数的整除单元复习(定稿)

1、第一章第一章 数的整除数的整除单元复习单元复习一、整数一、整数正整数正整数0负整数负整数自然数自然数正整数正整数0负整数负整数整整 数数73例例1:把下列各数填在指定的圈内把下列各数填在指定的圈内:8, -10 , 0 , 0.25, -50, , 100, -8.5正整数正整数负整数负整数整数整数8, 100-10, -508, 100, -10, -5000自然数自然数数的整除数的整除一个整数一个整数整数间的关系整数间的关系二、在二、在正整数正整数范围内研究下列问题范围内研究下列问题数的整除数的整除一个整数一个整数整数间的关系整数间的关系二、在二、在正整数正整数范围内研究下列问题范围内研究

2、下列问题整整 除除因数因数倍数倍数两个数的两个数的公因数公因数公倍数公倍数最大公因数最大公因数最小公倍数最小公倍数互素互素 (两个整数两个整数,只有公因数只有公因数1)二、在二、在正整数正整数范围内研究下列问题范围内研究下列问题数的整除：数的整除： 整数整数 a 除以整数除以整数 b ，如果除得的商是整数而余数为零，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说我们就说 a 能能被被 b 整除整除；或者说；或者说 b 能能整除整除 a 。例例3: (1) 在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（在下列各组数中，如果第一个数能被第二数整除，请在（ ）内打勾。）内打勾。注意整除的条件注意整除的条

3、件：1、除数、被除数都是、除数、被除数都是整数整数2、被除数除以除数，商是、被除数除以除数，商是整数整数而且余数为零。而且余数为零。72和和36；（ ）17和和34；（ ）3.5和和0.5；（ ）51和和17；（ ） (2) 在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（在上列各组数中，如果第一个数能整除第二数，请在（ ）内打）内打。例例4：判断：判断（2）因为）因为154=3.75，所以，所以4能被能被15整除。整除。（3）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。）能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除。整除一定能除尽，除尽不一定能整除。整除一定能除尽，除尽不一定能整除。（1）1能被任何正

4、整数整除能被任何正整数整除.1 能整除任何正整数能整除任何正整数.a、b、c都是整数都是整数 a b = ca 能能 被被 b 整除整除b 能整除能整除 aa、b、c都是整数都是整数 a b = ca 能能 被被 b整除整除b 能整除能整除 aa 是是 b 的倍数的倍数b 是是 a 的因数的因数例5: 填空1、455= 9， 能被能被 整除，整除， 能能 整除整除 ； 是是 的因数，的因数， 是是 的倍数。的倍数。2、一个正整数一个正整数a的因数的个数是的因数的个数是 ，其中最小的一个是，其中最小的一个是 ，最大的一个是，最大的一个是 ； 正整数正整数a的倍数的个数是的倍数的个数是 ，其中最小

5、的一个是，其中最小的一个是 。4、有一个、有一个 数，它既是数，它既是6的倍数，又是的倍数，又是6的因数，这个数是的因数，这个数是 。3、一个数的最小倍数是、一个数的最小倍数是9，那么这个数的最大因数是，那么这个数的最大因数是 ，最小因数是，最小因数是 。455545545455有限有限a1a无限无限9165、42的因数的因数144的因数的因数42和和144的公因数的公因数6、最大公因数最大公因数最小公倍数最小公倍数 5 和 6 17 和 51 40 和 48a和和b互素互素a是是b的倍数的倍数一般关系一般关系7，14，21，424，8，9，12，16，18，24，36，48，72，1441，

6、2，3，6，156=3017518240 ab1ba1、列举法；、列举法；2、分解素因数法；、分解素因数法；3、短除法、短除法下列各组数中互素的有（下列各组数中互素的有（ ）（A）19和和57（B）274和和12（C）51和和34（D）85和和68（E）26和和91（F）15和和32172191713F、Gm、n、p都是自然数，且都是自然数，且np=3，mn=5，则，则m、n和和p的最大公因数是（的最大公因数是（ ）（A）m（B）nC（D）15（C）p（G）29和和73 a=235, 那么那么a的因数有的因数有 .2235 把把60分解素因数：分解素因数： ，60的素因数为的素因数为 , 60

7、的因数有的因数有 .2，2，3，51，,60，2，30，3, 20, 4, 15，5，12, 6, 10，甲、乙两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数，甲、乙两个数的最小公倍数除以它们的最大公因数，商是商是12，如果甲、乙两数的差是，如果甲、乙两数的差是18，求甲、乙两数，求甲、乙两数.1 1、学校组织六年级学生秋游，、学校组织六年级学生秋游，可以分成可以分成6 6人一组，也可分成人一组，也可分成8 8人一组，都正好均分。人一组，都正好均分。六年级学生多于六年级学生多于150150人，少于人，少于200200人，人，六年级共有多少人？六年级共有多少人？2 2、学校组织六年级学生秋游，、学校组织

8、六年级学生秋游，可以分成可以分成6 6人一组，也可分成人一组，也可分成8 8人一组，也可分成人一组，也可分成1212人人一组，都正好均分。六年级学生多于一组，都正好均分。六年级学生多于150150人，少于人，少于200200人，六年级共有多少人？人，六年级共有多少人？8、12、30的最小公倍数是的最小公倍数是22325=120例题例题2 2 求求8,12,308,12,30的最小公倍数的最小公倍数用短除法求三个数的最小公倍数用短除法求三个数的最小公倍数.解解:8 12 3024 6 1522 2 3 1532 1 5( (用三个数公有的素因数用三个数公有的素因数2 2除除) )( (用用4 4

9、和和6 6公有的素因数公有的素因数2 2除除) )( (用用3 3和和15公有的素因数公有的素因数3 3除除) )( (除到每两个商都互素为止除到每两个商都互素为止) )215求三个数最小公倍数的步骤求三个数最小公倍数的步骤 再用任何两个数的公有素因数去除再用任何两个数的公有素因数去除,不能被这个素因数整不能被这个素因数整除的数移下来除的数移下来,一直到每两个数都互素为止一直到每两个数都互素为止;这些所有素因数的积就是这三个数的最小公倍数这些所有素因数的积就是这三个数的最小公倍数.三、拓展三、拓展先用三个数公有的素因数去除；先用三个数公有的素因数去除；练一练练一练求求 20,24和和30的最大

10、公因数和最小公倍数的最大公因数和最小公倍数解解:20,24和和30的最大公因数是的最大公因数是 220,24和和30的最小公倍数是的最小公倍数是22532=120（除到每两个商互素为止）（用6，3公有的素因数3除）（用5，15公有的素因数5除）（用10，12公有的素因数2除）(用三个数公有的素因数2除）1 2 131 6 3 5 6 152210 12 15520 24 30四、提高四、提高3月月12日植树节当天，六（日植树节当天，六（2）班同学在学校）班同学在学校60米的小路一侧每隔米的小路一侧每隔4米摆上一盆花，两端各米摆上一盆花，两端各摆一盆摆一盆.后觉间隔太密，于是改为每后觉间隔太密，

11、于是改为每6米一盆米一盆. 这样有多少盆花不需要移动呢？这样有多少盆花不需要移动呢？在在400米跑道的一侧每隔米跑道的一侧每隔4米种一棵树，当米种一棵树，当种好第种好第31棵时，觉得树与树间隔太密，于棵时，觉得树与树间隔太密，于是改为每隔是改为每隔6米种一棵树。那么有多少棵米种一棵树。那么有多少棵树不需要移动？树不需要移动？作业讲评作业讲评数的整除数的整除一个整数一个整数整数间的关系整数间的关系按照是否能被按照是否能被 2 整除整除奇数奇数偶数偶数按照因数个数分按照因数个数分1素数素数合数合数整整 除除因数因数倍数倍数两个数的两个数的公因数公因数公倍数公倍数最大公因数最大公因数最小公倍数最小公

12、倍数能被能被 2 整除的数整除的数不能被不能被 2 整除的数整除的数只有只有1和它本身和它本身两两个因数个因数除了除了1和它本身以外和它本身以外,还有其它的因数还有其它的因数(至少三个至少三个)互素互素 (两个整数两个整数,只有公因数只有公因数1)二、在二、在正整数正整数范围内研究下列问题范围内研究下列问题既是奇数又是质数的数既是奇数又是质数的数既是偶数又是合数的数既是偶数又是合数的数把把1到到20的正整数按要求填入下图的正整数按要求填入下图奇数奇数 质数质数 偶数偶数 合数合数3,5,7,11,13,17,191,9,154,6,8,10,12,14,16,18,202 你能说出下列每组数中

13、那一个数与众不同吗？并说你能说出下列每组数中那一个数与众不同吗？并说说你的理由。说你的理由。 4、16、27、28、44答：答： 27和其它数不同，因为和其它数不同，因为4、16、28、44都是偶数，只有都是偶数，只有27是奇数是奇数。 4 4、1616、2828、4444都是都是4 4的倍数，只有的倍数，只有2727不是不是4 4的倍数，所以是的倍数，所以是2727与其与其它不同的。它不同的。 第一个数第一个数“4”是与众不同的，这些数中只有它是一位数，其是与众不同的，这些数中只有它是一位数，其他的数都是两位数。他的数都是两位数。例例6：填空：填空1、在数、在数18，2.5 , 2005 ,

14、 2 , 69, , 1 , 57 , 29 中中74整数有整数有 ;奇数有奇数有 ; 偶数有偶数有 ;素数有素数有 ; 合数有合数有 . 2、在、在15，27，38，62，90，135，430这七个数中这七个数中能被能被2整除的数是整除的数是 ； 能被能被5整除的数是整除的数是 ；能被能被3整除的数是整除的数是 ；能同时被能同时被2，5整除的数是整除的数是 ；能同时被能同时被2，3，5整除的数是整除的数是 。3、在下列数的、在下列数的 内填上适当的数字，使这个数能同时被内填上适当的数字，使这个数能同时被2，3，5整除。整除。63 7 4 18，2005，2，69，1，57，292005，69

15、，1，57，2918，22，2918，2005 ，69，5762，90，43015，90，135，43015，27，90，135，43090，430900014、小杰的小灵通电话号码是一个八位数，从左到右八个数码依次是小杰的小灵通电话号码是一个八位数，从左到右八个数码依次是（1）既是素数又是偶数的数；）既是素数又是偶数的数；（2）最小的素数；）最小的素数；（3）最小的合数；）最小的合数；（4）最小的自然数；）最小的自然数；（5）3和和9的最小公因数；的最小公因数；（6）3和和9的最小公倍数；的最小公倍数；（7）既是）既是7的因数，又是的因数，又是7的倍数；的倍数；（8）只有）只有3个因数的偶数

16、个因数的偶数这个号码是这个号码是 。22401974例例7：判断：判断（1）既能被）既能被2整除，又能被整除，又能被5整除的数，其个位上的数不一定是整除的数，其个位上的数不一定是0。（2）能被）能被4整除的数一定能被整除的数一定能被2整除。整除。（3）任何一个正整数至少有）任何一个正整数至少有 两个因数。两个因数。（4）奇数就是素数，偶数就是合数。）奇数就是素数，偶数就是合数。（5）素数都比合数小。）素数都比合数小。（6）任何一个合数至少有三个因数。）任何一个合数至少有三个因数。（7）素数的因数都是素数。）素数的因数都是素数。（8）合数的因数中不一定有合数。）合数的因数中不一定有合数。（9）只

17、有两个数都是素数，他们才互素。）只有两个数都是素数，他们才互素。（10）互素的两个数，他们的最大公因数为）互素的两个数，他们的最大公因数为1。（11）两个合数一定不互素。）两个合数一定不互素。（12）3的倍数一定是合数。的倍数一定是合数。（13）相邻两个正整数的和为奇数。）相邻两个正整数的和为奇数。（14）相邻两个正整数的积为偶数。）相邻两个正整数的积为偶数。（15）所有正偶数的最大公因数是）所有正偶数的最大公因数是2.（16）一个素数和一个合数的最大公因数要么是）一个素数和一个合数的最大公因数要么是1，要么就是那个素数要么就是那个素数.例题例题1： a、b、c、d是不同的素数，是不同的素数，

18、a+b+c=d,那么那么abcd的最小值是多少的最小值是多少 ？拓展知识：拓展知识：解：解：这四个素数全是奇数，又要符合四个数的积最小。这四个素数全是奇数，又要符合四个数的积最小。 若若a=3,b=5,c=7,则则d=3+5+7=15,不是素数。不是素数。 若若a=3,b=5,c=11,则则d=3+5+11=19，是素数，是素数，满足条件：满足条件：351119=3135 所以这四个素数的积的最小值是所以这四个素数的积的最小值是3135。例题例题2： 已知甲乙两数没有倍数关系，它们的最已知甲乙两数没有倍数关系，它们的最大公因数是大公因数是12，最小公倍数是，最小公倍数是72，求甲乙两数。，求甲乙两数。 解：7212=6，6=23=16。 因为甲乙没有倍数关系，因为甲乙没有倍数关系， 所以所以 甲甲=122=24，乙，乙=123=36 或甲或甲=123=36，乙，乙=122=24。例题2：老师买来了老师买来了69个苹果、个苹果、103个梨、个梨、150个桃，分给全个桃，分给全班同学，每个人要分得一样多，结果桔子剩班同学，每个人要分得一样多，结果桔子剩7个，梨剩个，梨剩10个，桃缺个，桃缺5个，问学生最多有几人？