人教版高中数学必修3-1.3《算法案例：秦九韶算法》教学课件

1、算算 法法 案案 例例1、求两个数的最大公约数的两种方法分别是、求两个数的最大公约数的两种方法分别是（ ）和（）和（ ）。）。2、两个数、两个数21672，8127的最大公约数是的最大公约数是 （ ）A、2709 B、2606 C、2703 D、2706复习引入:新课讲解:怎样求多项式怎样求多项式f(x)=xf(x)=x5 5+x+x4 4+x+x3 3+x+x2 2+x+1+x+1当当x=5x=5时的值呢？时的值呢？计算多项式计算多项式() =当当x = 5的值的算法：的值的算法：算法算法1：因为因为() =所以所以(5)=55555=3125625125255= 3906算法算法2：(5)

2、=55555=5(5555 ) =5(5(555 ) ) =5(5(5(5+5 +) + ) + ) +=5(5(5(5 (5 +) + )+)+) +算法算法1：因为因为() =所以所以(5)=55555=3125625125255= 3906算法算法2：(5)=55555=5(5555 ) =5(5(555 ) ) =5(5(5(5+5 +) + ) + ) +=5(5(5(5 (5 +) + )+)+) +共做了共做了1+2+3+4=10次乘法运算，次乘法运算，5次加法运算。次加法运算。共做了共做了4次乘法运算，次乘法运算，5次加法运算。次加法运算。数书九章数书九章秦九韶算法秦九韶算法0

3、111)(axaxaxaxfnnnn设设)(xf是一个是一个n 次的多项式次的多项式对该多项式按下面的方式进行改写：对该多项式按下面的方式进行改写：0111)(axaxaxaxfnnnn01211)(axaxaxannnn012312)(axaxaxaxannnn0121)(axaxaxaxannn这是怎样的一种改写方式？最后的结果是什么？0121)()(axaxaxaxaxfnnn要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即要求多项式的值，应该先算最内层的一次多项式的值，即11nnaxav然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即然后，由内到外逐层计算一次多项式的值，即212naxvv3

4、23naxvv01axvvnn最后的一最后的一项是什么？项是什么？这种将求一个这种将求一个n次多项式次多项式f(x)的值转化成求的值转化成求n个一个一次多项式的值的方法，称为次多项式的值的方法，称为秦九韶算法秦九韶算法。 通过一次式的反复计算，逐步得出高通过一次式的反复计算，逐步得出高次多项式的值，对于一个次多项式的值，对于一个n次多项式，只需次多项式，只需做做n次乘法和次乘法和n次加法即可。次加法即可。秦九韶算法的特点：秦九韶算法的特点：程序框图：开始输入f(x)的系数：a0,a1,a2,a3,a4a5输入x0n5?输出v结束v=vx0+a5-nn=n+1YN n=1 v=a5 ),(nka

5、xvvavknkkn2110这是一个在这是一个在秦九韶算法秦九韶算法中反复执行的步骤，因中反复执行的步骤，因此可用循环结构来实现。此可用循环结构来实现。例：例： 已知一个五次多项式为已知一个五次多项式为8 . 07 . 16 . 25 . 325)(2345xxxxxxf用秦九韶算法求这个多项式当用秦九韶算法求这个多项式当x = 5的值。的值。解：解： 将多项式变形：将多项式变形：8 . 0)7 . 1)6 . 2)5 . 3)25()(xxxxxxf按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当按由里到外的顺序，依此计算一次多项式当x = 5时的值：时的值：272551v50v5 .1385 . 35272v9 .6896 . 255 .1383v2 .34517 . 159 .6894v2 .172558 . 052 .34515v所以，当所以，当x = 5时，多项式的值等于时，多项式的值等于17255.21、已知多项式、已知多项式f(x)=x5+5x4+10 x3+10 x2+5x+1用用秦九韶算法求这个多项式当秦九韶算法求这个多项式当x=-2时的值。时的值。练习：2、已知多项式、已知多项式f(x)=2x4-6x3-5x2+4x-6用用秦九韶