分式混合运算中的技巧

1、分式运算的技巧【精练】计算： . I . '【分析】此题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减， 公分母比 较复杂，其运算难度较大不过我们注意到假设把前两个分式相加， 其结果却是非常简单的. 因此我们可以采用逐项相加的方法 112_ _4 24【解】.一 ：1" i '_ = '1 广 1._'44=/： -1【知识大串联】1分式的有关概念 设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子几就叫做分式.注意分母B的值不能为零, 否那么分式没有意义分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式如果分子分母有公因式，要进行约分化简2、分式的根本性质

2、AA工 匸二 r，- * M为不等于零的整式3 分式的运算分式的运算法那么与分数的运算法那么类似皿 异分母相加，先通分；5 负整数指数= £0,为正整数.注意正整数幕的运算性质 '""二m n可以是0或负整数.可以推广到整数指数幕，也就是上述等式中的供同分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选取不当， 不仅使解题过程复杂化， 而且出错率高.下面通过例子来说明分式运算中的种种策略, 学们学习参考.1顺次相加法1 I 1 I 肚 | 4十 例 1:计算：一 一 I +'-'【分析】此题的解法与例 1完全一样1 I 1

3、I 2斤 | 4只 N M |4【解】一 ： 一 I.: '. =、. I v '.-'=.-I2.整体通分法【例2】计算：-后【分析】此题是一个分式与整式的加减运算如能把-a-1看作一个整体，并提取在通分会使运算更加简便通常我们把整式看作分母是1的分式.【解】=一 -13化简后通分a4 + a3b -aab3 - ab3ab5 + 2a%3a3 -b3 - 3aj!b + 3ib3a5b -b4a3 亠 a3b + ab3a3 -十 b，分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地，显然, 化简后再通分计算会方便许多.推十功乜-b)/晔 煤巩 a

4、bta+b)2 昭-亠北斗b?)a (a3 +ab 十 L)(a-b)24.巧用拆项法4亠1-例 4 计算：矶圧 +1)(& + ) (& + )( + 2)盘 + 习& + 9) (& +10)分析：此题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续这样可抵消一些项整数的积假设 a是整数，联想到-1 i说+ IQ 诵10=. .=5 分组运算法1 11 1:+例5:计算：:'分析：此题项数较多，分母不相同因此，在进行加减时，可考虑分组分组的原那么是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便丄 +1解：

5、-.-I-.： 上 -(1.1 j( 11 U3 4-xF +女+ 2丿11 x2 + 2a+1x2 +4x+3)_ 1 一+ 11 +1)(量+ 1)(麗 4 2)_懐+ 1尸(兀4叽工+3)_x(x+l)(x+2)(x+1)3(j + 3)2 | 2 _干(耳+1)庄+2)(芹+1)"(云+可22工+氐+耳 _祁 +，(北 + 2)© + ?)【错题警示】一、错用分式的根本性质分析：分式的根本性质是“分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式, 分式的值不变"，而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的根本性质.正解：原式2x-错在颠倒运算顺序1一

6、63;例2计算-=十1 一 卫二错解：原式 ：分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致使结果出现错误1_ -a _1正解：原式- L -：|"三、错在约分jv1例1当二为何值时，分式 _1 1 有意义？龙_错解原式九 由: - 1 得二.齐1 亠.时，分式；;-有意义.解析上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式山，扩大了未知数的取值范围，而导致错误.正解由 VJ : v -得- 1 且1 . 当/ T 1且"二，分式 - I .有意义.1四、错在以偏概全例2 "为何值时，分式. 有意义?错解当1一 ：，得上-.当“丁 ，原分

7、式有意义解析上述解法中只考虑:的分母，没有注意整个分母误正解'丨，得亠 ,1 工 0由 宀- ，得.当“十一且4-时，原分式有意义五、错在计算去分母.2S 1例3计算；' .错解原式：一'/U =-1不能去分母，解析上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换,3-1)0 十 1)丘正解原式.十.-1 -a21口+ 1十 1六、错在只考虑分子没有顾及分母x 2例4当匸为何值时，分式的值为零错解由°,得卞二垃.当- 1或J. 一 时，原分式的值为零解析当'-时，分式的分母 Jr - ,分式无意义，谈不上有值存在，出错的 原因是无视了分母不能为零的

8、条件正解由由0，得兀二垃.由'.：'' ' ，得二 且 i 二 当：-：时，原分式的值为零七、错在“且与“或的用法1例7二为何值时，分式J '匚有意义错解：要使分式有意义，厂须满足- ',即二二厶由尸I二 得二，或由丁 亠I得丄 .当L或丄时原分式有意义分析：上述解法由：".得'I PL或;二二.是错误的因为"与-中的一个式子成立并不能保证'- ' - I亠一定成立，只有Il 1与丄1 -同时成立，才能保证：_ Ml _ l J -' 一定成立故此题的正确答案是'且犷一八、错在无视特殊情

9、况例8解关于"的方程耳错解：方程两边同时乘以_,得'：" 1，即 h -3 +啊X 当測羊3时，？_關，当，:-时，原方程无解分析：当二一时，原方程变为：-1取任何值都不能满足这个方程，错解只注意了对：丁二-的讨论，而无视了 7二 的特殊情况的讨论.正解：方程两边同时乘以上，得'；：''1：1'，即'：审Y :卜3+豹x 二当:.-且-时，当：. 一 一或'；. 一 ：时，原方程无解.分段分步法例1.计算：-；解：原式(a + s) - (a -k)a"2x2盂(a? -+ x3 ) 2左(岂2 迂2 )说明

10、：假设一次通分，计算量太大，注意到相邻分母之间，依次通分构成平方差公式，采用分段分步法，那么可使问题简单化。1_1_2叫呂同类方法练习题：计算:1 :十 亠 + 亠I答案：厂 二.分裂整数法k + 21十 3x-5 K-4+例 2.计算："I 一 一： 一解：原式-銮+2 (鑿斗1) x -3- (x -4)(x 4 l)(x 4- 2)(X- 4)(z - 3)1 _ (X 十 1)(掘十 2) (x - 3)(s - 4)(誌-3)(誌-4) - (x - l)(x 4- 2) (x + 1)(玄 + 2)袈-3)(丈-4)x3 - 7x -b 12 - x2 - 3?z - 2

11、 仗十 l)(s 十 2)(s - 3)(k- 4)-1陝 10X 4-lx + 2x - 3z 一 4说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同次数时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分；在解某些分式方程中，也可使用分裂整数法。同类方法练习题：有一些“幸福"牌的卡片卡片数目不为零，团团的卡片比 这些多6张，圆圆的卡片比这些多2张，且知团团的卡片是圆圆的整数倍，求团团和圆圆各多少张卡片？答案：团团 8张，圆圆4张三拆项法1 1 1 1+52例 3.计算：x +芸+血*2 x + + 6 x +12_ 1 解：原式：'：1 ' ： 1 '1'1

12、:；：,:宀出一丄4丄丄H丄-丄+丄一丄x x -kl x-h 12x -h 2 £十乌 x+ 3 x - 4忽 K4- 4x + 4 - x44ZX4- 41 1 1说明：对形如上面的算式，分母要先因式分解，再逆用公式丿J U各个分式拆项，正负抵消一局部，再通分。在解某些分式方程中，也可使用拆项 法。1 I1 L 11同类方法练习题：计算:+ + + + 1 * 斗1x22x33x44x56x72107x20222007答案：二|四.活用乘法公式例4.计算：0 +丄)X +丄妝+厶膚+ 4)0 + 2)仗3 - 1)<X1)XX丈玄翼解：当- I且二时,丄d丄膚亠為宀丄分+当

13、0 +当】宀J弋-丄原式 : -:':=/ - 4/ 十二諮十厶十,芒十 41/1-F：江HXSCX=M P7QlridmfL鸚说明：在此题中，原式乘以同一代数式，之后再除以同一代数式复原，就可连续 使用平方差公式，分式运算中假设恰当使用乘法公式，可使计算简便。同类方法练习题：计算：' 11- 1 : '：'JJ|答案：宀 五.巧选运算顺序例5.计算一丄：解:原式za+ b -b. 2 b + b. aa3aa2a2(+ b)2 + (a - b)2 (a + b)(a- >)aa(a -b/ + (a +V)2 - 2(a+ b)(a- b) (a + b)a-b)aa(a2 -+ V2 十屮十 2ab + P - 2aa -n 2ta)(a + h)2(a-b-J治(an- b)3 (a- L)ia_4a2b2_ (a+b)2(a-l)2说明：此题假设按两数和差的平方公式展开前后两个括号，计算将很麻烦， 一般两个分式的和差的平方或立方不能按公式展开，只能先算括号内的。同类方法练习题：解方程' -|r ：-，: - 答案：-六.见繁化简山-2 一兀応*3乜例6.计算：/ 一玄十2 /疋一。耗'一4盂十了2(k- 1)x 十 2x -3解：原式 工:1|： : -1|：'|：-_ 2 _ 1