本科毕业论文正文

1、序 言 微分中值定理，作为微分学中的重要定理，是微分学应用的理论基础，是微分学的核心理论。微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理。它们是沟通倒数值与函数值的桥梁，是利用倒数的局部性质推断函数的整体性质的工具。其中拉格朗日中值定理是核心，从这些定理条件和结论可以看出罗尔定理是其特殊情况，柯西定理和泰勒定理是其推广。本文着重讨论的就是拉格朗日中值定理的证明人们对微分中值定理的研究，大约经历了两百多年的时间。从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正式在这一过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性。一、利用构造函数方法证明(一)利用构造函

2、数方法证明（小四号黑体）微分中值定理的证明方法很多，一般来说都是通过构造辅助函数来完成的，但是如何构造辅助函数却是一个难点问题。下面针对构造辅助函数的方法分别从几何和分析角度加以分析。1.分析法（五号黑体）由于柯西、拉格朗日中值定理和罗尔中值定理之间存在着一般与特殊的关系，所以证明拉格朗日和柯西中值定理的方法可以利用罗尔中值定理来实现。下面就从分析的角度构造出辅助函数的若干方法。（1）原函数构造法（五号宋体）为了利用罗尔定理来推证，以从后向前推得思路，构造一个函数使它满足罗尔定理的第三个条件，同时又能从罗尔定理结论中推导出来拉格朗日中值定理的结论。要从罗尔定理的结论中推出拉格朗日定理的结论，显

3、然只需要由于一次函数的倒数是常数，可以猜想出（或通过两边积分）得到辅助函数应为其中为常数。由验证可知。它满足罗尔定理三个条件。为计算方便起见，可取。（2） 参数变异法目的仍然是构造一个函数且满足.这时若令其中A和B是任意实数，那么要使以上两式相等，只需.故仍然可设参数由此所得即可满足要求。（3） 行列式法由于要求，故可根据行列式的性质，设如此得到的辅助函数满足.(4) 利用弦倾角法目的同前。设连接连续曲线两端点和的弦为（图1），其倾斜角为，则，也即有所以可令如此所得辅助函数即满足要求。首先介绍拉格朗日中值定理以及它的预备定理罗尔定理。首先，我们观察图（3-1）。设下图是函数的图形。除端点外处处

4、有不垂直于轴的切线，且两个端点的纵坐标轩昂等，即可以发现在曲线弧的最高点处或最低点处，曲线有水平的切线。如果记点的横坐标为，那么就有现用分析言语把这个几何现象表述出来。就可以得到下面的罗尔定理，为了应用方便，先介绍费马（Fermat）引理。费马引理 设函数在点的某临域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有那么证 不妨设时，（如果，可以类似地证明）。于是，对于有从而当时，；当时，根据函数在可导的条件及极限的保号型，便得到所以，证毕。 通常称倒数等于零的点为驻点（或稳定点，临界点）。（罗尔中值定理）若函数满足如下条件：（1） 在闭区间上连续；（2） 在开区间上可导；（3） ，则在内至少存在一点，

5、使得.罗尔定理的几何意义是说：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相等，则至少存在一条水平切线（图1-1）证 由于在闭区间上连续，根据闭区间上连续函数的最大值最小值定理，在闭区间上必定取得它的最大值和最小值，分别用和表示，现在分两种情况来讨论：（1） 若，则在上必然取相同的数值：由此，有.因此，任取有.（2） 若，因为，所以最大值与最小值至少有一个在内某点处取得。从而使得极值点.由条件（2），在处可导，故由费马定理推知注 定理中的三个条件缺少任何一个，结论将不一定成立罗尔定理中这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制。如果把这个条件取消，仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学中十分重要的拉格朗日中值定理。（拉格朗日中值定理） 若函数满足如下条件：（1）在闭区间上连续；（2）在开区间上可导，则在内至少存在一点，使得. （2）显然，特别当时，本定理的结论即为罗尔定理的结论（1），这表明罗尔定理是拉格朗日定理的一个特殊情形.证 作辅助函数显然，且在上满足罗尔定理的另两个条件.故存在使移项后即得到所要证明的（2）式.拉格朗日中值定理的几何意义是：在满足定理条件的曲线上至少存在一点该曲线在该点