微积分 第一章函数

1、下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 第一章第一章 函数函数1.3 函数关系函数关系1.4 函数表示法函数表示法8.6 复合函数的微分法复合函数的微分法1.8 初等函数初等函数1.9 函数图形的简单组合函数图形的简单组合1.7 反函数反函数,复合复合函数函数1.6 函数的几种简单性质函数的几种简单性质1.5 建立建立函数关系的例题函数关系的例题1.2 实数集实数集1.1 集合集合下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分1.1集合集合 集合的概念集合的概念 集合的表示法集合的表示法 全集与空集全集与空集 子集子集 集合的运算集合的运算 集合的运算律集合的运算律 集合的笛卡尔乘积集合的

2、笛卡尔乘积下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分1.2 实实 数数 集集 区间与邻域区间与邻域(1) 实数与数轴实数与数轴.(2) 区间区间有有: 开区间、闭区间和半开半闭区间开区间、闭区间和半开半闭区间. bxaxba),(bxaxba,bxaxba,bxaxba,下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分区间也可以按其长度分为区间也可以按其长度分为: 有限区间和无限区间有限区间和无限区间. 邻域的概念邻域的概念 定义定义1.1 设设 为一实数为一实数, 为一正实数为一正实数,即即 则称集合则称集合 0 x ,0 0,0 xxx为为 点的点的 邻域邻域.0 x 若若 和和 均为有限的

3、常数均为有限的常数, 则区间则区间ab),(,baba baba,均为有限区间均为有限区间 无限区间有无限区间有 ),(,),(,),(,abab下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分点点 的的 邻域邻域, 在几何上表示的是以在几何上表示的是以 为圆心为圆心, 以以 为半径的开区间为半径的开区间 其区间长度为其区间长度为0 x0 x 2),(00 xx见下图所示见下图所示 000)(xxx 2 注意注意: 一般一般 邻域内的点是指在邻域内的点是指在 点附近的点附近的点点,故应将故应将 理解为比较小的正数理解为比较小的正数.0 x 0 x1.3. 函数的定义函数的定义下页下页 返回返回上页

4、上页第一章 函数微积分 定义定义1.2: 设设 和和 分别为两个实数集合分别为两个实数集合, 为一对应关系为一对应关系, 如果对于如果对于 中的每一个元素中的每一个元素 按按照对应关系照对应关系 在集合在集合 中均有唯一的一个实数中均有唯一的一个实数 与之对应与之对应,即即 则称变量则称变量 为变量为变量 的的函数函数,记作记作 其中其中 称为因变量称为因变量, 称为称为自变量自变量, 称为对应法则称为对应法则, 称为该函数的定义称为该函数的定义域域.DEfDxfEy,:yxfyx.)(xfy xyfD 关于该定义应注意关于该定义应注意 当函数的定义域和对应法则确定了以后当函数的定义域和对应法

5、则确定了以后,该函该函数便被唯一的确定了数便被唯一的确定了,因此称因此称函数的定义域和对应函数的定义域和对应法则为确定函数关系的两大要素法则为确定函数关系的两大要素. 下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 例例1 判断下列各组函数是否相同判断下列各组函数是否相同00)2(xxxxyxy和和xxyxy2)1(和和 解解 (1)(1) 不同不同. 因为因为 的定义域是的定义域是而而 的定义域为的定义域为 .显然它们的定义域显然它们的定义域xy xxxy2 0 x不同不同. (2)(2) 相同相同. 因为它们的定义域均为全体实数相因为它们的定义域均为全体实数相同同, 且对应法则也相同且对应法

6、则也相同下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 3. 函数的定义域函数的定义域 函数的定义域函数的定义域, 是使函数有意义的自变量的取是使函数有意义的自变量的取值的范围值的范围. 求函数的定义域时应注意求函数的定义域时应注意: (1)(1) 考虑自变量与因变量有无实际意义考虑自变量与因变量有无实际意义; (2)(2) 如果一个函数是若干项的代数和如果一个函数是若干项的代数和, 则分别求则分别求出每一项的取值范围后出每一项的取值范围后, 取其交集即可得定义域取其交集即可得定义域; (3)(3) 对于分段函数来说对于分段函数来说, 其定义域就是各区间的其定义域就是各区间的并集合并集合.下页下

7、页 返回返回上页上页第一章 函数微积分01 xx且且 解解 (1) 要使该函数有意义要使该函数有意义, 须有须有 0012xx 解解之得之得故该函数的定义域为故该函数的定义域为 .故该函数的定义域为故该函数的定义域为 . 5, 1 1321x 例例2 求下列函数的定义域求下列函数的定义域21)1(xxy32arcsin)2(xy(2)(2)要使该函数有意义要使该函数有意义, 须有须有解之得解之得51x(,0)(0,1下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分225151arcsinxxy例例3.确定函数确定函数 的的的定义域的定义域 .下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分xyxysi

8、n,3 (2) 图象法图象法(图形法图形法). 如函数如函数 2xy的图象为的图象为: (3) 列表法列表法(表格法表格法). 1.4. 函数的表示法函数的表示法 (1) 解析法解析法(公式法公式法). 如函数如函数2xy xyo 注意注意:有些函数是多有些函数是多个个( (两个或两个以上两个或两个以上) )解解析式表示一个函数析式表示一个函数, 数学数学上称这种上称这种函数为函数为分段函分段函数数.下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分1.5. 1.5. 建立函数关系的例题建立函数关系的例题 解决应用问题解决应用问题,首先要建立数学模型首先要建立数学模型,也就是建也就是建立函数关系立函

9、数关系.在建立过程中在建立过程中,要确定自变量和因要确定自变量和因变量变量,还要考虑函数的定义域还要考虑函数的定义域. 例子例子:某工厂生产某型号车床某工厂生产某型号车床,年产量为年产量为a台台,分分批生产批生产,每批生产准备费为每批生产准备费为b元元.该产品均匀投该产品均匀投入市场入市场,且上一批用完后即生产下一批且上一批用完后即生产下一批,即平均即平均库存量为批量的一半库存量为批量的一半.设每年每台库存费为设每年每台库存费为c元元.为了选择最优库存为了选择最优库存,试求出一年中库存费与试求出一年中库存费与生产准备费的和与批量的函数关系生产准备费的和与批量的函数关系.下页下页 返回返回上页上

10、页第一章 函数微积分解: 设批量为设批量为x, 库存费与生产准备费的和为库存费与生产准备费的和为P(x). 那么我们有那么我们有:2)(xcxabxP函数自变量函数自变量x的定义域为的定义域为(0,a,并且并且x是正整数是正整数.1.6.函数的几种特性函数的几种特性下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 1 奇偶性奇偶性: 设函数设函数 在区间在区间 上有上有定义定义, 如果对于任意如果对于任意 , 都有都有 ,则则称该函数为奇函数称该函数为奇函数 ; 若对于任意若对于任意 ,都有都有)(xfy),(ba),(bax)()(xfxf),(bax)()(xfxf则称该函数为偶函数则称该函数

11、为偶函数.xxxf2)() 1 (32)() 2(xxeexf2sin)()4(xxf2)()3(xxxf例例1 判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性解解(1)(1) 因为因为 )()2(2)( 2)(333xfxxxxxxxf 下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分所以函数所以函数 是奇函数是奇函数. xxxf2)(3 )(222)()(xfeeeeeexfxxxxxx 2)(xxeexf (3)(3) 因为因为 的定义域为的定义域为 所以函数所以函数 无奇偶性无奇偶性,是非奇非偶函数是非奇非偶函数.2)(xxxf 0 xxD2)(xxxf Dx 而而Dx 虽然虽然所以所以是偶函数

12、是偶函数.(2) 因为因为下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 注注: 奇函数的图象关于原点对称奇函数的图象关于原点对称; 偶函数的图偶函数的图象关于象关于y轴对称轴对称. (4) 因为因为 所以函数所以函数 是偶函数是偶函数. )(sinsin)(22xfxxxf 2sin)(xxf 2. 单调性单调性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义,对任意对任意)(xfy DDxx 21,如果如果 ,则必有则必有 ,则称函数则称函数21xx )()(21xfxf )(xfy 在在 上单调递增上单调递增;如果如果 ,则必有则必有 , 则称函数则称函数 在在 上单调递减上单调递减.D21xx )

13、()(21xfxf )(xfy D注注: 单调递增的函数其图象从左到右是上升的单调递增的函数其图象从左到右是上升的,下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分而单调递减的函数其图象从左到右是下降的而单调递减的函数其图象从左到右是下降的.见下图见下图yyxxoo 例如例如 函数函数 在区间在区间 上单调递上单调递增增,在区间在区间 上单调递减上单调递减; 而函数而函数在定义域在定义域 上均单调递增上均单调递增. 其图象如下其图象如下: 2)(xxf 3)(xxf ), 0( )0,( ),( 单调递增单调递增 单调递减单调递减2)(xxf yxo3)(xxf yxo 单调性递增开始演示单调性递

14、增开始演示!单调性递减开始演示下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 3.周期性周期性 注意注意: (1) 说函数递增还是递减时说函数递增还是递减时, 应明确指出在应明确指出在哪一个区间上哪一个区间上. 因同一个函数在不同的区间上单因同一个函数在不同的区间上单调性可能不同调性可能不同.如函数如函数 (2) 当一个函数当一个函数在其定义域在其定义域 上上 均单调递增均单调递增(或递减或递减)时时, 才称该函才称该函数为单调函数数为单调函数.如如 是单调函数是单调函数.2)(xxf 3)(xxf D设函数设函数 在在 上有定义上有定义, 如果存在正常数如果存在正常数 使使得对于得对于 中的任

15、意中的任意 , 都有都有 则称该函则称该函数为周期函数数为周期函数, 且称最小的且称最小的 为该函数的周期为该函数的周期.)(xfy DTDx)()(xfxTf T 如函数如函数 sin ,cosyx yx2.tan ,cotyx yx也是周期函数也是周期函数, 其其周周.是周期函数是周期函数, 其周其周期为期为而而期为期为下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 4.有界性有界性 设函数设函数 在在 上有定义上有定义, 如果存在正数如果存在正数 ,使得对于任意使得对于任意 ,都有都有 恒成立恒成立. 则称该则称该函数在区间函数在区间 上有界上有界. 否则否则, 称该函数称该函数 在在区间

16、区间 上无界上无界.)(xfy DMDx Mxf )(DD)(xfy 如函数如函数 在区间在区间 上有界上有界, 因在因在该区间上恒有该区间上恒有 成立成立; 在区间在区间 上无上无界界.而函数而函数 在其定义域在其定义域 R有界有界.xy1 11 x,1)1,0(xysin因为总有因为总有sin1.x 下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分注意注意: (1)说一个函数是否有界说一个函数是否有界, 一般要指出区间一般要指出区间.因因同一个函数同一个函数,在某区间上可能有界在某区间上可能有界,而在另一个区间而在另一个区间上可能会无界上可能会无界. (2) 若一个函数在其定义域上有界时若一个

17、函数在其定义域上有界时,可以不说区间可以不说区间, 这时称函数是有界函数这时称函数是有界函数. 反函数反函数1.反函数的定义反函数的定义B B 定义定义1.3 设函数设函数 的定义域为集合的定义域为集合A, 其其值域为值域为B, 如果对于如果对于B中的每一个元素中的每一个元素 , 在集合在集合A中都有唯一确定的中都有唯一确定的 与之对应与之对应, 则说在集合则说在集合B上定上定义了一个函数义了一个函数, 称称 该函数为该函数为 的反函数的反函数, 记记作作 ,)(xfy )(xfy )(1yfx yyx下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 注注1: 易见反函数易见反函数 的定义域的定义

18、域B即是原来即是原来函数函数 的值域的值域, 而其值域即是原来函数的定而其值域即是原来函数的定义域义域.)(1yfx )(xfy 注注2: 为了合呼我们的习惯为了合呼我们的习惯, 常把常把 中的中的 换为换为 , 把把 换为换为 , 从而的得从而的得 . 由于并不由于并不改变其定义域和对应法则改变其定义域和对应法则, 所以它们是相同的函所以它们是相同的函数数.)(1yfx xyyx)(1xfy 注注3: 函数函数 与与 互为反函数互为反函数)(xfy )(1xfy 2.反函数的性质反函数的性质下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 (1) 单调函数必有反函数单调函数必有反函数, 且其反函

19、数的单调且其反函数的单调性与原来函数的单调性一致性与原来函数的单调性一致. (2) (2) 函数函数 与其反函数与其反函数 的图的图象关于直线象关于直线 对称对称.)(xfy )(1xfy xy 3.反函数的求法反函数的求法例例4 求求 的反函数的反函数23 xy 反函数的求法分三步反函数的求法分三步: 从从 中解中解出出 ;判断判断 中的中的 与与 是否一一对应是否一一对应; 若一个若一个 对应唯一一个对应唯一一个 , 则将其则将其 换为换为 , 换换为为 ,即得函数即得函数 的反函数的反函数.)(xfy )(1yfx yxyxxyyx)(xfy x下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积

20、分 解解 从从 中解出中解出 ,得得23 xyx32 yx显然显然, 每一个每一个 均对应唯一的一个均对应唯一的一个 , 所以交换所以交换变量得其反函数为变量得其反函数为yx32 xy 基本初等函数基本初等函数 1.常量函数常量函数 cy 2.幂函数幂函数. xy )(为为实实数数 3.指数函数指数函数)1, 0( . aaayx4.对数函数对数函数ay log x(a 0,a 1)cotxytanxycosxysinxy 5.三角函数三角函数6.反三角函数反三角函数xarcyarctanxyarccosxyarcsinxycot 下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分1.常函数常函数y

21、xoxocy y2xy xy1 xy 3.指数函数指数函数 4.对数函数对数函数oyxoyx) 1( aayx) 10 ( aayx) 1(log axya) 10 (log xxya 基本初等函数图象如下基本初等函数图象如下2.幂函数幂函数下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分5.三角函数三角函数x oy 2 1 12 xysin yxo2 2 11 xycos xytan xycot o2 2 23 23 xyo2 2 23 2xy下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 6.反三角函数反三角函数2 2 o1 1xy o1 1xyarcsin xyarccos yx2 2 oo

22、xyyx2 xyarctan xarcycot 因为因为 在其定义域内不单调在其定义域内不单调,因此因此在整个定义域内没有反函数在整个定义域内没有反函数.为了求其反函数为了求其反函数,我我们需要缩小定义范围们需要缩小定义范围,所定义的新区间应满足以下所定义的新区间应满足以下三个条件三个条件:在所定义的区间上必须单调在所定义的区间上必须单调; ;所定所定义的区间应尽可能的大一些义的区间应尽可能的大一些;所定义的区间要包所定义的区间要包含坐标原点在内含坐标原点在内(或尽可能靠近坐标原点或尽可能靠近坐标原点).)(sinxxy于是于是,选择区间选择区间 最合适最合适2,2 y 2 1 12 xysi

23、n ) 11(arcsinyyx解解之之得得因为上式不太合呼大因为上式不太合呼大家的习惯家的习惯,所以常做变所以常做变量的更换量的更换,得得) 11(arcsinxxy由反函数的图象对称性可做出其图象为由反函数的图象对称性可做出其图象为:xyarcsin下页下页 返回返回上页上页第一章 函数微积分 初等函数初等函数 注注1: 条件条件 非常重要非常重要, 只有满足只有满足了该条件后了该条件后,两个函数才可复合两个函数才可复合, 否则就不是复否则就不是复合函数合函数.DZ称称 为简单函数为简单函数. 定义定义: 设设 是是 的函数的函数 , 且其定义且其定义域为域为 ,而而 又是又是 的函数的函数 , 其值域为其值域为 , 如果满足如果满足 , 则则 必是必是 的函数的函数 , 称该函数为