积分单元刚度矩阵为 Ke=BTCB刚度矩阵中合适的秩是刚度矩阵中合适的秩是5，刚体位移，刚体位移3个，个，8530。完全积分：完全积分： 4个个Gauss点，点， B矩阵中的行数为矩阵中的行数为12，至多，

56、至多5个是线性独个是线性独立的，可以确定立的，可以确定B中的秩中的秩5，满足，满足8530，没有伪变形模式。，没有伪变形模式。一点积分：一点积分： 1个个Gauss点，点， B矩阵中的行数为矩阵中的行数为3，刚度矩阵中，刚度矩阵中3个秩，个秩，刚体位移刚体位移3个，个，8332，缺少，缺少2个秩，有两个沙漏模式，个秩，有两个沙漏模式，x-向和向和y-向。向。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 沙漏模式是可以传播的，如图所示。这意味着，每一个单元沙漏模式是可以传播的，如图所示。这意味着，每一个单元都可以进入沙漏模式，在任何单元中没有任何应变。这种模式不都可以进入沙漏模式，在任何单元中

57、没有任何应变。这种模式不吸收任何能量，并且它像传染性疾病一样扩散。吸收任何能量，并且它像传染性疾病一样扩散。 当模式受到边界条件约束时，至少在几个没有应变的单元内当模式受到边界条件约束时，至少在几个没有应变的单元内是不可能发展沙漏模式的。然而，整体沙漏模式的刚度仍然是非是不可能发展沙漏模式的。然而，整体沙漏模式的刚度仍然是非常小的，并且相关的频率是非常低的（比真实的最低频率还要低常小的，并且相关的频率是非常低的（比真实的最低频率还要低得多）。得多）。 沙漏模式是空间不稳定的，像在第沙漏模式是空间不稳定的，像在第7 7章中描述的对流章中描述的对流- -扩散不扩散不稳定一样。稳定一样。7 7 一点

58、积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 沙漏首先出现在流体动力学的有限差分中，通过将导数转换到等沙漏首先出现在流体动力学的有限差分中，通过将导数转换到等值线上进行积分计算；这一过程默认地假设导数是常数。这导致有限值线上进行积分计算；这一过程默认地假设导数是常数。这导致有限差分方程是等价于一点积分的四边形有限单元。差分方程是等价于一点积分的四边形有限单元。 由于秩不足，离散模型的这种奇异性发生在许多其它设置中，由于秩不足，离散模型的这种奇异性发生在许多其它设置中，所以包含了各种命名。例如，它们经常地发生在混合或者杂交单元所以包含了各种命名。例如，它们经常地发生在混合或者杂交单元中，它们在这里被称为是

59、中，它们在这里被称为是零能量模式零能量模式或者伪零能量模式。沙漏模式或者伪零能量模式。沙漏模式是零能量模式，因为在这些模式中，在是零能量模式，因为在这些模式中，在积分点上应变为零积分点上应变为零。因此，。因此，它们在离散模型中不做功。它们在离散模型中不做功。 对于偏微分方程的有限元离散，伪奇异模式似乎是最准确的命对于偏微分方程的有限元离散，伪奇异模式似乎是最准确的命名。例如，命名运动模式和零能量模式是不适合于名。例如，命名运动模式和零能量模式是不适合于LaplaceLaplace方程。方程。在单元中明显表现出伪奇异模式，如在在单元中明显表现出伪奇异模式，如在Q4Q4单元中的沙漏模型，应用单元中

60、的沙漏模型，应用这一命名。这一命名。伪奇异模式是单元刚度秩缺乏的具体体现伪奇异模式是单元刚度秩缺乏的具体体现。7 7 一点积分单元一点积分单元- -沙漏沙漏 在结构分析中，当冗余度不充分时，发生伪奇异模式（几在结构分析中，当冗余度不充分时，发生伪奇异模式（几何可变体系），即结构杆件或者支撑的数量是不足以阻止部分何可变体系），即结构杆件或者支撑的数量是不足以阻止部分结构的刚体运动。这些模式常常发生在三维桁架模型中。称其结构的刚体运动。这些模式常常发生在三维桁架模型中。称其为运动模式，并且因为在结构和有限元之间的密切关系，它的为运动模式，并且因为在结构和有限元之间的密切关系，它的名字也采用了伪奇异