笛卡尔张量 水力学教学课件

1、332211eaeaeakajaiaazyx（1）指标表示法和符号约定）指标表示法和符号约定 指标表示法指标表示法x、y、z 分别计作 x1、x2、x3，ax、ay、az 分别计作 a1、a2、a3，而三个单位矢量 分别计作 也可表示为，i 是自由指标，可取1、2、3。,321eeeia, ,i j k 笛卡尔张量笛卡尔张量 332211babababaii332211eaeaeaeaii222123iia aaaaa求和约定求和约定 在同一项中如有两个指标相同时，就表示对该指标从1到3求和:重复出现的指标称为哑指标，改变哑指标的字母并不改变表达式的内容。克罗内克克罗内克(Kronecker(

2、Kronecker) )符号符号 10ijji ji ij符号具有以下重要性质：jiijijijaa 3iiikjkij3iiijij13312112,ijijjjjjjjaaaaaaaa,3322113332211iiksjtktjsistijkktijtijk2ktktktkjjtktjjijtijk2362kkijkijk0ijijkijk置换符号置换符号 110ijki、j、k 偶排列，123，231，312i、j、k 中有两个以上指标相同时i, j, k 奇排列 ，213，321，132有以下重要性质： ijkjiijee矢量和张量的运算举例矢量和张量的运算举例 kijkjieee1

3、23123 3213213 3, eeeeeeee kjiijkeee1231112313211132()1, ()()1eeee eeeeee ijkjkiiljklljklikjieeeee 321321321bbbaaaeeeebabaeeebeabakjiijkjijijjii0aaaakjijklkljiijkllkjiijkeecbaecebacba321321321cccbbbaaacbacbakjiijkklljiijkiiijjijijijjiibabaeebaebeaba例题1. 展开下列求和式，解：332211).1 (aaaaaaaaii3333233213313223

4、22221221311321121111332211).2(aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaakkkkkkkjjk.).2(;).1 (kjjkiiaaaa例题2. 已知, , 求: 是位置矢量.;).3(;).2(;).1 (vvwvwv12(4).;(4).;(4)., ,e vevrvrxiyjzk 25 , 3vijkwijk. 4151231332211wvwvwvwvwvii125311(2 1 1 5)( 3 5 1 1)( 1 1 2 3)3 16 7 ijkvwijkijk 30521222332211vvvvvvvvvvii解: 11111vvevevej

5、jjj1)52(1kjiivejkjvkvevevevevevezyjiijii522313232123111jkkijikjiive5252)52(1kyxjxzizyzyxkjivr)2()5()25(521例题3. 证明 证明: )()()(vuwwuvwvumljlmkijkmlklmjijkkjijkwvuwvuwvuwvu)()()()()(vuwwuvvuwwuvwvujjijjimljjlimjmil()()jjklmlmkjklmlmijkiijklmkjlmuvwu ev w euv weu v w 又证：上述结果已经和上页第三步相同。哈密顿算子哈密顿算子一个具有微分及矢量

6、双重运算的算子zkyjxi利用张量表示法哈密顿算子可写为iixe 利用哈密顿算子进行运算时，先进行微分运算，后进行矢量运算。)()()()()(iijiijjijijjiixxxxxxeexexeiiiixexe)( iiijijijjijjiixaxaxaeeeaxeajkiijkijkijkijjijjiixaexaexaeeeaxea)()(321321321211231331232231)()()(aaaxxxeeexaxaexaxaexaxae例题1. 分别写出 在直角坐标下的表达式.aa,kzjyixxeii222222)(zyxxxiizayaxaxaazyxii)()()(32

7、1321321yaxakxazajzayaiaaazyxkjiaaaxxxeeeaxyzxyzzyx解: 例题2. 是位置矢量, , 证明: ,rx iy jz krr(1).; (2).3; (3).0; (4) (), rrrra raar 是常矢量.证明: (1).,rrrxexreriiii.,222222rxxrzyxxzyxxxrii即以上证明中用到 (2).()3jijjijiijiijiiiixrex ee exxxxxx 3zzyyxxr0)(kiikjikijkijkijkijjijjiieexxexxeeexxeraaeaexxaexaxeraiiijjiijjijjii

8、)()(4). (3). 例题3. 证明. 0, 0)(sa ikjijkkjiijkexsxsxes)()(0)()()()()()()()()()()()(122133113223321123212131233121313231223132321231xsxxsxexsxxsxexsxxsxexsxxsxexsxxsxexsxxsxe证明： kijkijaaex0)()()()()()()()()()()()()()()()()(132231321123213312132321231312321213123231213132312123xaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxaxxax

9、xaxxaxxaxxaxxaxexaxeaxealmjmjllmiijjlmjlmjlmiijii （2）张量）张量标量、矢量和张量标量、矢量和张量标量标量是一维的量，它只需1个数及单位来表示，如温度、密度。矢量矢量则不仅有数量的大小，而且有指定的方向，它必需由某一空间坐标系的 3 个坐标轴方向的分量来表示，因此矢量是三维的量。三维空间中的二阶张量二阶张量是一个9维的量，必须用9个分量才可完整的表示，如应力，变形速率。三维空间中的 n n 阶张量阶张量由 3n 个分量组成。标量和矢量均可看作低阶张量，标量为零阶张量，而矢量为一阶张量。笛卡尔张量。 二阶张量二阶张量 二阶张量有9个分量，通常也可

10、表示为矩阵形式，即 333231232221131211ppppppppppij（3 3）二阶张量的代数运算）二阶张量的代数运算张量相等张量相等两个张量相等则各分量一一对应相等。设 ， ，若则若两个张量在某一直角坐标系中相等，则它们在任意一个直角坐标系中也相等。ijaaijbbba ijijba张量加减张量加减设 、 ，则张量的加减为其同一坐标系下对应元素相加减，只有同阶的张量才能相加减。ijaaijbbijijabab张量数乘张量数乘二阶张量 乘以标量 , ，则 张量数乘等于以该标量乘所有的张量分量。aabijijab点积和双点积点积和双点积 设 ， ，定义点积为 jiijeeaajiije

11、ebblkkljiijeebeeabalijlijlijkklijeebaeeba二阶张量点积即两个张量中相邻的两个单位矢量作点积运算，得到一个新的二阶张量。 二阶张量与矢量的点积二阶张量与矢量的点积则定义为 矢量与一个二阶张量点积得到一个新的矢量。 kijjkikjjkiiebaeebeaabkikiebaijkkijkkjiijeabeaeebabijijeab lkkljiijeebeea:ba ijijjlikklijbaba二阶张量的双点积二阶张量的双点积定义为：二个二阶张量的双点积结果为一个新的标量。两个矢量 的并矢定义为 也可写成 并矢是一个二阶张量。坐标单位矢量的两两并矢 称为

12、并基，三维空间的二阶并基共有9个。并矢运算不服从交换律。, i ijjaaebb e332313322212312111bababababababababababajijijieebabajiee并矢并矢共轭张量共轭张量 设 P 是一个二阶张量，则 也为一个二阶张量，称为 P 的共轭张量， 可表示为 ijppjicppcp112131122232132333Pcjipppppppppp(4)共轭张量、共轭张量、对称张量、反对称张量和张量的分解对称张量、反对称张量和张量的分解若二阶张量分量 之间满足则称此张量为对称张量，可表示为一个对称张量，只有6个独立的分量。ijpjiijpp 3323132

13、32212131211ssssssssssijs对称张量对称张量若二阶张量分量 之间满足则称此张量为反对称对张量，可表示为 一个反对称张量只有3个独立的分量，对角线各元素均为零。ijpijjipp 000233123123112aaaaaaaija反对称张量反对称张量张量分解定理张量分解定理一个二阶张量可以唯一地分解为一个对称张量和一个反对称张量之和：容易验证上式右边第一项是对称张量，第二项是反对称张量。cppppp2121c（5）张量的微分运算）张量的微分运算梯度梯度设矢量 ，则一个矢量的梯度是一个新的二阶张量。一般来讲，一个 n 阶张量的梯度是 阶张量。iieaajiijjjiieexae

14、axea1n散度散度 设二阶张量 ，一个二阶张量的散度是一个矢量。一般来讲，一个 阶张量的散度是 阶张量。jiijeeppkjjkkijijkkjjkiiexpexpeepxepn1n（6）各向同性张量）各向同性张量在连续介质力学中，通常认为介质的力学性质与所取的坐标方向无关，即介质是各向同性的连续介质。表示这类力学性质的张量称为各向同性张量，如流体粘性，电导率等。在数学上可作为下定义，若一个张量在正交笛卡尔坐标系中的每一个分量值，经过任一正交坐标变换后均保持不变，则称此张量为各向同性张量。零阶张量（标量）和任意阶零张量都是各向同性张量。这里零张量是指全部分量值均为零的张量。一阶张量（矢量）除

15、零矢量外，都是各向异性张量。二阶各向同性张量都可写成 的形式，其中 为一标量常数。三阶各向同性张量都可写成 的形式，其中 为一标量常数。四阶各向同性张量都可表示为其中 、 、 都是标量常数。当i、j两指标对称时 其中 和 都是标量常数。ijijkjkiljlikklijijklHjkiljlikklijijklH例题1. 设 ，求解： kzj yiuu. uu相同。以上结果与jijijjiijijijijkkijiijkkjiijjjiiexuueuxuuuzwwywvxwukzvwyvvxvujzuwyuvxuuiexuuexuueexueuuueexueuxeu)()()()()()()(

16、rbj ybi xbybxbxxbxbyjybybxxbybyiyvvxvujyuvxuuiuubxybyxuuuuuexuuexuueuuxeuuxeeuuxeuukjkjkjjkkkjjkkjiijkjkjii222)()()()()()()(, 0)()()()()()()(并由上题结果，例题2. 解).,uubjbxibyu（为常数，求其中已知zzzzyzxyyzyyyxxxzxyxxijijiijjigzyxzpzwwyvwxuwwtgzyxypzwvyvvxuvvtgzyxxpzwuyvuxuuutgxxpuuxut)()()()()()()()()()(例题3. 写出下述方程在直角坐标系中的表达