形数研究的历史

1、.形数研究的历史古希腊的数学家毕达哥拉斯认为：“万物皆数，数是万物之“本，只有通过数字才能对自然现象进展解释。从毕达哥拉斯那个年代开场，古希腊的数学家们就对一些形数进展过研究。左图上面的一行是一些三角形数，下面的一行是四角形数，或者叫正方形数。对于我们来说，数字是抽象概念，而事物是实际存在的。但我们已经得到了一种数字的抽象，而早期的毕达哥拉斯派还并未完全做到。毕达哥拉斯派与形数在毕达哥拉斯派看来，数字是点或微粒。他们提到三角形数、正方形数、五边形数时，想到的是点集、晶状体或点状物体。如左以下图的五边形数和右以下图的六边形数。虽然历史片断没有提供准确的年代数据，这一点却是无疑的，即毕达哥拉斯学派

2、开展并完善了自己的认识。他们开场把数字理解为抽象概念，而物体只不过是数字的详细化。有了这一后来的特性，我们可以明白菲洛劳斯Philolaus的阐述：“假如没有数和数的性质，世界上任何事物本身或与别的事物的关系都不能为人所清楚理解。一.num=+1796年7月10日,数学家高斯在日记中写道：ErPHKA!num=+。这里ErPHKA是希腊文“发现或“找到的意思，高斯的引用了当年阿基米德发现浮力定理时说的话，可见他兴奋心情。高斯到底发现了什么?什么使他如此兴奋?原来他找到了“自然数可表示为三个三角形数之和的证明num为数的缩写，表示三角形数。据说此前法国数学家费马曾猜测：每个自然数皆可用k个k角形

3、数和表示。对于四角形数的问题,我们稍后再谈1831年法国数学家柯西在巴黎科学院宣读了他的论文,论文给出自然数皆可用k个k角形数和表示的证明。二.自然数表为四角形数问题早在公元3世纪前后，数学家丢番图曾猜测自然数皆可用四个四角形数即完全平方数和表示。其实，许多自然数只须用两个完全平方数和便可表示如5=12+22，8=22+22等等，但有些不行像3，6，7等等，是费马首先认识到质数除2之外皆有4k+1或4k+3形状，而后他发现了：4k+1型质数皆可表为两完全平方数和形式双平方和定理。该定理于1754年由数学大师欧拉给出证明1977年拉森L.C.Larson用图论的方法即“n后问题解法亦给出该定理的

4、一个漂亮证明。此后勒让德在其所著的“数论书中又指出：4m8n+7型整数必须用四个完全平方数和表示。自然数表为四个完全平方数和问题曾引起不少人的兴趣,1621年法国人巴契特Bachet从1验算到325未发现例外。据称笛卡儿也试图讨论该问题，然而之后他意识到“它实在太难了!这个等式是说：能表示成四个完全平方数和的两数之积亦可用四个完全平方数和表示。如此一来,对于整数表为四平方和问题的研究,可转化为质数表为四完全平方数和的问题相对容易了。1770年,数学家拉格朗日根据欧拉的上述发现,给出了“自然数可表示为四个完全平方数之和四平方和定理的第一个完好证明。1773年,已经双目失明的66岁的欧拉,也给出该

5、结论的另一证明。大约100年后,德国数学家雅各比又给出另外一种证法。顺便指出:四平方和定理中允许一样数字平方和出现,假如要求四完全平方数皆相异或互质,结论将是另一番情形。图兰首先发现:自然数表示成两两互质的整数平方和时，四个那么不够比方8k或6k+5型自然数便如此。鲍赫曼等又发现:当n188时,有31个自然数n不能用四个相异的完全平方数和表示。且他们同时证明了:n188时,n皆可用五个彼此不同的完全平方数和表示。四.华林E.Waring问题人们完成的自然数表为四角形数即完全平方数和问题后,开场把目光集中到它的推广即自然数用完全立方数、四次方数、五次方数、和表示问题。1782年华林在其所着“代数

6、沉思录中提出，自然数可用9个完全立方数和、19个四次方数和、表示,人称“华林问题。为了方便起见我们用gk表示任意自然数可用k次方数和表示的最少个数,那么华林问题便是欲证g3=9，g4=19等。对于g3问题，1939年迪克森L.E.Dickson指出：除23和239这也是雅谷比开列的自然数表成立方数和表中,两个须用9个立方数和表示的数外，自然数皆可表为8个立方数和。而后，朗道E.G.H.Landau又指出:从某个充分大的N起,自然数皆可表为7个立方数和这类充分大的n的表示问题,人们又用Gk表记，如是朗道证明了G3=7。1909年威弗利茨A.Wieferch严格证明了g3=9。对于g4问题的研究，

7、法国数学家柳维尔J.Liouville曾证明g453。接着他又将自然数n表为6x+rr=0，1，2，3，4，5形式。由于任何x皆可表示四个完全平方数和，即x=a2+b2+c2+d2，同时a，b，c，d也有类似表示：a=a21+a22+a23+a24，b=b21+b22+b23+b24，c=c21+c22+c23+c24，d=d21+d22+d23+d24，将它们代入6x=6a2+b2+c2+d2再注意到柳维尔的等式知，6x至多只须6×8=48个四次方数和表示。又r=0，1，2，3，4，5中至多只须用5个四次方数和表示。如是，n至多只须48+5=53个四次方和表示。之后,威弗利茨将g4

8、改进到37。英国数学家哈代又证明：对于充分大的n，g4=19,即G4=19。1939年戴维鲍特Davenport证明了G4=16。老师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模拟。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。1986年四位美国数学家联手证得g4=19。至此华林问题获解。我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代

9、化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就锋利地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文程度低,十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中程度以上的学生都知道议论文的“三要素是论点、论据、论证,也通晓议论文的根本构造:提出问题分析问题解决问题,但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样,就是讲不出“为什么。根本原因还是无“米下“锅。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不参考作文书就很难写出像样的文章。所以,词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题,不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫,必须认识到“死记硬背的重要性,让学生积累足够的“米。对于一般的gk问题,1908年希尔伯特曾证得:对于任何k来讲，gk均为有限。但对于g5，g6，.，gk等的估计一直不详，仅获部分结果，如陈景润曾证得g5=37等。宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的老师称谓皆称之为“教谕。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习。到清末，学堂兴起