利用导数证明不等式50题(学生版)

1、利用导数证明不等式1. (本小题总分值12分)己知函数/(x) = «hix-a¥-3 (ghO).讨论/(.Q的单调性：假设/(x)+(«+l)x+4-e<0对任意xwp，恒成立，求实数a的取值范为 自然常数)；(3)求证 ln(22 4-1)+ lii(32 +1) + lii(424-1)+ - +ln(/?2 +1) <1 + 2111/?!N*)(/? > 2 , n g N*).2. (本小题总分值10分)(1)设x>-l,试比拟111(1 + x)与x的大小；1府1(2)是否存在常数a w N ,使得a <±V

2、(1 + 1/ <a +1对任意人于1的自然数都成 心 k立？假设存在，试求出a的值并证明你的结论；假设不存在，请说明理由.3.(本小题总分值14分)己知函数/(.r) = e* - ax-a (其中aeR ).(I) 当a = e时，求函数/(x)的极值；(II) 假设/(.V)> 0恒成立，求实数a的取值范围;(III) 求证：对任意正整数n,都有 x-x.xL>A2 + 1 2+1 2n+l e4.(本小题总分值14分)函数/(x) = ev-x-h xeR.其中，£是自然对数的 底数.函数 £久=A37/A 十 CY25A 十 1 , X >

3、 0 .(I) 求/(X)的最小值;(II) 将g(x)的全部零点按照从小到人的噸序排成数列求证:12 一 171-2-2 + 1龙2-h丄+1111丄+111+ + 1111午丿碍丿1an其中*宀：2 1112 <-.35. (本小题总分值12分)己知函数Jx) = cix2+x-xnx(a>0).(1) 假设函数满足/(1) = 2/且在定义域内f(x)>bx2x恒成立，求实数b的取值范围:(2) 假设函数/(x)在定义域上是单调函数，求实数a的取值范圉：(3) 当-<x<y vl时，试比拟丄与巴丄的大小. ex1 + lii x、1 + 111 x6. 己知

4、/(%) =X(1)求函数y = /(x)的单调区间；(2) 假设关于x的方程/(x) = x2-2x+k有实数解,求实数k的取值范闱:(3) 当n e N* ji> 2 证：nf (n) < 24-丄+ + + !.2 3n-17. 己知函数 /(x) = ln(x+a)-x2 - x ft x = 0得极值(1)求实数a的值:(2) 假设关于x的方程f(.x) = -x + b在区间0,2上恰有两个不同的实数根,求实数b的 2取值范闱：证明:对任遨的正整如不等式2 +恋+> ln( +1)都成立8.己知函数 f(x) = ax-l-lnx ( a g /?)(1)讨论函数

5、/(x)的单调性:(2) 假设函数/(兀)在x=l处取得极值，不等式/(%) > bx- 2对任意xw(X+8)恒成立，求实数b的取值范|韦|；(3) 当x> y> e-1 时，证明不等式 ex -111(1 + y) >ey -111(1 + x).X 19. 己知函数f(x) = l.g(x) =兀一lax.e(1> 证明：g(.v)1 :(2)证明：(x-lnx)/(x)>le*10. 己知函数 f(x)=aln xax-3(aGR).(1) 假设a= l,求函数f(x)的单调区间；(2) 假设函数y=f(x)的图彖在点(2, f(2)处的切线的倾斜角

6、为45° ,对于任意的tG1,2,函数g(x)=x'+广(刃+巴(f(X)是f(x)的导数)在区间(t, 3)上总不是单 2调函数，求m的取值范鬧；<、亠lu21113ln4liin/ 1 .234nn11. 函数/x)=lnx假设曲线g(x)=/x)+#_l在点(2,g(2)处的切线与直线3x+y-l = 0平行，求d 的值；求证函数/A= 处2_1X+1在0.+8上为单调増函数:设八/ e R* I且mn »求证:m-n <m + nIn m-lnn12设函数/x = l+x°的定义域是7+8,其中常数a>0.假设a > 1,求

7、y = /x的过原点的切线方程.2当a>2时，求最人实数A ,使不等式/x> 1 + ax+ AF对x> 0恒成立.1 n+1a证明当a>l时,对任何从",有1< 一工丁七va.KK(!)令 Z(x) = f (x)几(x) = Z»,gN*)求厶oh(x)的解析式;2假设fW + l>ax+cosx在0,兀上恒成立，求实数a的取值范围:证异為打為*需“谿14. f (x) = lii(x +1), (x) = -ax2 + bx (a,b g R).1假设b = 2iLhx = fx-l-gx存在单调递减区间，求实数a的取值范用:(2)

8、 假设d = 0= l.求证：当xg(-1,+oo)W, f(x)-g(x)<0恒成立：X+ V(3) 刊用(2的结论证明：假设 a > 0, j > 0 , yjij xln a-+ y 111y > (x+ y)In.15. 设函数 f(x) = In x: (a+l) af(<s>0» a 为常数)2(1) 讨论f(x)的单调性；(2) 假设 a=lf 证明：当 x>l 时，f(x)< 丄 2x 眼.2 x + 116. 己知a为实常数，函数/(x) = liix-av4-l.1讨论函数/X的单调性;2假设函数/X有两个不同的零点

9、<x2；I求实数d的取值范鬧：II求证：-<xt< 1且儿+儿>2.注：£为自然对数的底数e-f (x)17函数f(x)的导函数为f ' (x),且对任意x>0,都有f ' (x)>dX(I )判断函数F(x) =(9在(0, +8)上的单调性：X(II )设 Xl, x：(0» +8),证明：f (xi) +f(X2)<f(Xl + x2)；(IH)请将(H)中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论.18.函数f(x) = (x-l)e- xeR,其中e是自然对数的底数.(I )求函数/(X)的单调区间和极值：

10、(II) 假设函数 y = g(x)对任意 x 满足 g(x) = /(4 - x),求证：当 x>2 时，f(x) > g(x)；(HI)假设 X H 七，且 /(xj = fx2),求证：xt + x2 > 4./ 119己知函数/(x) = ax +-Inxx(1) 当a<时，试讨论函数/(x)的单调性：、 宀 lnl ln2ln(/?-1) Inn n2(2) ut明：对任意的neN ,有一+<.1 2/?-1 n 2(/7 +1)20 .己知函数f(x) = ax-bnx + c ( 是常数)在x = e处的切线方程为(e-l)x+ey-e = O, 5

11、.f(1) = 0,(I )求常数a.hx的值：(II)假设函数g(x) = x2+m/(x)(me/?)在区间(1,3)内不是单调函数,求实数加的取 值范围;(III)证明:1112 1113 111411120221XXX X <2342022202221.函数 fx) = ax(,r +2x)lna (a0且。工1).(1) 当a>e时，求证：/(x)在(0,+oo)上单调递増:(2) 当丄J)且虫1、乜)时,求证:f(2t-l)-2ft)>-e2 +3.e22函数 f (x) = x-hix, g(x) = lnx+ , ( a > 0 ).x(1) 求函数g(

12、x)的极值;(2)己知兀>0,函数/心)二 m/也),XW(X,48),判断并证明/7(x)的单 x-xtX + X(3)设0 VV®，试比拟/( ； 2 2 )与扌几勺)+/也)，并加以证明.23. f(x) = x- (a > 0), g(x) = 2Inx x(1)假设对l,+8)内的一切实数X,不等式f(X)> g(X)恒成立，求实数d的取值范I韦I：当4 = 1时,求最大的正整数R ,使得对匕3 (e = 2.71828-是自然对数的底数) 内的任意R 个实数xL,x29 ,xk 都有/(XJ + /(“)+ + /g_J516gCq)成立：(3)求证:&

13、#167;4r-l24. 己知函数f(x) = x-ln(x+a)的最小值为0.其中。>0。(1) 求a的值(2) 假设对任意的xw0,+8),/(a) <kx2成立，求实数k的最小值n 9(3) 证明工 一-ln(2/ + l)<2(/G2V#)2i 1Inx25.己知说数f(x) = kx> g(x) =xIn r(1) 求函数g(X)=的单调递增区间：X(2) 假设不等式/(J) > g(x)在区间(0,+s)上恒成立，求R的取值范闱;(3)求证:1112 1113liin1I" "*+ + -< 2434/j42e26(此题总分值

14、14分)函数/(x) = liiav (a 工 0,d g R), g(x)=x(I )当a = 3时，解关于x的不等式：1 + /W + g(x)>0：(II )当a = l时，记/?(%) = /(%) - g(x),过点(L-1)是否存在函数y = h(x)图象 的切线？假设存在，有多少条？假设不存在，说明理由：(III)假设a是使/(x)>g(x)(x>l)恒成立的最小值，对任意neNn 12-试比拟£与/ (1+町2(j)的大小(常数o<兄<1).1+AL27.(本小题总分值14分)函数f (a:) = av2 + lii(x +1).(I)当

15、a = -时，求函数f(x)的单调区间；r > 0(II)当X60,-WO)时，函数V = f(X)图彖上的点都在丿一' 所表示的平而区域内, y - x < 0求实数8的取值范闱.94R,皿求证：(“齐护+辰曲丽)"(2疵门(2厂+"(其中心，e是自然对数的底数).28. (本小题总分值14分)(注意：仙中、一中、八中的学生三问全做，其他学校的学生 只做前两问) 己知函数/(x) = ex-H, xgR(I ) Tik = e,试确定函数/(x)的单调区间;(II)假设k>0,且对于任意xwR, /(妙>0恒成立，试确定实数R的取值范闱；

16、n(I【I)设函数F(x) = /(x) + /(-x),求证：F(1)(2) .F(/)>(c1 + 2)5(/eN*).29. (此题总分值16分)己知函数f(x) = lnx,g(x) = -(a为实常数).2x(I) 当G = 1时，求函数0(X)=/(X)-g(X)在兀“4,48)上的绘小值；(II) 假设方程e2M = g(x)在区间*,1上有解，求实数d的取值范惘；51“(III) 证明：-/； + <2f(2k +1)-f(k)-f伙+ 1)v2 + 1jwN*460 =(参考数据：1112 « 0.6931 )30. (此题总分值12分)函数/(兀)=疋

17、宀，(xeR).(1)求函数/*(“)的单调区间和极值:(2) 己知函数y = g(x)的图彖与函数y = f(x)的图象关于直线x = l对称;证明：当 X>1 时，/(X)> g(x)(3)如果兀工耳且=证明兀+丕>231. (本小题总分值 12 分)函数 /(X)=(6/ + -)111 .V+ - - .V ( 6F > 1 ).a x(1) 试讨论/(x)在区间(0,1)上的单调性；(2) 当 a w3, + s)时，曲线 y = f(x)上总存在相异两点 Pg, f(xj), Q(x2, f(x2),便得曲线/(x)在点P , Q处的切线互相平行，求证：不+

18、 ®.32. (此题总分值15分)己知换数/(x) = lii.v.(1) 求函数g(x) = /(x+l)-x的最大值:(2) 假设V.v> 0 .不等式/(.v)<av< X2 +1恒成立，求实数a的取值范闱；(3) 假设再>尢>0,求证：心)一心)Xt-X2Xf +x;33.(本小题总分值14分)设函数/(x) = lnx+x2+avo(1) 假设/(x)在.v = |处取得极值，求a的值：(2) 假设/(x)在定义域内为增函数，求a的取值范缶 1；(3) 设g(x) = /(x)-x2 + l> 当a = _l时,求证：g(x)<0在

19、其定义域内怛成立；求证:lii 22In 3+2232lii/?2tr2if -n-134.(本小题总分值12分)己知函数/(x) = lii.v + (neR) x+19(1) 当。=时，求/(X)的极值；(2) 当a = 2时，试比拟/(x)与1的大小:(3) 求证：ln(/? + 1)> + + + -4- (/zeN* ). 3572/2 + 135.(本小题总分值13分) 己知函数/(A)= _丄匚(-VE/?).1 + X+X-(I)求函数/(H的极人值:()假设(# + 2)F+Kx+&-2M 0对满足Rwi的任意实数X恒成立，求实数/的取值范围(这里幺是自然对数的

20、底数)：(ID)求证：对任意正数a. b. 恒有Aa2 + pb1、-JAa + pb Y Aa1 + “/FA + /A + jLl36(本小题总分值14分)己知函数/(x) = l-+ln-(a为实常数).X X(I )当a = l时，求函数gx) = f(x)-2x的单调区间;(II)假设函数/(“)在区间(0.2)上无极值，求a的取值范圉;(Ill)nwM且"23,求证：In<1+丄+丄+十丄.3 3 4 5n1 r37. (本小题总分值15分)己知函数f(x) = +lnx(a>0)av(1) 假设函数/(X)在1,2)上为增函数，求实数d的取值范削：(2) 当

21、a = l时，求/(x)在|,2±的最大值和最小值：(3) 当0 = 1时，求证对任意人于1的正整数，ln>： + ： +丄+丄恒成立.2 34 n38. 函数f(x) = nx+-(aeR).(I) 当« = |时，如果函数g(x) = f(x)-k仅有一个零点，求实数R的取值范热(II) 当« = 2时，试比拟/&)与1的大小；(III) 求证：ln(?j +1) > 丄 + 丄+ 丄+ +-(n e N").3 572/ + 139. 函数 /(x) = xlnx.(I)求函数/(x)的单调区间和最小值：(H) 假设函数%)=

22、m在i疋上是最小值为2,求°的值；x21 1(III)当b > 0W,求证：bh>(-y (其中£二2. 718 28是自然对数的底数).e40. 设函数/(x) = X2 4-feln(x+1)» 其中 b 工 0(I) 当b>时，判断函数/(小在定义域上的单调性；(2 )求/(X)的极值点：(3证明对任意的正整数，不等式In(丄+ 1)丄-匕都成立。it n n41. 定义 y = logu+°F(x,y),兀、yw(0,xo),(I )令函数/(x) = F(x,2)-3x,过坐标原点0作曲线C： y = f(x)的切线/,切点为

23、P(/,r)(n>0),设曲线C与/及y轴曲成图形的而枳为S,求S的值。< II)令函数g(x) = F(x,2) + alnx,讨论两数g(x)是否有极値，如果有，说明是极 人值还是极小值。(11【)证明：当x,y e<yW,F(;r,y) > F(y,x);42. (本小题总分值12分)d为实数，函数f(x) = ex-2x-2ayxGR(1) 求/(x)的单调区间(2) 求证：当a>ln2-1 且x>0时，有ex >x2-2axl(3) 假设/(x)在区间(O.+s)恰有一个零点，求实数。的取值范I韦1.43.(本小题总分值12分)Y2 4- (

24、I己知函数/(x)= (xe R)(£是自然对数的底数.e«2.71).ex(1)当。=一15时，求/(X)的单调区间:(2)假设/(X)在区间丄疋上是增函数，求实数a的取值范由; e(3) 证明上LL+空_+上字+上v耳对一切nN*恒成立. eee 4y/e44.(本小题总分值16分) 函数/a)=in竺)2.x + b(1) 留神1时，假设函数/(X)在(0.乜)上为单调增两数，求a的取值范鬧；(2) 当“>0且b = 0时，求证：函数f (%)存在唯一零点的充要条件是« = 1；(3) 设/,/?e(0,+ao), 且m#n » 求证： 一-

25、<"宀"lnz/7-ln/j 245.(本小题总分值14分)函数f(x) = x-hi(x+a)(a是常数).(1>求函数/(片)的单调区间；(2) 当y = f(x)£x = l处取得极值时，假设关于x的方程/(x) + 2x = x:4-|,2± 恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围：(3) 求证：当n>2jieN.时，有(1 +丄)(1 +丄r)(1 + 丄)ve23-矿46.定义：己知函数f (x)与g (x),假设存在一条直线尸kx +b,使得对公共定义域内 的任意实数均满足g (x) Wf (x) Wkx+b恒成立，其

26、中等号在公共点处成立，那么称直 线y二kx +b为曲线f (x)与g (x)的“左同旁切线.f(X)= lnx,g(X)= l-丄.X(I) 证明：II线y=x-l是f (x)与g (x)的“左同旁切线：(II) 设P (召是函数f (x)图象上任意两点，且0<&<&, 假设存在实数&>0,使得fx)=fX2)fXl)请结合(I)中的结论证明：<x3 <x,.47(本小题总分值12分)己知函数/X=在X = i处取得极值为2,设函数y = fx图象上任意一点jr +b从，/兀处的切线斜率为気1求k的取值范闱：2假设对于任意0 VX】V不V1

27、,存在k,使得,求证：48此题总分值 14 分aeR 函数 fx = - + lnx-l gx = nx-lex + x 其 x中e为自然对数的底数.I判断函数/X在0,习上的单调性:H是否存在实数Xo G 0,-KXD,使曲线v = x在点x = x0处的切线与轴垂直？假设存在，求出X。的值；假设不存在，请说明理由；(III)假设实数加,/!满足m>0,n>0,求证：nnen>mnen.49. 己知函数/x = x+llnx-x+l.I 假设Afxx2求a的取值范I制;II证明：xi/xno .50. 函数fx = anx + -x2-l + ax.I求函数/X的单调区间：

28、II假设/x0对定义域每的任总兀恒成立，求实数。的取值范围:III 证明：对于任意正整数 nun ，不等式>恒成立。 lii(/n + n) m(m + /)参考答案1.当d>0时，/(x)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1.+OO)：当d<o时，f(x) 的单调增区间为1,+s)，单调减区间为(0,1； (2) a<elC (3)证明见解析.【解析】试题分析：(1)函数y = /(x)在某个区间内町导，那么假设广(x)>0,那么f(x)在这个区间内 单调递增，假设/V)<0,那么/(x)在这个区间内单调递减：(2)对于恒成立的问题，常用到 两个结论：(

29、1)a> /(x)恒成立 Odh /(x), (2) a < /(x)恒成立 <=>« < /(x): (3) 利用导数方法证明不等式f(x)>g(x)在区间D上恒成立的根本方法足构造函数 (x)=/(x)g(x),然后根据函数的单调性，或者旳数的最值证明函数/心)>0,其中一 个重要的技巧就是找到函数/心)在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破 I I.观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：(1) f(x)=W7)(x0),X当G>0时，f(X)的单调增区间为(0,1,单调减区间为1.+0O).3分当d<0时

30、，/(x)的单调増区间为1,+8),单调减区间为(0,1：4分(2) 令尸(x) = alnx-dx-3 + ar + x + 4- = alnx + x + l-£F (x) = 0x假设-a <e a>-e F(x) xe e,e2 是增函数，八ye 1F(x)z =尸(矿)=2。+ 矿一 a +1 5 0,a S 无解5 分2假设e<-a<e-e1 <a<-et F(x) xee-a是减函数.xe-a,e2t 是增函数,rC 1 F(e) = a + l <0.a <-lF(e2) = 2a-e2 -el<0.a <2

31、r e 1 L S a S 6 分假设一 d>，a <-e21 F(x) xe e,e2 是减函数，尸(比照=尸(£)= a + 1 5 0,a <-1, ；. a <-e27 分e-l-e2八综上所述a <8分(3)令a = -l (或a = l)此时 f(x) = -liix + x-3 ,所以 f (1) = -2 ,由(I )知/(x) = -lnx + x-3 在(1,+8)上单调递増,当 x g (1,4-co)时/(x)> /(I),即一 lnx+x-l>0, /. In x < jv -1 对一切 x g (1,-ko

32、)成立，9 分n >2,neN*» 那么有 In(丄 +1) v 丄 < -=-,n n (n - l)n n-1 n10分要证 lii(2: +1) + lii(32 +1) + lii(4: +1) + + ln(/r +1) < 1 + 2In“»(/? >2,/g*) 只需证 ln(A + l)+ln(4r + l) + ln(A" + l) + +ln(4r + l)vl(/i >2,zi g AT)234-ii-ll 分lng +l) + ln 注+ 1) +ln+l)+!】(+1)ry4irzl 11 111 112 2

33、 334n-l所以原不等式成立12分考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题；3、证明不等式.1 V2. 解：(1) g/(.v) = x-lii(l + x)> 那么厂(“) = 1 一 l+X X+1当xe(-l,0)时，厂(x)<0, /(x)单调递减：当xe(0,+<»)时,厂(x)>0, /(x)单调递增：故函数/(“)有最小值/(0) = 0 .那么111(1 + x) < x恒成立：3分(2) 取加= 1,2,3,4 进彳亍验算：(1 +?"=2, (1+|):= = 2.25 , (1 +£)'=导

34、 a 2.37 , (1 +丄=竺俎244,猜想：2V(1 +丄)加二2,345,，5分4 256m存在a = 2,使得av丄£(l + »va + l恒成立.铝 k证明：对mwN ,且/w > 1,有(i+丄尸=c+u(丄)+仝(丄尸+ ci(-/+c：(lrmtnmmm“+】+呼占+巴斗怦也占+冲出占2! mk'.mmm11 1 11 1 1 1v 2 + + + + + + V 2 + + + + 又因G()* >°伙=2,3,4,加)2!3! k m 2x13x2 斤也一】) m(m-l)故2<(1 +丄广<3,mn|I n

35、从而有2/i < £(1 + -)k v 3“成立，即4 V丄?(1 +丄r < a +1 a-ikn £.ik所以存在a = 2.使得“V丄±(1 +技va + l恒成立.10分皿 k证明二由(1)知：当xe(0.1时，ln(l + x)vx,那么 hXl + -)<- > 所以 kln(l + 丄)vl ln(l +丄 / <1 (1 +丄 / <e<3. k kkkk当k22时，再由二项式定理得：a+# =ck + G(*)+U($+c：G)* >V+C(+)=2,即2 v a +v 3对任总人J'-1

36、的自然数R怛成立，KnII nI从而有 2/: < y(l + -/ < 3/i 成立，即 a<- y(l + -)A < fl +1.A.iKn uik所以存在a = 2,使得“V丄f (1 + fy va + 1恒成立.10分n A-i k【解析】试题分析：(1)复合函数求导求最值；(2)取/n = l,2.3,4进行验算，得圧2,用二项式定理 证明考点：复合函数的导数，二项式定理点评：此题考查了复合函数的导数，二项式定理等综合应用，属难题.3. (I)函数/(刃在x=l处取得极小值/(l) = -e,函数/(x)无极大值.(II) 0,1 (III)证明 略【解析

37、】 试题分析：第一步把a = a代入函数解析式，f(x) = ex-ex-e,求极值要先求导数,AA)= e'-e,令.厂(x) = 0,求出极值点x = l,根据函数单调性求出极小值：第二步f(x) = e-ax-a.求导数r(.v) = ex-«,下面针对a进行讨论，由于/(x)>0恒成立，只需f(x)的敲小值人丁或等于冬，最后求实数a的取值范I韦I：第三步依据第二步的结论，令。=1,那么ex > J + 1»有x>ln(.r + l),令x = * (“ w NJ, 即呗+帶)<*，把从取1-一“时的n个不等式相加，之后用放缩法证明出结

38、论.试题解析：(I)当"=e 时，f(x) = cl -cx-c , fx) = ex - c ,当xv 1 时，f'(x)<0 ；当x>l 时，/V) >0 所以函数/(x)在(-00,1)±单调递减，在(1,+oc)上单调递增，所以函数/(-V)在x=1处取得极小值/(I) = -e,函数f(x)无极人值.(II)由 f(x) = ev - ax-a , fx) = cx - a ,假设avO,那么广W>0,函数/(x)单调递增，当x趋近于负无穷人时，/(力趙近于负无穷人; 当x趙近于正无穷大时，/(x)趋近于正无穷大，故函数/S)存在唯

39、一零点儿，当.v<.v0时,/W<0；当x>x0时，f(x) > 0 .故。vO不满足条件.假设d = 0, /(x) = ex>0恒成立，满足条件.假设 a>0,由厂(x) = 0,得 x=lna，当 xvlna 时，f(x) < 0 :当 x>lna 时，fr(x) > 0 ,所 以函数/(x)在(yo,1ii")上单调递减，在(lnd,-wc)上单调递增，所以函数/ 在x = hia处取得极小值 f (ln“)=严 一a Ina-a = -a Ina ,由 /(lnt/)n 0 得一a Ina >0 ,解得0 <

40、a 51 综上，满足/(a) > 0恒成立时实数a的取值范鬧是0,1.(Ill)由(II)知，当。=1时，/(x)>0恒成立，所以f(x) = ex-x-L> 0恒成立，即 e* >x + l,所以ln(x+l)<x ,令x=r(neN，),得ln(l + *)v*，那么 111(1 + ) +111(1 + ) + + 1b(1 + ) V + 2 2- 2" 22-所 以 (1 + 丄)(1 + r) (1 + 二7) v e , 所 以 :> 9 即2 222"1x x ><> 2 + 1 2-+12+1 e考点：

41、1.利用导数求极值；2.利用导数导数求函数最值：3.利用导数证明不等式：此题是导 数的综合应用：4(I ) 0 ( II )证明见解析【解析】试题分析：(1)解决类似的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求 函数y = f(x)在区间ab内使f (x)= 0的点，再计算函数)，=/(%)在区间内所有使-2(】+孰+卡)t c fx= 0的点和区间端点处的函数值，瑕后比拟即得；(2)证明不等式，利用函数的单调 性很常见，一定要注意选取恰当的函数及单调区间(3)不等式隽有放缩功能，常常用于证 明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好切入点.试题解析：(I)r(x

42、) = er-l,当xw(-8,0)时,fx) <0:当xw(0,+s)时，fx) > 0:所以,函数/(x)4(0,0)±是减函数,在(0,+s)上是增函数,所以/(Q込=f(0) = 0,综上所述，函数/(x)的最小值是0.4分(II)证明：对g(x)求导得g*(x) = sm,v+ xcosx-sitvc = xcosx(x>0),令g，(x) = 0(k g N*),当 xw(2R/r+壬,2氏+乎(kwN)时，cosxvO,此时g'(x)vO：当 xw 2k-,2k7T+ (k g A*)时，cos x > 0,此时 g'(x)>

43、;0.所以, i22丿0与和函数/(X)的单调递减区间为(2畑+彳,2炽+乎'|(£丘2),单调递增区间为又g(0) = 2,所以aL>-2£兀一号，2k;r+彳(k w N *) 因为函数g(x)在区M 0,-上单调递增,< 2丿为g(号鬥g(驾£卜(-1厂旦严+旦严+ 1卜0, 11函数£("的图像是连续不断的，所以g(x)在区间(力；1)：(刀；1)龙 内至少存在一个零 点，又 /(%)在区间,2-1)兀(2 + 1)上是单调的，故I 22)(2 - 1)兀(2舁 + 1)兀2 5V - .9 分(2)证明：由(I )

44、知，ev-x-l>0.那么lii(l + x)<x,因此.当nwN*时,idS=hi 1 十+ 111+ 111十 十1h"1+丄/1丿1“3丿<an)1111那么 S< + + + ai a2 坷11分由知，sv, "- + +tv ?3。51(21 匚1 1+1x33x51(2 - 3)(2 -1),6 2< <t,证毕.715121 (2 冇考点：利用导数求函数最值，利用单调性及放缩法证明不等式. y < i+iny.(2) «>： (3) x 1 + S 尤2e1(即.S< 1+二 1-7114分5.

45、(1) bWO【解析】试题分析：(1)由/(1) = 2R入函数解得a的值，既得函数.f(x)的解析式，再由f(x)>bx2x恒成立，别离变量得b<-丄一恒成立，利用导数求新函数g(x) = l一丄一些 的单调 X XX X性，从而得g(x)的址小值，既得实数b的取值范出I ： ( 2 )先求导函数fx) = 2a x- lnx,(x > 0),假设函数/(x)在定义域上是单调函数.那么f(x)、O或厂(x)M 0恒成立.当广(X)> 0时.2a求函数h(.x)= 的最 XXIn YIn Y大值，可得a的取值范【札 当广(x)W0时.2a .由于函数h(x)= 无最小值

46、,XX那么f(x) < 0不恒成立，可得解；(3)由(1)知g(x) = l -1 + luxX在(0,1)上单调递减，那么-<x<y<l e时，g(x) > g(y)即1 + lnx 1 +111 v1时，< ,而 一 vxvyvixye-1 < hix < 0 1 + lux > 0.y i+inyX 1 + 111X试题解析：(1) V /(I) = 2 » Aa=l. f (x) =x2+x-xlnx.由 x2+x-xlnx>bx2+2x <=> 1-也丄 > bX X令g(丄一些X X'可

47、得g(x)在(0上递减,在1,+8)上递增，所以() = (1) = 0,即 /? <0(2) fx) = lax-Inx,(x > 0)z、 lux 设(x)=X力(Qmax =-当d n丄2eQ<a< 2e时，函数f(x) 在(O.+oo)单调递增.g(x) = 2qy-1iix,(x> 0),g(x) = 2d 丄Xxe(0,±),.x)<0,xe(±,W),(x)>01*. X =2a 而珠)s v丄H寸2e时取得极小值即最小值<0f(x)f (x) = 0必有根必有极值，在定义域上不单调.a n 2e(3)由(1)知

48、 g(X)= 1 -<x<y<l在(0)上单调递减g(x) > g(y)BP1 + liix v l + h】y试题解析:解:(1) v/(x) =仝/v)=X_x-(l + lnx)JT111X-1 clnx < 0.*. 1 + liix > 0*' X 1 + 111X考点：1、利用导数判断函数的单调性及锻值：2、恒成立问题：3、不等式、函数及导函数 的综合应用.6. (1)函数f(x)在区间(0,1)上为增函数；在区间(1,+8)为减函数；(2) k <2： (3)详见解析.【解析】I/JY试题分析：(I)先求出广(力=一竽，从而得函数

49、f (X)在区间(0, 1)上为增函数； x在区间为减函数.(1【)由(I)得f(x)的极大值为f(l)=l»令g(x) = X，2兀十& ,得函数g (x)取得最小值g (1) =k-l,由g(x) = x'2x+R有实数解，k-l<l,进而得实数k的取值范闱.(III )由/(1 + 1)</(1) = 1 ,得l + lu(l +丄)<1+丄，从而 nnnln = ln2 lnl + ln3-ln2 + + ln一ln(一l) <14-丄 + 丄+ + , BP2 3/-I当 X G (0.1)时 J'(x) >0:当 X

50、w a +00)时 J'(x) < 0 :函数f(x)在区间(0,1)上为增函数：在区间(1,+8)为减函数4分(2) 由(1)得/(X)的极人值为/=1,令g(x) = x + lii/ v 2 +丄+丄+一，问题得以解决 377-1 -2x+k,所以当X = 1时，函数g(x)取得最小值g(l) = k-,又因为方程f(x) = x2-2x + k有实数解，那么m 即k<2,所以实数k的取值范闱是：k<28分(3) 函数/(x)在区间(1,+co)为减函数，而1 + > 1(/1 eN*,n>2)tn:./(1+-)v/=1 1+ln(l+丄)v 1+

51、丄月卩lii(n + 1)-Inn<-nn nn1/-Ilii/z = hi 2-lnl + lu3-ln24-4-In/? - In(“ 一1)<1 + * + 扌+ + 即 1 + In <2 + + - + +2 31一 1M() <2 +丄+ + +!结论成立.12分.2 3/-I考点：1利用导数研究函数的单调性：2.导数在最人值、最小值问题中的应用.7. (1) a = l(2) ln3 lWbvln2 + ±(3)见解析 2【解析】 试题分析：(1)函a/(x) = ln(.v + a)-x2-x,对其进行求导，在x = 0处取得极值,可得f(O)

52、=。,求得a值：(2)关升的方程购=岭*在区间阴上恰有两个不同的实数根，将问题转化为次0=0,在区间0,2上恰有两个不同的实数根，对 此丫)对进行求导，从而求出b的范国：(3) /(.v)=ln(x4-l)-x2-x的定义域为x|x>-l.利用导数研究其单调性，可以推出ln(x+l)-x:-x<0,令乳=丄, n町以得到式进行放缩证明；试题解析：(1) fXx) = -2x-l ,.20时，/(.丫)取得极值，二广(0) = 0x + a故一-2x0-l = 0,解得a = l0+a经检验° = 1符合题意.(2) 由 a = l 知/(x) = ln(x+l) 一.丫

53、由 f(x) = x+b , f51n(x+l)-x" + |x-/? = 0 令<p(x) = ln(x + l)-x2+Lx-b那么/(刃=-|® 在区间0,2上恰有两个不同的实数根等 价于.v) = 0在区间0,2上恰有两个不同的实数根.当xe04时，0(x)>O.于是傾丫)在0J上单调递増;当xe(l,2时，0(羽<0.于是风丫)在2上单调递减.久0) = -b W 0,依题意有“ (1) = ln(l +1)-1 + "I-/>>0,解得ln3-lWb<ln2 +丄(p(2) = ln(l + 2)-4 + 3-bW0

54、(3)/(.v) = ln(.v +1) - 一 x 的定义域为.丫卜 >-1，由(1)知 f'x) = 丫' ；：),令广(羽=0 得，x = 0»£x = -| (舍去)，.当-KxvO 时，fx)>O,f(x)单调递增; 当x>0时，fx)<Q, f(.x)单调递减/为/(x)在(-l,+oo)上的最大值./(x)W/(O),故ln(x+l) FxWO (当且仅当工=0时,等号成立)对任意正幣数，取x =丄>0得，ln(- + l)<丄+丄，)< nn n rrn ir3 44 9(方法二)数学归纳法证明:当

55、=1时，左边=上丫 = 2, + l . 3 . 4. n + 1 . z lv >ln2 + ln+ ln+ +ln= ln( + l)右边= ln(l + l) = ln2,显然2>ln2不等式成立.tr23it假设 M k(k e Nk 1)时,3 4 k + I2 +带加+>吨+】)成立,Q d k 亠。 L -L. 0那么“2时，有2 +花+ +丁+ E>聞+ S(屮.作差比拟:.八八£ + 2. k + 2k + 2B111In 伙 + 2)- In 伙 +1) _r = In_r = ln(l +) - (+r(£ + )* + (&#

56、163; + 1)Zr + T '* + 1 (k +1)2构建函数 F(x) = ln(l + x)-x-x2(xe(0,1),那么 Fx)= “ 十习 <0> /. F(x)在(0,1) x+1单调递减，二 F(x)vF(0) = 0.取x=T(kl,keN*)9 ln(l +-)-(-!4-1)<F(0) = 0R + lk + 1 k + 1 伙+ 1)£+2k+2k+2k+2即吨+ 2)7(屮-丙厂in吋-丙严，亦即科+ Sg)>W + 2),34£ + 1 k + 2. k + 2故“2时，有：+花+亍+丙厂科+吨+“吨+幼不等式成立.综上可知，对任意的正整数几不等式2 + - + -+-+11> 111(/7 + 1)都成立4 9 tr考点：1利用导数研究函数的极值2利用导数研究函数的单调性.8. 1 /X在0丄上单调递减，在丄，杉上单调递增；2 >,1-41：