人教版高中数学必修4-2.3《平面向量基本定理和正交分解及坐标表示》参考课件2

1、2.3.12.3.12.3.2 2.3.2 平面向量基本定理和正交分解平面向量基本定理和正交分解及坐标表示及坐标表示温故知新温故知新向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )a ab ba+ba+ba ab ba+ba+b向量的加法向量的加法( (平行四边形法则平行四边形法则) )向量的减法向量的减法( (三角形法则）三角形法则）a ab ba-ba-b(1(1)|)|aa|=| |a|=| |a|(2(2) )当当00时时, ,aa的方向与的方向与a a方向相同；方向相同； 当当00时时, ,aa的方向与的方向与a a方向相反；方向相反； 特别特别地，当地，当=0=0或或a=0a=

2、0时时, , aa=0=0对对aa设设a,ba,b为任意向量，为任意向量，,为任意为任意实数实数，则有：，则有：(a a)=()=() a) a( (+) a=) a=a+a+a a( (a+ba+b)=)=a+a+b b)()()(aaababa )(特别地特别地: : 向量向量 b b 与非零向量与非零向量 a a 共线共线当且仅当且仅 当有当有且且只有一个实数只有一个实数，使得，使得 b=b=aa 问题问题: :一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和4 4只住在北偏东只住在北偏东3030方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子, ,他们分别朝着自

3、己住的他们分别朝着自己住的方向拉方向拉, ,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿, ,每只小猴子的拉力每只小猴子的拉力是是5050牛顿牛顿, ,问这筐桃子往哪边运动问这筐桃子往哪边运动? ? 问题问题: :一天一天,2,2只住在正西方向的大猴子和只住在正西方向的大猴子和4 4只住在北偏东只住在北偏东3030方向的小猴子同时发现一筐桃子方向的小猴子同时发现一筐桃子, ,他们分别朝着自己住的他们分别朝着自己住的方向拉方向拉, ,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿, ,每只小猴子的拉力每只小猴子的拉力是是5050牛顿牛顿, ,问这筐桃子往哪边

4、运动问这筐桃子往哪边运动? ?如果是如果是1 1只大猴子和只大猴子和4 4只小猴子呢只小猴子呢? ?NMe1e2a 如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动, ,如何改变大小如何改变大小猴子的数量猴子的数量? ?aCe1e2oBAOC=OM+ON= xe1+y e2 给定平面内任意两个不共线向量给定平面内任意两个不共线向量e e1 1 、 e e2 2，其他任其他任一向量是否都可以表示为一向量是否都可以表示为xexe1 1+y e+y e2 2的形式？的形式？NMaCe1e2oBAOC=OM+ON= xe1+y e2e1e2a 如果如果e e ，e e 是同一平

5、面内的两个是同一平面内的两个不共线不共线的向量的向量, ,那么对于这一平面内的那么对于这一平面内的任一向量任一向量 a a , ,有且只有有且只有一对实一对实数数 、 使使 a a e e e e 其中其中不共线的向量不共线的向量e e ，e e 叫做表示这一平面内叫做表示这一平面内的所有向量的一组的所有向量的一组基底基底。平面向量的基本定理平面向量的基本定理oCaNMFE思考：平面内思考：平面内, ,向量的基底是否唯一？向量的基底是否唯一？例例1 1已知向量已知向量e e1 1,e,e2 2, ,求作向量求作向量-2.5e-2.5e1 1+3e+3e2 2 . .于是于是OCOC就是所求作的

6、向量就是所求作的向量. .(2)(2)作作 OACB.OACB.e e1 1e e2 2O OC C作法：作法：(1)(1)任取一点任取一点o,o,作作OA=-2.5eOA=-2.5e1 1,OB=3e,OB=3e2 2-2.5e-2.5e1 1A AB B3e3e2 2e1e2aNMe1e2oaCOC=OM+ON= xe1+y e2平行四边形做法唯一，所以实数对平行四边形做法唯一，所以实数对x,yx,y存在唯一存在唯一对定理的理解对定理的理解: :1)1)基底基底: :不共线不共线的向量的向量e e1 1 e e2 2。 同一平面可以有不同基底同一平面可以有不同基底2)2)平面内的平面内的任

7、一向量任一向量都可以沿两个不共线的方向分解都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；成两个向量的和的形式；3)3)分解是分解是唯一唯一的的 思考思考: :一天一天,1,1只住在正西方向的大猴子和住在北偏东只住在正西方向的大猴子和住在北偏东3030方方向的小猴子同时发现一筐桃子向的小猴子同时发现一筐桃子, ,他们分别朝着自己住的方向拉他们分别朝着自己住的方向拉, ,已知每只大猴子的拉力是已知每只大猴子的拉力是100100牛顿牛顿, ,每只小猴子的拉力是每只小猴子的拉力是5050牛顿牛顿, ,问这筐桃子往正北运动问这筐桃子往正北运动, ,要几只小猴子要几只小猴子? ?30？30向量的夹角向

8、量的夹角已知两个非零向量已知两个非零向量a a和和b b如图，如图，则则AOB= AOB= （0 0 180 180）叫做向量的夹角叫做向量的夹角当当 =0 =0 时，时，a a与与b b同向同向当当 =180 =180时，时， a a与与b b反向反向a a与与b b的夹角是的夹角是90 90 ，则，则a a与与b b垂直，记作垂直，记作abab共起点共起点A AB BC C思考思考: :正正ABCABC中中, ,向量向量ABAB与与BCBC的夹角为几度的夹角为几度? ?D Do oB BA Aa ab b 平面内的所有向量都可以用一组基底来表示平面内的所有向量都可以用一组基底来表示, ,这

9、这为我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法为我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法: :将将其他向量化到基底上进行运算其他向量化到基底上进行运算, ,证明证明. . 例例2.2.如图如图, ,在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中中, ,点点M M在在ABAB延长线延长线上上,AB=BM,AB=BM,点点N N是是BCBC中点中点, ,用向量方法证明用向量方法证明:M:M、N N、D D三点三点共线共线ABMCND 例例3.3.设设 a a、b b是两个不共线的向量，已知是两个不共线的向量，已知AB = 2a + kb, CB = a + 3b, CD = 2a AB = 2a + k

10、b, CB = a + 3b, CD = 2a b, b,若若A A、B B、D D三点共线，求三点共线，求k k的值。的值。 把一个向量分解为两个垂直的向量把一个向量分解为两个垂直的向量, ,叫做把向量正叫做把向量正交分解。交分解。 分别与分别与x x 轴、轴、y y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i i 、j j 能否作为基底？任一向量能否作为基底？任一向量a a ，用这组基底可表示为有，用这组基底可表示为有且只有一对实数且只有一对实数x x、y y，使得，使得a a = =xi xi + + yjyjO Ox xy yi ij ja a（x x，y y）叫做向量）叫做向量a

11、 a的坐标，记作的坐标，记作a a= =( x , y )( x , y )那么那么i i = =（ ， ）j j = =（ ， ）0 =0 =（ ， ） 1 0 1 00 10 10 00 0把一个向量分解为两个垂直的向量把一个向量分解为两个垂直的向量,叫做把向量正交分解。叫做把向量正交分解。a =xi + yj有且只有一对实有且只有一对实数数x、y，使得，使得 分别与分别与x 轴轴、y 轴方向相同的两单位向量轴方向相同的两单位向量i 、j 能否作能否作为基底？为基底？Oxyij任一向量任一向量a ，用这组基底可表示为，用这组基底可表示为a（x，y）叫做向量）叫做向量a的坐标，记作的坐标，记

12、作a=( x , y )那么那么i =（ ， ） j =( ， )0 =（ ， ） 1 00 10 0课堂小结：课堂小结：1.1.平面向量的基本定理平面向量的基本定理 如果如果e e1 1，e e2 2是同一平面内的两个不共线的向量是同一平面内的两个不共线的向量, ,那么对于这一平面内的任一向量那么对于这一平面内的任一向量a ,a ,有且只有一对实有且只有一对实数数 、 使使a = a = e e1 1+ + e e2 22.2.向量的夹角：向量的夹角：共起点的两个向量形成的角共起点的两个向量形成的角3.3.基本定理的应用基本定理的应用 e e1 1+ + e e2 2= xe= xe1 1+ + y ye e2 2xy4.4.向量的坐标表示向量的坐标表示 把一个向量分解为两个垂直的向量，叫做把向把