新人教版八级数学下册勾股定理知识点和典型例习题(2024023042)

1、IHntJOnJN FDCATinN新人教版八年级下册勾股定理全章知识点和典型例习题根底知识点：1 勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a , b，斜边为c，那么a2 b2 c2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理.我国古代把直角三角形中较短的直角边 称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦.早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了勾三，股四，弦五勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方2 勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾

2、股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：8HEF -Gba_形式的方法：4SS正方形EFGHS正方形ABCD， 4babal(1122ab (b a) c ,化简可证.c c2c.b|ca方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为1 2 2S 4 ab c 2ab c2大正方形面积为S (ab)22ab b2方法三：S梯形-(a b) (ab)， S弟形2S ADE S ABE2丄ab2-c2，化简得证2所以a2 b3 勾

3、股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的 三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形4 勾股定理的应用直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC 中,C 90，那么 ca2 b2 ,b . c2 a2 ,a.c2 b2知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定理解决一些实际问题5 .勾股定理的逆定理如果三角形三边长a , b , c满足a2 b2 c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过数转化

4、为形来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2 b2与较长边的平方c2作比拟，假设它们相等时，以a , b , c为三边的三角形是直角三角形；假设a2 b2 c2，时，以a , b , c为三边的三角形是钝角三角形；假设 a2 b2 c2，时,以a , b , c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a , b , c及a2 b2 c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如假设三角形三边长a , b , c满足2 2 2a c b,那么以a , b , c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时

5、，这个三角形是直角三 角形6 .勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2 b2 c2中，a , b , c为正整数时，称a , b , c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13 ； 7,24,25等7.勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理 时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应 设法添加辅助线通常作垂线，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解.8 勾股定理逆定理的应

6、用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比拟，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比拟而得到错误的 结论.9 勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定 个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决.常见图形：10、互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫 做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。敎育tD

7、CATlW题型一：直接考查勾股定理 例 1 在 ABC 中， C 90 AB 17, AC 15，求BC的长AC 6 , BC 8 求AB的长题型二：利用勾股定理测量长度例题1如果梯子的底端离建筑物 9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?例题2如图8，水池中离岸边 D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水局部BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度 AC.题型三：勾股定理和逆定理并用 一一例题3 如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB 为什么？1 AB那么 DEF是直角三角形吗?4圈3注：此题利用了四次勾股定理，

8、是掌握勾股定理的必练习题。题型四：利用勾股定理求线段长度一一例题4如图4，长方形 ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点 丘，将厶ADE折叠使点 D恰好落在BC边 上的点F，求CE的长.CVLN EDCAWN 题型五：利用勾股定例题5有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高 4.5米的墙上，任何东西只要移至 一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好翻开？题型六：旋转问题:A3fC 1 5hlN5米以内，灯就自动翻开,例题6如图，P是等边三角形 ABC内一点，PA=2,PB= 2.3 ,PC=4,求厶ABC的边长.变式 如图， ABC为等腰直角三角形，/ BAC=9

9、0 , E、F是BC上的点，且/ EAF=45试探究BE2、CF2、EF2间的关系，并说明理由题型七：关于翻折问题例题7如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm， 边上的点G处，求BE的长.BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿 AE折叠，点B恰好落在CD变式 如图，AD是厶ABC的中线，/ ADC=45 的长，把 ADC沿直线AD翻折，点C落在点C 的位置，BC=4,求BC题型八：关于勾股定例1、如图，公路 MN和公路PQ在P点处交汇，点 假使拖拉机行驶时，周围 100米以内会受到噪音影响, 影响，请说明理由；如果受到影响，拖拉机的速度是A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距

10、离为80米, 那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？题型九：关于最短性问题例5、如右图1 - 19,壁虎在一座底面半径为 2米，高为4米的油罐的下底边沿 A处，它发现在自己的正上方油罐上边 缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它成心不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋 路线，从背后对害虫进行突然袭击结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐请问壁虎至少要爬行多少路程才 能捕到害虫？n取3.14，结果保存1位小数，可以用计算器计算变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其边长都是 1cm，

11、假设一只蚂蚁每秒爬行 2cm,那么它从下地面 A点沿外表爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？571、.三、课后训练：一、填空题米DBEOABA4.6cmB这种草皮每平方米售价a元BEDACBCF25点DF 第3题图225a 元169D、32C、150a 元D、300a 元1 如图，在高2米，坡角为12，假设36cm28，周长为、48那么第三边长的平方是C、7另两边为自然数，那么C、1325 : 12,那么斜边上的高与斜边的比为C、12 : 13D、a+b=14cm, c=10cm,C、48cm232,那么三角形的面积为C、40、60那么Rt ABC的面积是D、60cm2 测得内部底面半径为2.

12、5 cm,高为12 cm,吸管放进杯里，杯口外面至少要露出30的楼梯外表铺地毯，地毯的长至少需C亠 cmD后直接跃2. 种盛饮料的圆柱形杯如图cm,问吸管要做3. ：如图， ABC中，/ C = 90，点O ABC的三条角平分线的交点，OD丄BC , OE丄AC , OF丄ABE、F分别是垂足，且 BC = 8cm , CA = 6cm，那么点O到三边AB , AC和BC的距离分别等于 4. 在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的 A处。另一只爬到树顶到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，那么这棵树高米。5如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高

13、分别为20dm、3dm、2dm, A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，那么蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是A 20二、选择题1. 一个 Rt的两边长分别为 3和4A、 25B、 142. Rt一直角边的长为 11,A、 121 B、 1203. 如果Rt两直角边的比为A、60 : 13 B、54. Rt ABC 中，/ C=90A、24cm2B5. 等腰三角形底边上的高为A、56B6. 某市在旧城改造中， 方案在市内一块如下列图的三角形空地上种植草皮以美化环境 那么购置这种草皮至少需要A、450a 元20m .150 -30mD、7或Rt 的周长为D、不能确

14、定第7题图图1-I-FI8 7V乂JA7.，如图长方形 ABCD 的面积为 中，AB=3cm , AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为 EF，那么 ABEA、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2&在 ABC 中，AB=15 , AC=13，高 AD=12，那么 ABC 的周长为33A . 42B. 32C . 42 或 32D . 37 或9.如图，正方形网格中的 ABC，假设小方格边长为 1,那么厶ABC是 A丨直角三角形B锐角三角形C钝角三角形D以上答案都不对敎育EDCATCh三、计算1、如图，A、B是笔直公路I同侧的两个村庄，且两个村庄到直路的距离分别是30

15、0m和500m，两村庄之间的距离为dd2=400000m2，现要在公路上建一汽车停靠站，使两村到停靠站的距离之和最小。问最小是多少？2、如图1-3-11，有一块塑料矩形模板 ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上不与A、D重合，在AD上适当移动三角板顶点 P： 能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?假设能，请你求出这时AP的长；假设不能，请说明理由 . 再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E，能否使CE=2cm ?假设能，请你求出这时 AP的长；假设不能，请你说明理由 四、思维训练:1、葛藤是一